sábado, 29 de septiembre de 2007

Indice

Indice de Temas


Capítulo I: El Quinto Postulado

Capítulo II: La Primera Geometría no-Euclideana

Capítulo III: Las Geometrías Esférica y Elíptica

Capítulo IV: Construyendo una Nueva Geometría

Capítulo V: Un Acertijo Filosófico

Capítulo VI: La Nueva Geometría Riemanniana

Capítulo VII: ¿Cuál geometría es la correcta?

Capítulo VIII: Fuentes adicionales de referencia

Suplemento # 1

Capítulo I: El Quinto Postulado




Hacia finales del siglo IV apareció publicado un libro titulado Los Elementos que inmortalizaría a un matemático de la antigua Grecia llamado Euclides, el cual resumió en trece libros (que en la actualidad son conocidos simplemente como los trece capítulos del libro) los desarrollos que había logrado en esa época la primera rama fundamental de las matemáticas desarrollada de una manera lógica y formal: la Geometría plana (también conocida como planimetría). La obra quedó dividida en las siguientes secciones:

Libros I-IV: La Geometría de Triángulos y Círculos

Libros V-VI: Teoría de las Proporciones Geométricas

Libros VII-IX: Teoría de los Números

Libro X: Teoría de los Números Irracionales

Libros XI-XIII: Geometría Sólida

El libro de Euclides estableció la metodología rigurosa que aún se utiliza hoy en día desde las matemáticas más elementales de la escuela secundaria hasta las matemáticas de vanguardia con las cuales se llevan a cabo las más avanzadas investigaciones y desarrollos en las instituciones universitarias: se empieza con un conjunto de definiciones y de axiomas (verdades tan evidentes que nadie las pondrá en tela de duda) con los cuales se empiezan a llevar a cabo demostraciones de otras proposiciones cuya veracidad ya no es tan evidente, proposiciones llamadas teoremas. Para que un teorema pueda ser aceptado como válido, es requisito indispensable que pueda ser deducido a partir de los axiomas básicos (o postulados) que se usan como punto de partida. Entanto que tal cosa no pueda ser lograda, la veracidad del teorema quedará en tela de duda, y en vez de llamársele teorema se le llamará simplemente una conjetura.

Los “ladrillos” fundamentales con los cuales Euclides construyó su obra, sus puntos de partida, sus diez postulados, son los siguientes:


AXIOMAS DE LA GEOMETRIA EUCLIDEANA


Postulado 1: Entre dos puntos se puede trazar una línea recta única.

Postulado 2: Una línea se puede extender indefinidamente en ambas direcciones.

Postulado 3: Se puede dibujar un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio.

Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Postulado 5: Si dos líneas rectas, al intersectarse con una tercera, forman ángulos internos unilaterales cuya suma es menor a dos ángulos rectos (menor que 180 grados), resulta ser que estas dos rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquél lado en el que esta suma es inferior a dos ángulos rectos.

Postulado 6: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Postulado 7: Si a iguales les sumamos iguales, las sumas resultantes serán también iguales.

Postulado 8: Si a iguales les restamos iguales, los remanentes serán iguales.

Postulado 9: Figuras que se pueden hacer coincidir son iguales.

Postulado 10: El todo es mayor que la suma de sus partes.


Todos, absolutamente todos los teoremas de la geometría “clásica” se pueden obtener a partir de los diez postulados dados por Euclides.

Sin embargo, si volvemos a leer los diez postulados, resalta de inmediato que el quinto postulado parece ser demasiado elaborado, demasiado complicado. Lo cual suscita de inmediato una pregunta: ¿no será posible obtener dicho postulado combinando de varias maneras los otros nueve postulados? A continuación se muestra más claramente lo que nos quiso decir Euclides con su quinto postulado:




En el diagrama, si dos líneas rectas (en este caso la línea AB y la línea CD), las cuales obviamente no son líneas paralelas, al intersectarse con una tercera (en este caso la línea EF), forman ángulos internos unilaterales cuya suma es menor a dos ángulos rectos (obsérvese que la suma de los ángulos internos m y n es menor que 180 grados, lo cual se puede verificar midiendo los ángulos con un transportador y sumándolos), al prolongarlas ilimitadamente, se cruzarán por aquél lado en el que esta suma es inferior a dos ángulos rectos, o sea que en este caso al ser prolongadas se encontrarán por el lado derecho.

No es difícil ver que si las líneas rectas AB y CD se hubieran dibujado de tal forma que fuesen lo que llamamos rectas paralelas, entonces al intersectarse con la tercera línea recta EF habrían formado ángulos internos m y n cuya suma habría sido igual a dos ángulos rectos, o sea igual a 180 grados, definidos por construcción como ángulos alternos internos, y en tal caso las líneas rectas jamás se encontrarían ni del lado derecho ni del lado izquierdo al prolongarlas ilimitadamente, lo cual es una forma un poco elaborada de decir que dos líneas paralelas nunca se cruzan. Y como esto ocurre únicamente cuando la suma de los dos ángulos internos m y n es exactamente igual a 180 grados, esto significa que sólo es posible trazar una recta paralela a otra recta dada. (Esta es una buena ocasión para señalar que el símbolo de la igualdad que tanto se utiliza en las expresiones matemáticas como A.=.B en realidad viene de la representación de dos líneas paralelas pequeñas, destacando con ello que desde los tiempos de la Edad Media se consideraba que no había nada más igual entre sí que dos líneas paralelas.)

Tal y como enunció Euclides el “quinto postulado”, posiblemente no sea familiar para muchos hasta que no lo reemplacemos por otro enunciado que le es completamente equivalente, el postulado de las paralelas que se enseña en las escuelas, concebido por John Playfair (1748-1819) y que dice: a través de un punto P situado afuera de una línea recta sólo se puede trazar una recta paralela a la recta dada. En realidad, se trata de formas diferentes de hablar de la misma cosa.

Se puede demostrar, dentro de la geometría Euclideana y usando argumentos sencillos, que todos los siguientes enunciados son equivalentes al quinto postulado, cada uno de ellos conduce, individualmente, a cualquiera de los demás. Son en realidad la misma cosa, pero con ropaje diferente:

(1) Dada una recta l y un punto P que no esté situado en dicha línea, existe precisamente una sola línea en el plano en el que se encuentran la recta l y el punto P que no se intersectará con l.

(2) La suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es igual a 180 grados (dos ángulos rectos).

(3) La razón de la circunferencia al diámetro de un círculo (pi) es la misma para cualquier círculo, independientemente de su tamaño.

(4) Dado cualquier triángulo, existen triángulos arbitrariamente mayores y arbitrariamente menores cuyos lados están en la misma proporción uno con respecto al otro (relación de semejanza).

(5) El teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados.


Como ya se dijo, lo elaborado del quinto postulado hace sospechar que en vez de ser una verdad “fundamental” se trata de algo que posiblemente pueda ser deducido a partir de cosas más elementales, en este caso de una combinación inteligente de los otros nueve axiomas, en cuyo caso el postulado dejaría de ser un postulado y pasaría a ser un teorema. Como fue enunciado originalmente, el quinto postulado no parece ser una verdad tan evidente, no parece ser un axioma, más bien parece ser un teorema capaz de ser demostrado con otros principios más elementales. Y el tratar de derivar el quinto postulado de los otros nueve llegó a convertirse en una verdadera obsesión que consumió las vidas de muchos mateméticos de la antiguedad inclusive hasta los albores del Renacimiento. El matemático inglés John Wallis (1616-1703) dedicó un libro suyo, De postulato quinto, para recopilar los numerosos intentos que se habían llevado a cabo para intentar demostrar el quinto postulado. De 1607 a 1880, más de mil libros, ensayos, trabajos y memorias habían sido dedicados al quinto postulado. Sin embargo, todos los intentos para demostrarlo a partir de otros axiomas más elementales resultaron ser defectuosos, ninguno de ellos podía resistir un examen serio. A manera de ejemplo, en 1834 en el volumen 11 del Journal für Mathematik se publicó lo que intentó ser una demostración seria, de buena fé, del quinto postulado, basada en la siguiente figura:


Esta “demostración” procedió de la siguiente manera. El geómetra trazó por B la recta BY paralela a CD, y construyó los ángulos ABN, NBO, OBP y PBQ, cada uno de ellos iguales al ángulo YBA. Razonó correctamente que cualquiera que fuera la magnitud del ángulo YBA, podía, construyendo suficientes ángulos ABN, NBO, etc., llegar finalmente a uno cuyo lado (en la figura, BQ) caiga por debajo de la línea BZ. Supongamos que hay una cantidad n de esos ángulos (en la figura hay cuatro). Señaló entonces n segmentos, CE, EG, GJ, etc., cada uno de ellos iguales a BC, y por los puntos de división trazó las rectas EF, GH, JK, etc., paralelas a CD. Hasta aquí todos los pasos son correctos. Pero el problema es que comenzó a comparar áreas infinitas. Mantenía, por ejemplo, que el área limitada por las rectas indefinidas BY y BA es igual al área infinita limitada por las rectas BA y BN, y que el área infinita limitada en sus tres lados por el segmento de recta BC y las rectas indefinidas BY y CD es igual al área infinita limitada en tres lados por el segmento de recta CE y las rectas indefinidas CD y EF. O como decía él, que el área YBA , es igual al área ABN, y el área YBCD es igual al área DCEF.

