tag:blogger.com,1999:blog-22968827994670753752023-11-16T07:42:39.751-08:00Geometrías no-EuclideanasMás allá de lo que nos permiten captar nuestros sentidos físicos, hay que tener nuestra mente abierta a la posibilidad de que puedan existir otras realidades diferentes a lo que nos dicta nuestra experiencia, realidades capaces de ser descubiertas por la fuerza del intelecto cuando nos atrevemos a cuestionar aquello que creíamos como absoluto.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comBlogger11125tag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-91129748562290940542007-09-29T20:00:00.000-07:002011-01-31T14:10:47.733-08:00Indice<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">Indice de Temas</span></div><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Capítulo I</span>: <a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-i-el-quinto-postulado.html"><span style="font-style: italic;">El Quinto Postulado</span></a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Capítulo II</span>: <a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-ii-la-primera-geometra-no.html"><span style="font-style: italic;">La Primera Geometría no-Euclideana</span></a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Capítulo III</span>: <a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-iii-las-geometras-esfrica-y.html"><span style="font-style: italic;">Las Geometrías Esférica y Elíptica</span></a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Capítulo IV</span>: <a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-iv-construyendo-una-nueva.html"><span style="font-style: italic;">Construyendo una Nueva Geometría</span></a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Capítulo V</span>: <a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-v-un-acertijo-filosfico.html"><span style="font-style: italic;">Un Acertijo Filosófico</span></a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Capítulo VI</span>: <a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-vi-la-nueva-geometra-riemanniana.html"><span style="font-style: italic;">La Nueva Geometría Riemanniana</span></a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Capítulo VII</span>: <a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-vii-cul-geometra-es-la-correcta.html"><span style="font-style: italic;">¿Cuál geometría es la