Supóngase por un momento que este razonamiento y los razonamientos semejantes acerca de áreas infinitas son válidos. El resto de la demostración es entonces: El área YBLM es igual a n veces el área YBCD, y el área YBQ es igual a n veces el área YBA. Pero el área YBLM no es más que una parte del área YBZ, mientras que el área YBZ es a su vez sólo una parte de la YBQ. Por lo tanto, n veces el área YBCD es menor que el área YBZ, que a su vez es menor que n veces el área YBA. Es decir que n*(YBCD) es menor que n*(YBA), o que YBCD es menor que YBA. Pero si ese es el caso, AB ha de cortar a CD. Porque si AB no cortara a CD, YBCD sería igual a la suma de YBA y ABCD, y por lo tanto sería mayor que YBA.

El problema con esta “demostración”, como ya se dijo, es que las áreas consideradas son infinitas. De dos áreas finitas se puede decir que la primera es menor, igual o mayor que la segunda. Pero es imposible comparar dos área infinitas; de ellas sólo se puede decir que son infinitas.

El tipo de demostración errónea más difundido era el de su sustitución por otra proposición equivalente como, por ejemplo: “la perpendicular y la oblicua respecto a una recta se cortan”, “existe un triángulo semejante al triángulo dado pero no igual a éste”, “el lugar geométrico de puntos equidistantes de una recta dada, si se encuentra a un mismo lado de ésta, es una recta”, “a través de cualesquiera tres puntos se puede trazar o bien una recta o bien una circunferencia”. Pero si el axioma del paralelismo de Euclides no tiene lugar, entonces todas estas proposiciones son erróneas. Por lo tanto, admitiendo cualquiera de estas proposiciones como un axioma, entonces el quinto postulado es justo, es decir, partimos de la justeza de aquello que queríamos demostrar. Hasta la fecha nadie ha podido derivar el quinto postulado de los otros postulados enunciados por Euclides, y existe ya un consenso generalizado de que tal cosa no es posible. Y aún modificado por John Playfair a su expresión aparentemente más sencilla (a través de un punto situado fuera de una recta solamente se puede trazar una recta paralela a la recta dada), el problema es que se supone que el enunciado siempre será válido cuando las líneas rectas son prolongadas hasta el infinito, y es precisamente en los malos manejos matemáticos del infinito en donde científicos de renombre han cometido sus peores errores incurriendo en sus mayores fracasos. Nosotros no sabemos lo que hay más allá de lo que nuestros más potentes telescopios satelitales como el Hubble alcanzan a ver, no sabemos qué propiedades pueda tener el espacio a distancias tan enormes. Inclusive si el espacio y todo lo que hay dentro de él se va contrayendo o expandiendo a grandes distancias, eso es algo que es imposible de deducir del quinto postulado. El quinto postulado en la versión que nos ha sido dada por Playfair supone que las propiedades del espacio en que vivimos se mantendrán iguales hasta el infinito, y esa es una generalización extremadamente temeraria que en los hechos es imposible de probar. Así, en vez de que sea el espacio el que defina la validez del quinto postulado de Euclides, es el quinto postulado de Euclides en la versión de Playfair el que define las propiedades que debe tener el espacio a grandes distancias, pretendiendo substituír la evidencia experimental por concepciones puramente mentales. En realidad, la versión original dada por Euclides, aunque más elaborada, es superior a la versión dada por Playfair, por el hecho de que la versión de Euclides no afirma que dos rectas paralelas no se encontrarán en el infinito, especificando por el contrario las condiciones bajo las cuales dos rectas cualesquiera trazadas sobre un plano sí se llegarán a encontrar.

Es posible que Euclides no haya estado muy contento con la inclusión de su quinto postulado en su obra Los Elementos por las razones citadas. Sin embargo, no es posible recurrir al recurso simplístico de eliminarlo y trabajar únicamente con los nueve postulados restantes, porque hay muchos teoremas en la geometría Euclideana que no pueden ser demostrados si se elimina el quinto postulado. El quinto postulado, pese a las sospechas que suscitaba, era (y sigue siendo) un mal necesario.

Capítulo II: La Primera Geometría no-Euclideana




La naturaleza no tan obvia del quinto postulado de Euclides hizo sospechar a algunas personas de la veracidad del mismo.

Uno de los primeros casos notables es el del matemático Jesuita Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), el cual al ver que no había forma obvia de obtener el quinto postulado de los otros nueve postulados, optó por cambiar de estrategia y empezó intentando demostrar la validez del quinto postulado de Euclides usando el truco más viejo en el costal de trucos de los matemáticos: dada una proposición que se supone como verdadera, se empieza suponiendo que la proposición es falsa y se empieza a trabajar con tal suposición en mente, hasta que invariablemente vamos llegar a un punto en el cual obtenemos un absurdo (entendiblemente este método es conocido en lógica como el método de reducción al absurdo), con lo cual queda demostrado que la proposición no era falsa sino verdadera, ya que por lógica elemental (desarrollada por un contemporáneo de Euclides, Aristóteles) no es posible obtener una conclusión falsa partiendo de una proposición verdadera. Así, en su intento por reivindicar a Euclides, elaboró un libro titulado Euclides ab omni naevo vindicatus, que se traduce como “Euclides liberado de toda falla”, en donde intentó probar el quinto postulado mediante el recurso de demostrar todas las demás alternativas como absurdas, para lo cual construyó lo que hoy se conoce como el “cuadrilátero de Saccheri”:




partiendo de una rectaGH que constituye la base del cuadrilátero, a la cual se le agregan dos rectas perpendiculares AB y CD, a través de las cuales se traza una cuarta línea de modo tal que la longitud de los brazos del cuadrilátero, las rectas que van de la base hasta la cumbre, sean iguales. Tras esto, Saccheri formuló tres hipótesis diferentes acerca de la suma de los ángulos internos del cuadrilátero (los ángulos m, n, o y p): que la suma de los ángulos era menor que, igual a, y mayor que cuatro ángulos rectos (360 grados). Si podía demostrar que la primera y la tercera hipótesis conducían a absurdos lógicos, entonces habría demostrado que la hipótesis intermedia, equivalente al quinto postulado pronunciado por Euclides, era la única geometría consistente, y por lo tanto la única geometría verdadera, dándose por probado rigurosamente como verdadero el quinto postulado. Saccheri desechó rápidamente la tercera hipótesis porque casi de inmediato empezaron a surgir las contradicciones. Sin embargo, la primera hipótesis no condujo a ningún conflicto lógico, y de hecho Saccheri pudo demostrar teorema tras teorema usando el nuevo postulado alterno, construyendo ante su asombro la primera geometría no-Euclideana.

Resulta instructivo reproducir aquí algunos de los razonamientos de Saccheri que lo llevaron a descubrir una geometría tan válida como la geometría de Euclides en la cual no se cumplía el quinto postulado.

Empecemos, como lo hizo Saccheri, con un cuadrilátero formado por dos pares de líneas que se suponen paralelas, en donde hemos designado a los vértices del cuadrilátero con letras distintas:


Obsérvese que, como punto de partida, hemos supuesto que los ángulos correspondientes a los vértices A y B son ángulos rectos. Esto siempre se puede llevar a cabo por construcción, y no requiere de mayor explicación. Obsérvese, sin embargo, que los ángulos correspondientes a los vértices C y D se han dejado como interrogantes. Existen entonces tres posibilidades:

1) Los ángulos en los vértices C y D son iguales ambos a un ángulo recto (90 grados), lo cual debe ser así si el quinto postulado del paralelismo es válido.

2) Los ángulos en los vértices C y D ambos son mayores a un ángulo recto (esta es la hipótesis del ángulo obtuso).

3) Los ángulos en los vértices C y D ambos son menores a un ángulo recto (esta es la hipótesis del ángulo obtuso).

Sin necesidad de utilizar el quinto postulado, es muy fácil demostrar que si los ángulos correspondientes a los vértices A y B son ángulos rectos, entonces los ángulos C y D no pueden ser diferentes, tienen que ser iguales. Si suponemos el quinto postulado de Euclides como justo, entonces los ángulos en los vértices C y D tienen que ser ángulos rectos, es la conclusión a la que se llega aplicando el quinto postulado. Si se niega que los ángulos correspondientes a los vértices C y D sean ángulos rectos, entonces se está negando al quinto postulado. Pero si éstos ángulos no son ángulos rectos, de cualquier modo tienen que ser iguales, así que ambos tienen que ser obtusos o agudos. Supóngase que el quinto postulado no se cumple y que ambos ángulos son agudos. Entonces la situación que tenemos entre manos es la siguiente:



Esta combinación de ángulos internos no es posible en la geometría Euclideana, en la cual el quinto postulado require que todos los ángulos sean ángulos rectos. Pero estamos suponiendo que el quinto postulado no es válido.

El problema que se le presentó aquí a Saccheri es que, usando precisamente este cuadrilátero, fue elaborando teorema tras teorema, siempre buscando algún absurdo. Pero no le fue posible encontrar ninguno. Acababa de descubrir lo que hoy se conoce como geometría hiperbólica sin darse cuenta de ello. Varios de los teoremas que descubrió y que rechazó “por absurdos”, son de hecho teoremas plenamente válidos dentro de la geometría hiperbólica. Incapaz de comprender y aceptar los alcances de su descubrimiento, tras haber desechado la tercera hipótesis Saccheri desechó también la primera (la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es menor que cuatro ángulos rectos) ya no sobre argumentos lógicos sino sobre argumentos teológicos.

A continuación, trataremos de reproducir la forma de pensar de Saccheri usada por él para la demostración de algunos de los teoremas que descubrió dentro de su nueva geometría. Se han hecho algunas modificaciones ligeras para hacer más entendibles los procedimientos, adaptados a la época presente. Todas las demostraciones se llevarán a cabo utilizando únicamente una regla (sin graduaciones ni marcas) y un compás, tal y como lo hacían los geómetras de la antigüedad, y se harán suponiendo la hipótesis de que los ángulos internos en los vértices de la cumbre del cuadrilátero son agudos.

Comenzaremos construyendo primero un cuadrilátero de Saccheri. Levantamos el cuadrilátero empezando con una recta AB, la base del cuadrilátero, y trazamos en los extremos de la base dos perpendiculares, las rectas AC y BD, de modo tal que los ángulos internos en los vértices A y B serán ángulos rectos, haciendo también con el compás que las rectas AC y BD sean iguales iguales en longitud. Tras esto, unimos los puntos C y D con una recta, completando el cuadrilátero:


Demostraremos ahora el primer teorema de nuestra geometría no-Euclideana para este cuadrilátero:

Teorema: Los ángulos en los vértices C y D de la cumbre del cuadrilátero de Saccheri son iguales.

Demostración: A continuación, trazamos dos diagonales para unir a los vértices opuestos del cuadrilátero:


Los triángulos BAC y ABD son congruentes (figuras geométricamente iguales) por tener dos lados iguales (el lado común AB, y el lado AC igual al lado BD por construcción) y un ángulo interior (el ángulo recto) igual. Por ser triángulos congruentes, entonces las rectas AD y BC deben tener la misma longitud. Este resultado intermedio puede ser expresado como un teorema: Las diagonales de un cuadrilátero de Saccheri son iguales. Y esto nos permite hallar dentro del cuadrilátero otros dos triángulos congruentes, los triángulos ACD y CDB, los cuales son congruentes esta vez por tener sus tres lados iguales (la misma base común en la recta CD, el lado AD es igual al lado BC, y el lado AC es igual al lado BD por construcción). Y si tienen sus tres lados iguales, al ser congruentes entonces sus ángulos correspondientes en los vértices C y D deben ser también iguales, lo cual concluye la demostración.

Si los ángulos en los vértices C y D son iguales, como lo acabamos de demostrar, ¿puede decirse algo más acerca de ellos?. En realidad esto es todo lo que podemos afirmar acerca de estos ángulos. No sabemos aún si son ángulos rectos, agudos u obtusos. Aunque resulta fácil ceder a la tentación de proclamarlos como ángulos rectos, esto no demuestra que lo sean. De hecho, a menos de que echemos recurso del quinto postulado de Euclides, no hay forma alguna de demostrar que sean ángulos rectos. Si el quinto postulado de Euclides es válido, entonces se puede demostrar fácilmente que deben ser ángulos rectos. Pero si no hacemos uso del quinto postulado, entonces nos queda la duda de que puedan ser ángulos agudos ó ángulos obtusos. Lo único que sabemos es que deben ser iguales. Trabajemos con el supuesto de que los ángulos en los vértices C y D sean agudos. Esto implica necesariamente que el quinto postulado de Euclides debe ser tomado como falso. A partir de este momento, la geometría Euclideana se comienza a tambalear ante nuestros ojos.

La hipótesis de que los ángulos internos en los vértices de la cumbre del cuadrilátero de Saccheri son agudos, los cuales se acaba de demostrar que son iguales, sumada al hecho de que los ángulos internos en los vértices de la base son rectos por construcción, equivale a decir que dentro de un cuadrilátero de Saccheri la suma de los ángulos internos es menor que 360 grados (cuatro ángulos rectos). Este enunciado no es demostrable, del mismo modo que el quinto postulado de Euclides tampoco lo es. Lo tenemos que aceptar como punto de partida, como un postulado o axioma.

Trabajando sobre el supuesto de que los ángulos C y D son agudos, podemos seguir demostrando más teoremas perfectamente válidos dentro de nuestra primera geometría no-Euclideana. A continuación tenemos otro teorema:

Teorema: La línea que une a los puntos medios de la base y la cumbre del cuadrilátero de Saccheri es una línea que será perpendicular a ambas rectas.

Demostración: A continuación, trazamos una recta que une a los puntos medios del cuadrilátero, los cuales designaremos como E y F. Ahora del punto E trazamos rectas a los vértices C y D del cuadrilátero.


Nuevamente, tenemos que se forman dos triángulos congruentes. Los triángulos AEC y BED son congruentes por tener dos lados iguales (por construcción, el lado AE es igual al lado EB, y el lado AC es igual al lado BD) y un ángulo recto (el ángulo en el vértice A y el ángulo en el vértice B son ambos rectos por construcción). Entonces la recta CE es igual a la recta ED por la relación de congruencia. Pero esto a su vez implica que tenemos otros dos triángulos congruentes, los triángulos CEF y DEF, al tener sus tres lados iguales (el lado CF es igual al lado FD por ser el punto medio de la recta en la cumbre del cuadrilátero). Entonces el ángulo q debe ser igual al ángulo r, lo cual sólo es posible si ambos son ángulos rectos. Esto ya nos dice que la línea EF es una perpendicular a la línea CD. Por otro lado, por la misma congruencia de los triángulos, el ángulo r debe ser igual al ángulo t, de modo tal que:

o + s = p + t

Esto solo puede ser posible si ambos miembros de la igualdad son un ángulo recto. Por lo tanto, la línea EF también es perpendicular a la recta AB, siendo por lo tanto perpendicular a ambas rectas, lo cual concluye la demostración.

Este teorema es interesante, porque nos dice que en nuestra geometría no-Euclideana siempre será posible trazar una línea que será perpendicular a ambas "paralelas".

A continuación, tenemos otro teorema para nuestra geometría no-Euclideana:

Teorema: Si en un cuadrilátero de Saccheri los brazos del cuadrilátero son desiguales, también lo serán los ángulos en la cumbre, y viceversa.

Demostración: Sea el cuadrilátero ABCD en el cual se ha trazado la recta BD con una longitud mayor que la longitud de la recta AC. En el lado mayor, tómese un punto E tal que el segmento de recta BE sea igual en longitud al lado AC:


En el primero de nuestros teoremas, ya habíamos demostrado que los ángulos en los vértices de la cumbre son iguales. Si aquí las rectas AC y BE son iguales, entonces por dicho teorema el ángulo ACE será igual al ángulo CEB:

ang(ACE) = ang(BEC)

Puesto que la recta CE subdivide al ángulo ACD del cuadrilátero, necesariamente el ángulo ACD será mayor que el ángulo ACE:

ang(ACD) > ang(ACE)

Puesto que el ángulo BED es un ángulo exterior del triángulo CED, entonces dicho ángulo será mayor que el ángulo BDC:

ang(BEC) > ang(BDC)

De las tres relaciones obtenemos que el ángulo ACD es mayor que el ángulo BDC a través de los pasos siguientes:

ang(ACD) > ang(ACE)

ang(ACD) > ang(BEC) usando la relación de igualdad

ang(ACD) > ang(BEC) > ang(BDC)

ang(ACD) > ang(BDC)

O sea, los ángulos en la cumbre serán desiguales, por haber sido los brazos del cuadrilátero desiguales, con lo cual queda demostrado el teorema.

Usando este último teorema junto con el segundo teorema, estamos en condiciones de poder demostrar otro teorema interesante:

Teorema: En un cuadrilátero de Sacchieri, la cumbre tiene una longitud mayor que la base.

Demostración: Para demostrar este teorema, dividimos nuevamente el cuadrilátero con una perpendicular que una los puntos medios de la base y la cumbre del cuadrilátero:


Esta línea de hecho divide al cuadrilátero original en dos cuadriláteros de Saccheri, el cuadrilátero AEFC y el cuadrilátero BEFD. Puesto que los ángulos en los vértices D y C son agudos, por el teorema que acabamos de demostrar el lado AC será mayor que el lado EF en el cuadrilátero AEFC, y el lado BD será mayor que el lado EF en el cuadrilátero BEFD. Acostando ahora el cuadrilátero AEFC sobre su lado EF, lo cual nos permite ver el lado EF como una base y los lados AE y CF como los “brazos” de un cuadrilátero, tenemos que el lado CF es mayor que el lado AE. Haciendo lo mismo con el otro cuadrilátero, tenemos algo similar: el lado FD es mayor que el lado EB, lo cual podemos representar con las relaciones:

CF > AE

FD > EB

Sumando los miembros respectivos de las desigualdades, tenemos una nueva desigualdad:

CF + FD > AE + EB

que es lo mismo en la figura que:

CD > AB

O sea que la cumbre del cuadrilátero ¡tiene una longitud mayor que su base!, como consecuencia directa de la hipótesis de los ángulos agudos en los vértices C y D. Esta conclusión empieza a parecer absurda y no concuerda con lo que nos dice nuestra “intuición”, con lo que nos sugiere nuestra experiencia cotidiana. Sin embargo, todos los pasos que hemos llevado a cabo están plenamente justificados, no hemos incurrido en ninguna contradicción lógica, en ningún momento hemos violado las reglas del juego. Igual que como lo descubrió Saccheri, ante nuestros ojos se está desenvolviendo una geometría completamente nueva, una geometría no-Euclideana, la cual nos obliga a ver las cosas desde una perspectiva diferente.

Definimos ahora, dentro de la geometría de Saccheri, que si dos líneas tienen una perpendicular común, como la línea EF mostrada arriba en el cuadrilátero Saccheri, entonces dichas líneas son paralelas. Resulta obvio que si dos líneas AB y CD tienen una perpendicular común, entonces no pueden tener otra perpendicular común más que ésta, ciertamente no en el cuadrilátero de Saccheri en donde los ángulos internos en los vértices C y D se han definido como agudos. Esto lo podemos expresar como un teorema sencillo que acabamos de demostrar usando las siguientes palabras: Si dos líneas en un cuadrilátero de Saccheri tienen una perpendicular común, entonces no pueden tener una segunda.

La existencia de una perpendicular común ofrece la posibilidad interesante para poder construír un cuadrilátero de Saccheri modificado de modo tal que uno de los lados del cuadrilátero sea precisamente esa perpendicular común. De este modo, tendremos un cuadrilátero en el que no únicamente dos sino tres de sus tres ángulos internos serán ángulos rectos como se muestra a continuación:


Este cuadrilátero es mejor conocido como el cuadrilátero de Lambert por haber sido utilizado en el siglo XVIII por el matemático Johann Lambert en sus estudios de geometrías no-Euclideanas, aunque de hecho fue utilizado previamente en el siglo XI por el notable científico musulmán Ibn al-Haytham, un pionero del método científico moderno. Aunque con el cuadrilátero Lambert nos es posible tener un cuadrilátero no-Euclideano en el que tres ángulos internos son rectos (a diferencia del cuadrilátero de Saccheri en el que únicamente dos ángulos internos son rectos), en el cuadrilátero de Lambert los lados verticales del cuadrilátero AC y BD dejan de ser iguales como lo eran en el cuadrilátero de Saccheri, con lo cual lo que por una parte se gana por la otra parte se pierde. En realidad, el cuadrilátero de Lambert no es más útil para intentar demostrar el “postulado de las paralelas” de Euclides que el cuadrilátero de Saccheri, por la simple y sencilla razón de que se trata de algo que no puede ser demostrado.

Procedamos ahora a probar el siguiente:

Teorema: Dos líneas serán paralelas, con una perpendicular común a ambas, si existe una recta transversal que corte a dichas líneas de modo tal que se formen ángulos alternos internos iguales, o ángulos correspondientes iguales.

Esto se verá demostrando que la suposición de que los ángulos alternos internos formados por la transversal que corta a dos líneas sean iguales implica que las rectas atravesadas serán paralelas en el sentido que se le dá a dicha palabra en la geometría de Saccheri. Primero, tómese las siguientes líneas AB y CD de modo tal que sean cortadas en los puntos P y Q por la línea transversal PQ:


de forma tal que el ángulo m sea igual al ángulo n. Si los ángulos m y n son ángulos rectos (de 90 grados), entonces la recta GH debe ser una perpendicular común a las líneas AB y CD, y la demostración se vuelve trivial. Si los ángulos m y n son ángulos agudos, seleccionemos el punto M dentro de la recta PQ de modo tal que sea el punto medio de dicha recta. Sea E la proyección del punto M sobre la línea AB. En la cumbre del cuadrilátero, en la línea CD, tómese el punto F a la izquierda del punto Q de modo tal que el segmento QF sea de igual longitud que el segmento PE. Entonces los triángulos MEP y MFQ serán congruentes (semejantes iguales) por tener dos lados iguales y un ángulo igual (los ángulos correspondientes por los vértices que se tocan en el punto M son iguales). Siendo los triángulos congruentes, entonces el ángulo QFM deberá ser igual al ángulo PEM por la misma congruencia (semejanza) de los triángulos. Siendo el ángulo PEM un ángulo recto por ser el punto E la proyección (perpendicular) sobre la línea AB del punto M, entonces el ángulo QFM también debe serlo, y se concluye que la recta EF es la perpendicular común a ambas líneas AB y CD, con lo cual se concluye también que los puntos E, M y F forman parte de una misma recta (son colineares). Entonces la igualdad de los ángulos alternos internos m y n conduce al resultado de que la recta EMF es una perpendicular común a ambas rectas AB y CD, lo cual solo puede ocurrir si ambas son paralelas.

Estamos ya en condiciones de poder deducir, mediante el cuadrilátero de Saccheri, el siguiente

Teorema: En la geometría basada en el cuadrilátero de Saccheri, la suma de los ángulos internos de todo triángulo será menor que 180 grados (dos ángulos rectos).

Haremos la demostración en dos partes. Lo haremos primero para el caso de los triángulos rectángulos (un triángulo con uno de sus ángulos internos igual a 90 grados). Considérese el siguiente triángulo rectángulo ABC inscrito en el cuadrilátero de Saccheri, lo cual supone que el ángulo interno p en el vértice A es un ángulo recto:


Por tratarse de un cuadrilátero de Saccheri, el ángulo en el vértice C del cuadrilátero, que es igual a la suma de los ángulos o y n, debe ser agudo, menor que 90 grados:

90° > o + n

Por lo que vimos en la demostración anterior, si la línea EF es la perpendicular común a las paralelas AB y CD, entonces los ángulos alternos internos m y n deben ser iguales, con lo cual la anterior desigualdad se convierte en:

90° > o + m

Sumando ahora el ángulo recto p a ambos miembros de la desigualdad, se tiene:

p + 90° > p + o + m

90° + 90°> p + o + m

180° > p + o + m

Esto nos dice claramente que en la geometría de Saccheri, la suma de los ángulos internos de todo triángulo rectángulo será menor que 180 grados.

Ahora se hará la demostración del teorema para cualquier triángulo en general que no sea un triángulo rectángulo. Esto se lleva a cabo con el socorrido truco de dividir un triángulo cualquiera en dos triángulos rectángulos trazando la altura de uno de los vértices a la base. Tómese el siguiente triángulo PQR y tiéndase la altura desde el vértice Q hasta su base de modo tal que la recta QS sea perpendicular a la recta PR:



Al quedar subdividido el triángulo en dos triángulos rectángulos, por lo que acabamos de demostrar para un triángulo tenemos entonces que las siguientes desigualdades deben ser ciertas:

180° > m + o + p

180° > n + q + r

Sumando miembro a miembro ambas desigualdades, obtenemos una nueva desigualdad:

360° > m + o + p + n + q + r

Pero la suma de los ángulos p y q debe ser 180 grados por ser ambos parte de una misma recta. Reacomodando y simplificando:

360° > m + o + n + r + 180°

180° > (m + n) + o + r

Pero m + n es el ángulo interno del triángulo PQR en el vértice Q. Esto nos dice que en la geometría de Saccheri la suma de los ángulos de cualquier triángulo debe ser menor que 180 grados.

Y así como demostramos los teoremas anteriores, podemos seguir derivando más teoremas. La conclusión de que en esta geometría la suma de los ángulos internos de todo triángulo siempre será menor que 180 grados, o sea menor que dos ángulos rectos, choca directamente con el resultado Euclideano que nos dice que en todo triángulo la suma de los ángulos internos será siempre igual a dos ángulos rectos. Hoy se nos hace más fácil digerir todo esto porque nuestro modo de pensar ha evolucionado y estamos más dispuestos a aceptar ideas que van en contra de nuestra intuición, como ha ocurrido con la mecánica cuántica, con el principio de incertidumbre de Heisenberg, con la Teoría de la Relatividad de Einstein, y con el Teorema de Gödel. Pero en la Edad Media e inclusive en los tiempos del Renacimiento, esto mismo que hemos visto hubiera sido visto casi como una herejía.

Paulatinamente, la imagen que empieza a surgir en la geometría de Saccheri es la de dos paralelas que tienen una perpendicular común y que fuera de ella van tomando el siguiente aspecto:





Un observador crítico tal vez podrá objetar de la siguiente manera: “El trazo de dos paralelas supone que estas son líneas rectas, no líneas curvas. Al tener dos líneas curvas ya no podemos hablar de rectas paralelas. Esto hace suponer que el quinto postulado de Euclides sigue siendo absolutamente válido y no hay otra realidad más que la mostrada por dicho postulado”. A lo que se le puede responder de la siguiente manera:

En primer lugar, la curvatura ha sido enormemente exagerada para fines pedagógicos. Una curvatura mucho menos pronunciada, en términos no de distancias terrestres sino de distancias astronómicas, parecería mostrarnos falsamente el aspecto de una línea recta sin serlo. Pero, efectivamente, la longitud de otra perpendicular trazada desde una de las “paralelas” que no coincida con la perpendicular común irá aumentando conforme nos vamos alejando más y más de la perpendicular común. Sin embargo, esto pierde por completo la perspectiva detrás de la construcción del cuadrilátero de Saccheri. Para construír un cuadrilátero de Saccheri, partimos desde una línea AB, la base del cuadrilátero, trazada de la forma más “recta” que nos sea posible concebir (tal vez usando un rayo láser) sin el menor indicio de curvatura alguna, haciendo el supuesto de que los ángulos en la base del cuadrilátero son ángulos rectos y los ángulos en la cumbre son agudos. Para el geómetra que está “abajo”, su visión de lo que ocurre es la siguiente:



Sin embargo, para un geómetra que viva “arriba” y que trace su cuadrilátero Saccheri de arriba hacia abajo, partiendo de la recta “más recta” que le sea posible trazar para la base de su cuadrilátero, quizá con la ayuda de un rayo láser, su visión de lo que ocurre será la siguiente:



Así, cada uno de ellos jurará por lo que les sea más sagrado que la base de su cuadrilátero Saccheri es totalmente recta mientras que la cumbre en el cuadrilátero “del otro” es la que manifiesta una curvatura que hace los ángulos internos en la cumbre agudos, algo que supuestamente dejará perplejos a ambos cuando intercambien notas. Pero ambos quedarán aún más estupefactos cuando alguien capaz de saltar fuera de tan peculiar universo viéndolos “desde arriba” (nosotros) les diga que las rectas de ambos exhiben una curvatura. Para empeorar las cosas, nadie ha venido desde el extremo límite del Universo, situado allá en el infinito, para decirnos cómo se comporta el espacio en tal región. Quizá allá la única geometría válida es la de Saccheri, llevada al extremo.

Si suponemos la base del cuadrilátero de Saccheri como una línea perfectamente recta, entonces resulta ahora más que obvio que por un punto exterior P a una recta dada es posible trazar una cantidad infinita de paralelas a la recta dada, todas las cuales tendrán su perpendicular común en el mismo punto externo P, como lo muestra la siguiente figura en la cual se han trazado tres rectas paralelas que pasan por el punto P:





La diferencia entre la suma de los ángulos internos de un triángulo y 180 grados es lo que comunmente se conoce como el defecto de un triángulo, lo cual se representará aquí con la letra griega delta (δ), y es una cantidad importante para poder llevar a cabo mediciones relacionadas con un triángulo, relaciones que posteriormente se verá en el Capítulo IV de esta bitácora que tienen que ver con el área de un triángulo definida dentro de este tipo de geometría.

La definición del “defecto” de un triángulo (esto de ninguna manera implica que algo en nuestra nueva geometría o en el triángulo sea defectuoso, hay que tomarlo como un uso completamente nuevo de la palabra sin connotación de falla alguna) nos permite establecer otro

Teorema: El defecto δ de un triángulo es igual a la suma de los defectos de los dos subtriángulos que resultan del trazo de una transversal simple dentro del triángulo.

Para demostrar esto, considérese el siguiente triángulo ABC, subdividido en dos subtriángulos por la recta que parte del vértice en el punto C hasta llegar al punto D:


Por la definición del defecto de un triángulo, los defectos de cada uno de los dos subtriángulos estarán dados por las siguientes relaciones:

δ(ADC) = 180 - (m + o + p)

δ(BCD) = 180 - (n + q + r)

Sumando ambas expresiones miembro a miembro y agrupando:

δ(ADC) + δ(BCD) = 360 -[m + o + (p + q) + n + r]

Pero la suma de los ángulos p y q será 180 grados por ser ángulos suplementarios sobre la misma recta, y el ángulo en el vértice C es igual a la suma de los ángulos m y n. Simplificando lo anterior con estos hechos, todo se reduce a:

δ(ADC) + δ(BCD) = 360 - 180 - [(m + n) + o + r]

δ(ADC) + δ(BCD) = 180 - [ang(C) + o + r]

δ(ADC) + δ(BCD) = δ(ABC)

Y el teorema queda demostrado.

Esta propiedad aditiva resulta ser posteriormente de mucha utilidad cuando se trata de definir el concepto del área contenida en el interior de un triángulo Saccheriano.

De haber promocionado Saccheri sus descubrimientos, posiblemente a la larga habría obtenido fama imperecedera como un matemático revolucionario. El problema es que en los tiempos en los que vivía Saccheri no era tan fácil el tratar de cuestionar la geometría desarrollada por Euclides, no era tan fácil desafiarla como la única geometría posible. Euclides era tenido en tan alta estima de autoridad por los clásicos de aquél entonces, que cuestionarlo era considerado casi como una herejía. Y lo que había encontrado Saccheri no sólo derrumbaba a la geometría euclideana como la única geometría posible, sino que traía aparejados un conjunto de nuevos teoremas que entraban directamente en conflicto con los teoremas demostrados por Euclides. Estamos hablando de algo capaz de parar a la geometría Euclideana de cabeza. Y lo que había encontrado Saccheri era una geometría completamente nueva, consistente, sin contradicciones.

Con todo, Saccheri no fue el único que no se atrevió a reconocer la magnitud de su descubrimiento y mucho menos a desafiar algo establecido y aceptado como verdad única hace cientos de años. Nadie menos que el matemático alemán Carl Gauss (1777-1855), el príncipe de las matemáticas, se topó también con el hecho de que el quinto postulado de Euclides no era una verdad absoluta como muchos suponían; podía ser reemplazado por una suposición alterna, tras lo cual se podía construír toda una nueva geometría perfectamente consistente, sin contradicciones, con sus propios teoremas. Gauss llegó a estas conclusiones siguiendo un camino totalmente diferente. Uno de los más importantes contribuyentes a la geometría diferencial, descubrió el teorema de que la “curvatura” de una superficie no-planar estaba relacionada a la métrica usada para medir dicha curvatura (la métrica se define como la expresión matemática usada para medir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una superficie, y si la superficie no es plana, entonces la línea más corta trazada sobre dicha superfice de un punto a otro recibe un nombre más elaborado: la geodésica. Gauss logró demostrar, en su Theorema Egregium, que la curvatura de una superficie es independiente del espacio dentro del cual existe esa superficie, siendo esto una propiedad intrínseca a la suma de los ángulos internos de un triángulo construído sobre dicha superficie, lo cual conducía directamente a la conclusión lógica de que no sólo la suma de los ángulos internos de un triángulo construído sobre una superficie determinaba podía ser diferente de los 180 grados que obtenía la geometría Euclideana, sino inclusive dicha suma podía ser utilizada para calcular la curvatura de la superficie. En otras palabras, para poder determinar la curvatura de la superficie de la Tierra, no es necesario llevar a cabo una medición externa; basta con trazar con mucho cuidado un triángulo grande sobre dicha superficie, y sumando los ángulos internos podemos saber si la Tierra es “plana” como lo suponían muchos contemporáneos de Cristóbal Colón (en cuyo caso la medición arrojaría 180 grados) o podemos saber si la superficie de la Tierra es una superficie curva. Y se repite que para obtener esta información no es necesario salir fuera del triángulo, basta con medir los ángulos interiores del triángulo, los cuales son una propiedad intrínseca de dicha figura geométrica.

Antes que Gauss, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) quien ya fue mencionado previamente con motivo del cuadrilátero de Lambert se había acercado nuevamente a la construcción de geometrías no-Euclideanas en su libro “Teoría de las líneas paralelas” publicado en 1776. Usando una metodología similar a la de Saccheri, descubrió que las tres hipótesis de Saccheri eran equivalentes a la afirmación de que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser igual, mayor o menor que dos ángulos rectos (180 grados); y demostró también que la geometría esférica era similar al tercer caso, especulando que la primera geometría pudiera corresponder a una geometría trazada sobre una esfera con radio imaginario (en donde la base unitaria es la raíz cuadrada del número negativo 1, o sea -1, denotada en matemáticas como i). Reemplazando un radio real por un radio imaginario condujo a lo que se puede considerar como la primera geometría hiperbólica en la cual las fórmulas trigonométricas usuales del seno(x) y del coseno(x) son reemplazadas por el seno hiperbólico ó senh(x) y el coseno hiperbólico ó cosh(x). Entonces surge una duda: ¿por qué razón una de las hipótesis alternas de Saccheri lo condujo a contradicciones lógicas? La respuesta resulta ser mucho más sencilla de lo que parece. Para que en esa “geometría alterna” Saccheri no llegara a contradicciones, no bastaba con modificar el postulado de las paralelas; había que modificar también el segundo postulado que nos dice que una línea se puede extender infinitamente en ambas direcciones, el cual no consideraba la posibilidad de que una recta extendida hacia el infinito en uno de sus lados pudiera regresar por una curvatura del espacio del Universo al punto de partida, en cuyo caso tendríamos no una línea abierta sino una línea cerrada.

Gauss, al igual que Saccheri, se dió cuenta del riesgo que corría si publicaba sus descubrimientos. Además del enorme escándalo que seguramente suscitaría al parar a la geometría euclideana de cabeza, se exponía al ridículo público de aquellos que no quisieran comprender la magnitud de su descubrimiento (a los cuales llamó “beocios”). Es por esto que Gauss prefirió callar y conservar su bien ganada reputación. Fue hasta su muerte cuando al hurgar entre sus papeles se encontraron los manuscritos con los que se comprobó que Gauss, por la vía de la geometría diferencial, había confirmado sus anteriores descubrimientos de una geometría diferente a la geometría Euclideana. Sin embargo, pese a su enorme estatura, no se le dá a Gauss el crédito que merece por dicho descubrimiento porque en la ciencia el crédito va no para quien descubre algo por vez primera sino para aquél que publica los resultados de su descubrimiento primero (es por esto que la paternidad de la invención del cálculo diferencial e integral siempre fue motivo de agrias discusiones y reclamos entre las dos personas que reclamaron hasta el final de sus días el mérito de haber sido el primero en desarrollarlo, por un lado Sir Isaac Newton, y por el otro lado Gottfried Leibniz).

Capítulo III: Las Geometrías Esférica y Elíptica




La posibilidad de que pudiera haber otras geometrías alternas diferentes a la geometría de Euclides en donde no se cumpliera la validez del quinto postulado ya había sido considerada en otros tiempos previos a Saccheri, Lambert y Gauss. Una de ellas era la geometría esférica, la cual podemos analizar como la geometría de la superficie de un globo. En esta geometría se denominan “plano” y “rectas”, respectivamente, a la superficie de la esfera y a las circunferencias de sus círculos máximos, terminología apropiada porque en cualquiera de las geometrías la “recta” es la línea más simple que pueda unir a dos puntos y el “plano” también es la superficie más simple. No será difícil de ver que en esta geometría dos “rectas” siempre se cortan en dos puntos diametralmente opuestos. Lo cual huele sospechosamente al enunciado hipotético de que por un punto exterior a una recta dada no es posible trazar ninguna recta con la cual nunca se cruzará. Por otro lado, la suma de los ángulos internos de un triángulo trazado sobre la superficie de una esfera siempre será mayor que dos ángulos rectos (180 grados). En un triángulo limitado por un cuarto del ecuador terrestre y por los arcos de dos meridianos trazados hasta el polo Norte, la suma de los ángulos internos será de 270 grados. En vista de que la superficie tiene dos dimensiones es común llamar bidimensional a la geometría que estudia las figuras que se encuentran sobre una superficie determinada. Al hecho de que existiera una geometría bidimensional no-Euclideana no se le daba gran importancia por la sencilla razón de que la geometría esférica era estudiada en el plano tridimensional, el cual se daba por hecho que era Euclideano, y esto conducía a no darle tanta importancia a las propiedades no-Euclideanas de la esfera. A la larga, esto demostraría ser una omisión garrafal que retrasaría el descubrimiento de las geometría no-Euclideanas como tales.

La geometría esférica es un caso especial de una geometría más general, una geometría que está basada no en la superficie de una esfera sino en la superficie de un elipsoide. Un elipsoide es un sólido de revolución que se obtiene haciendo girar una elipse alrededor de uno de sus ejes de simetría. Entendiblemente, a este tipo de geometría se le llama geometría elíptica.

El elipsoide está basado en la elipse que en la geometría analítica de dos dimensiones se define como aquella curva tal que desde cualquier punto de la misma la suma de las rectas a dos puntos al interior de la misma conocidos como los focos es una cantidad constante.

Cuando los semiejes a y b y c del elipsoide son todos iguales, entonces el elipsoide se convierte en una esfera.

La geometría desarrollada sobre la superficie de un elipsoide es conocida como geometría eliptica. También es conocida como geometría Riemmaniana, en honor al matemático Bernhard Riemman que desarrolló este tipo de geometría y del cual hablaré más a fondo después.

A continuación tenemos la figura de un elipsoide, el cual podemos imaginar como una pelota esférica de basquetbol a la cual la hemos achatado acostándola sobre el suelo y aplicándole presión en la parte superior con el pie (aquí cabe agregar que nuestro planeta, el planeta Tierra, no es una esfera, es un elipsoide, ya que está achatado por los polos):




Sobre la superficie del elipsoide se ha dibujado un triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C. En la parte inferior del triángulo, los dos ángulos internos los podemos imaginar como ángulos de 90 grados, tal y como los mediríamos si fuésemos unas hormigas caminando sobre la superficie del elipsoide llevando con nosotros un buen transportador para medir los ángulos. El ángulo superior lo podemos imaginar como un ángulo pequeño, digamos de unos 15 grados. Siendo así, la suma de los ángulos internos del triángulo trazado sobre la superficie del elipsoide es mayor que 180 grados. Esto contrasta duramente con uno de los teoremas de la geometría euclideana que nos dice que dentro de un triángulo la suma de los ángulos siempre es igual a 180 grados. Se puede demostrar rigurosamente que el teorema correspondiente en la geometría elíptica dice lo siguiente: en un elipsoide, la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo trazado sobre la superficie del mismo siempre será mayor que 180 grados. Y este no es el único teorema que difiere de su correspondiente en la geometría euclideana. Todos los demás teoremas correspondientes también son diferentes. El hecho de que todos los teoremas sean diferentes es una consecuencia directa del que en una geometría elíptica no es posible trazar una línea paralela a una recta dada. Es una consecuencia directa de la curvatura del espacio en el cual se está desarrollando esta geometría no-euclideana.

¿Cómo podríamos construír el equivalente de una geometría Euclideana, axiomática, sobre la superficie de una esfera? Tendríamos que empezar por definir el equivalente de una línea recta en la superficie de la esfera. En la geometría plana, una recta se define como la menor distancia que hay entre dos puntos. Si nos fijamos bien en la superficie de la esfera, en donde solo podemos trazar arcos de círculo, entre dos puntos podemos trazar muchos arcos, pero de todos ellos sólo uno será el más corto entre dichos puntos. Y resulta que este arco es parte de un círculo máximo de la esfera, definido como el que se obtiene al atravesar la esfera por su centro con un plano que la corta en dos partes iguales. Los meridianos de la Tierra claramente son círculos máximos. La siguiente figura ilustra mejor lo dicho:



En este caso, las rectas esféricas a y b son círculos máximos trazados en la superficie de la esfera, mientras que la línea c claramente no es una recta ya que no es un círculo máximo. El concepto de la menor distancia entre dos puntos sobre la superficie de una esfera se puede extender también hacia un elipsoide, en el cual dados dos puntos cualesquiera sobre su superficie se les puede unir con un arco que forma parte de un plano que corta al elipsoide pasando por su centro de simetría. Estos arcos con distancias mínimas entre dos puntos, tanto para la esfera como para el elipsoide, reciben el nombre de geodésicas. Una característica interesante de la geometría esférica (elíptica) es que, como se dijo al principio, no solo no es posible trazar dos rectas que nunca se crucen, sino inclusive todas las rectas trazadas en una geometría esférica (elíptica) se encontrarán dos veces, como en el caso de las rectas esféricas a y b en el dibujo de arriba.

Definida nuestra línea “recta” en la geometría elíptica, podemos empezar a escribir los axiomas de nuestra geometría no-Euclideana:


AXIOMAS DE LA GEOMETRIA ELIPTICA


Postulado 1: Entre dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una recta.

Postulado 2:

Postulado 3: Se puede dibujar en la superficie elíptica un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio (¡este radio será un arco de círculo!).

Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Postulado 5: Por un punto P, que no pertenezca a una recta, no es posible otra recta que sea paralela a la recta dada, ya que todas las rectas trazadas fuera de la recta dada eventualmente se encontrarán con ella.

Postulado 6: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Postulado 7: Si a iguales les sumamos iguales, las sumas resultantes serán también iguales.

Postulado 8: Si a iguales les restamos iguales, los remanentes serán iguales.

Postulado 9: Figuras que se pueden hacer coincidir son iguales.

Postulado 10: El todo es mayor que la suma de sus partes.


Obsérvese que el Postulado 2 lo dejamos temporalmente vacío mientras decidimos lo que vamos a meter allí. El problema aquí es que mientras una recta en el plano Euclideano se puede extender indefinidamente en ambas direcciones, en el plano elíptico no se puede hacer tal cosa sin que la línea termine regresando al punto de donde partió después de dar “una vuelta completa”. Esta es la verdadera razón por la cual Saccheri llegó rápidamente a contradicciones cuando investigó su “tercera” hipótesis sobre el supuesto de que dentro de su cuadrilátero, el cuadrilátero de Saccheri, la suma de los ángulos internos es mayor que 180 grados. Si hubiese modificado aquí no sólo el quinto postulado sino también el segundo, entonces su “tercera hipótesis” tampoco habría llegado a contradicciones, y habría descubierto las dos geometrías no-Euclideanas alternas a la geometría plana.

Una vez que tenemos nuestros axiomas para una geometría Euclideana, podemos empezar a postular conjeturas y demostrar teoremas. Todo lo que tenemos que hacer es proceder en una forma similar a como lo hacemos en la geometría Euclideana, y para quienes recibieron un buen curso de geometría en una institución de enseñanza media, esto no será ningún problema.

Para quienes han estado acostumbrados a pensar todas sus vidas en dos rectas paralelas como dos líneas equidistantes, puede resultarles difícil de aceptar la idea de pensar en la posibilidad de que haya una alternativa en la cual será imposible evitar que dos rectas paralelas se vayan a encontrar tarde o temprano por muy “paralelas” que sean. Esto lo podemos ver mejor en la construcción de un conjunto de perpendiculares a dos líneas a las que se les supone como líneas paralelas sobre la base de que siempre serán equidistantes:



En esta figura, tenemos una recta AB, a la cual por construcción geométrica se le ha trazado una paralela CD que pasa por el punto p', con una perpendicular adicional que va desde el punto p de la recta AB hasta la recta CD. El que la recta que pasa por los puntos p y p' es una perpendicular para ambas rectas AB y CD es resaltado por el hecho de que dicha perpendicular forma dos ángulos rectos exactos (de 90 grados) con las dos líneas al intersectarse con ellas. Siempre es posible trazar una perpendicular así en cualquier tipo de geometría. Ahora bien, a lo largo de la recta AB podemos trazar otra perpendicular a través de un punto diferente como el punto q, y midiendo la distancia que hay entre los puntos p y p', marcamos un punto sobre dicha perpendicular que guardará la misma distancia que hay en la primera perpendicular entre los puntos p y p', lo cual nos sirve para prolongar la recta paralela CD hacia la derecha. Tras esto, buscamos otro punto r y repetimos el procedimiento, prolongando aún más la recta CD hacia la derecha, de modo tal que siempre se mantendrá equidistante de la recta AB. Podemos repetir el procedimiento, hasta el infinito, y siempre tendremos dos líneas equidistantes. Resulta claro también que solo podemos trazar una sola recta paralela a otra de modo tal que nunca se cruzarán y siempre permanecerán equidistantes, comprobándose la “obvia verdad” del quinto postulado.

El problema con el anterior razonamiento, al menos en la geometría esférica, es que si construímos sobre un globo terráqueo dos líneas que siempre serán equidistantes, entonces por lo menos una de dichas líneas no será un círculo máximo, y no será una recta en la forma en que se ha definido para una geometría esférica. Esto es precisamente lo que ocurre en la figura que muestra círculos máximos trazados sobre la superficie de una esfera. En dicha figura, a es un círculo máximo y por lo tanto una recta esférica, pero c no lo es. Todas las perpendiculares que sean trazadas de la recta esférica a a la línea c serán perpendiculares equidistantes a dicha línea, pero como c no es una recta esférica, aquí no hay paralelas en el sentido esférico de la palabra. En este punto, una persona con dudas podría argumentar que si nos salimas de la superficie de la esfera y nos vamos a tres dimensiones, entonces siempre será posible trazar dos rectas que se mantengan equidistantes todo el tiempo, hasta el infinito, sin encontrarse, tal y como lo pide el quinto postulado, lo cual suena lógico hasta que meditamos en el hecho de que esto supone que el espacio tridimensional es Euclideano hasta el infinito, lo cual es una suposición extremadamente aventurada porque nadie ha estado allí. ¿Qué nos garantiza el que, a distancias enormes, el espacio tridimensional no exhibirá una curvatura espacial como la que exhibe la superficie de la esfera? Para agravar aún más las cosas, tenemos que considerar el hecho preocupante de que, en tres dimensiones, podemos trazar ahorita mismo dos líneas que siempre serán equidistantes y nunca se cruzarán, las cuales sin embargo no serán paralelas en nuestro sentido “intuitivo” de la palabra. Se trata de dos líneas curvas que guardan entre sí una relación como la que hay entre los dos hilos de una trenza, o como la que hay entre las dos hebras del par helicoidal de un segmento de ADN. No es posible usar una suposición “intuitiva” de lo que entendemos por líneas paralelas, en el sentido de la geometría Euclideana, para “demostrar” con ello que el espacio del Universo entero obedece esa geometría.

Como se anticipó al principio, en la geometría esférica (elíptica) siempre podemos construír un triángulo usando arcos de círculos máximos, como se muestra en el siguiente dibujo en el cual se ha trazado un triángulo esférico :




Obsérvese que continuando los arcos de los círculos máximos que definen a un triángulo esférico de manera que den una vuelta completa, siempre se formará otro triángulo del otro lado de la esfera, algo que ciertamente nunca ocurrirá en la geometría Euclideana. En el dibujo, el triángulo A'B'C' es llamado el antípoda del triángulo ABC, ya que se puede obtener reflejando al triángulo original a través del centro de la esfera. Por simetría, ambos triángulos esféricos deben tener la misma área. Definido un triángulo esférico de esta manera, a continuación tenemos un teorema de la geometría esférica fácil de demostrar comparado con su contraparte Euclideana:

geometría Euclideana: “En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos rectos (180 grados)”.
geometría elíptica: “En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es mayor a dos ángulos rectos”.

Trazando un cuadrilátero de Saccheri cuya base esté alineada con el Ecuador de la Tierra, y levantando sus dos lados laterales siguiendo los meridianos terrestres (con el fin de que los lados laterales del cuadrilátero formen ángulos rectos con el Ecuador de la Tierra), podemos comprobar visualmente sin dificultad alguna lo siguiente:

geometría Euclideana: “La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a cuatro ángulos rectos (360 grados)”.
geometría elíptica: “La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero de Saccheri trazado sobre la superficie de una esfera es menor que cuatro ángulos rectos (360 grados)”.

geometría Euclideana: “Para toda circunferencia de radio r la longitud de la circunferencia será igual a 2πr”.
geometría elíptica: “Para toda circunferencia de radio r la longitud de la circunferencia será mayor que 2πr”.

Si construímos un cuadrilátero de Saccheri sobre la superficie de la esfera terrestre, haciendo coincidir la base del cuadrilátero con el Ecuador (en cuyo caso la base será el pleno equivalente de una línea recta), los ángulos internos de los vértices superiores de la cumbre del cuadrilátero serán obtusos. Esto equivale a la hipótesis que fue desechada por Sacchieri, y fue desechada no sólo por el hecho de que esta hipótesis estaba en contradicción directa con el quinto postulado de Euclides que permite trazar una sola paralela a una recta dada por un punto externo a ella, sino porque las paralelas cuando son extendidas en ambas direcciones hacia el infinito tarde o temprano se cruzarán, contradiciendo también el segundo postulado de la geometría Euclideana. Si Saccheri, en vez de desechar la posibilidad de que su cuadrilátero también admitira ángulos obtusos en la cumbre, hubiera procedido a la modificación del segundo axioma de la geometría plana de Euclides, habría creado ante sus asombrados ojos otra geometría distinta, la geometría esférica, que es la que estamos viendo precisamente aquí. Al igual que en la geometría desarrollada por Saccheri, dos rectas “paralelas” tendrán una línea que será una perpendicular común a ambas. En tal región del espacio, la imagen que empieza a surgir en la geometría de Saccheri es la de dos paralelas que tienen una perpendicular común y que fuera de ella van mostrando el siguiente aspecto:




Compárese con la situación que habíamos encontrado para la geometría Saccheriana. Con esto, estamos ya en una posición para poder hacer una comparación general de las tres geometrías posibles: en la geometría Euclideana, solo es posible trazar una línea paralela externa a una recta dada que pase por un punto exterior a ella (con una perpendicular común a ambas) sin que ambas se crucen jamás, mientras que en la geometría esférica no es posible trazar ninguna “paralela” a una recta dada (también con una perpendicular común a ambas) que pase por un punto exterior a ella sin poder evitar que terminen cruzándose tarde o temprano, mientras que en la geometría Saccheriana o hiperbólica es posible como ya vimos en otra entrada el trazar una cantidad infinita de paralelas a una recta dada por un punto exterior a ella (todas ellas coincidiendo con sus perpendiculares comunes a la recta dada en el punto externo de referencia). Esto cubre todos los casos posibles.

Una diferencia dramática entre la geometría Euclideana y la geometría hiperbólica nos la proporciona el teorema de Pitágoras que nos dice que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b:

c² = a² + c²

La demostración de este teorema hace uso del quinto postulado de Euclides. Pero como el quinto postulado de Euclides sólo es válido para una geometría plana, queda claro que el teorema de Pitágoras resulta ser una afirmación falsa dentro de la geometría esférica (elíptica). El equivalente en la geometría esférica del teorema de Pitágoras es la siguiente relación en donde R es el radio de la esfera:


que nos dice lo siguiente: En todo triángulo rectángulo trazado sobre la superficie de una esfera con radio R, el coseno del cociente entre la hipotenusa c y el radio de la esfera R es igual al producto de los cosenos de los cocientes entre los catetos y el radio de la esfera. Aquí el coseno tiene la misma definición que la empleada en trigonometría. Usando una serie matemática para la evaluación de la función coseno como la siguiente:


resulta fácil demostrar que, para un valor grande de R (como el radio de la Tierra), esta relación se convierte con muy poco margen de error aritmético en el teorema de Pitágoras, lo cual confirma nuestra experiencia cotidiana.

Por otra parte, para obtener el área de un triángulo trazado sobre la superficie de una esfera, un teorema importante dentro de la geometría esférica es el Teorema de Girard, el cual no es difícil de demostrar, y el cual nos dice: “Si R es el radio de una esfera, y a, b y c son los ángulos internos de un triángulo (medidos en radianes) cuyos lados son segmentos de círculos máximos de dicha esfera, entones el área S de dicho triángulo estará dada por la relación:

S = (a + b + c - π)

Para darle a los lectores una idea sobre cómo se lleva a cabo la demostración de un teorema en una geometría no-Euclideana cuando se trata de una geometría esférica, a continuación se presentará la demostración del teorema de Girard. Para ello, primero dejaremos definido el ángulo esférico como el ángulo formado por dos círculos máximos que se intersectan en un punto. En la siguiente figura tenemos dos ángulos esféricos que se forman en los vértices A y A' (los cuales generan dos áreas en lados opuestos en la esfera):




Del mismo modo, podemos formar ángulos esfericos en los vértices B y B':




y en los vértices C y C':




El área total de la superficie de la esfera está dada por la suma de las áreas generadas por los ángulos esféricos (dos “lúnulas” de cada lado), a lo cual le tenemos que restarle las áreas de los triángulos esféricos en los vértices ABC y A'B'C' (cuatro veces el área del triángulo esférico ABC) para eliminar la duplicidad que ocurre al haber sumado las áreas generadas por los tres ángulos esféricos:

S = área A + área A' + área B + área B' + área C + área C'
- 4(área del triángulo esférico ABC)

S = 2 (área A) + 2(área B) - 2 (área B)
- 4(área del triángulo esférico ABC)

Resulta obvio que el área de una “lúnula” determinada por un ángulo esférico es proporcional al ángulo esférico. Si sabemos de antemano que el área total de una superficie esférica está dada por

S = 4π

entonces el área determinada por un ángulo esférico p (en donde suponemos que dicho ángulo está medido en radianes) deberá ser 2pR² (de este modo, cuando el ángulo esférico tenga una magnitud de 2π radianes ó 360 grados, cubriendo por completo a la superficie de la esfera, el área conformada por el ángulo esférico será 4π, el área total de la esfera).

De esta manera, la ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

4π= 2 (área A) + 2(área B) - 2 (área B)
- 4(área del triángulo esférico ABC)

4π= 2(2aR²) + 2(2bR²) + 2(2cR²)
- 4(área del triángulo esférico ABC)

4π= 4aR² + 4bR² + 4cR²
- 4(área del triángulo esférico ABC)

área del triángulo esférico ABC = S

S= (a + b + c - π)

Con este teorema podemos deducir resultados importantes. Uno de ellos es el siguiente: “Si dos triángulos (esféricos) tienen ángulos internos iguales, entonces sus áreas serán también iguales”. Esto nos lleva a una conclusión importante: A diferencia de como ocurre en la geometría Euclideana, en la superficie de una esfera no existen triángulos semejantes por el hecho de tener ángulos internos iguales, los triángulos necesariamente son iguales.

Y en lo que respecta al cuadrilátero trazado sobre la superficie de una esfera, usando un procedimiento similar al que se emplea para demostrar el teorema de Girard podemos demostrar que para un cuadrilátero esférico con ángulos internos a, b, c y d (medidos en radianes) su área S estará dada por la relación:

S = (a + b + c + d - 2π)

También con esta relación obtenemos el importante resultado de que en la superficie de una esfera no existen los cuadriláteros semejantes; si tienen sus cuatro ángulos correspondientes iguales entonces deben tener la misma área, y al ser del mismo tamaño tienen que ser iguales. Esta última relación no puede ser usada ni siquiera como una aproximación al área de un cuadrilátero trazado sobre un plano para el caso de una esfera como un radio R muy grande como el de la Tierra, porque en tal caso a medida que el radio R se hace grandísimo la suma de los ángulos internos del cuadrilátero (a + b + c + d) se va aproximando al valor de 2π y la diferencia se volverá pequeñísima, y como bien sabemos el producto de una cantidad grandísima por una cantidad pequeñísima nos puede dar algo intermedio, por ejemplo:

4500000000000000000  ×  0.000000000000000015

produce 67.5 (¿metros cuadrados, un terreno chico para un jardín?).

La fórmula sencilla (base por altura) para el área de un cuadrilátero Euclideano (plano) no puede derivarse como un caso especial de la fórmula para el área de un cuadrilátero esférico (teorema de Girard) aún cuando el radio de la esfera se aproxime a un radio infinito, del mismo modo que la fórmula para el área de un cuadrilátero esférico no puede derivarse como un caso especial de la fórmula para un cuadrilátero Euclideano. Es precisamente este tipo de dificultades por las cuales Saccheri cedió a la tentación de rechazar a la geometría elíptica como una geometría lógicamente consistente.

Puesto que la única diferencia entre la geometría Euclideana y la geometría esférica (elíptica) es el postulado de las paralelas, el quinto postulado, esto significa que cualquier demostración en la geometría Euclideana que no haga uso del quinto postulado será una demostración igualmente válida, con el mismo resultado, en la geometría esférica (elíptica). Esto nos permite de manera casi gratuita incorporar dentro de la geometría esférica (elíptica) las demostraciones de muchos teoremas de la geometría Euclideana, algunos de ellos laboriosos. Del mismo modo, esto significa que todos los teoremas en la geometría Euclideana que hagan uso del quinto postulado serán falsos en la geometría esférica (elíptica).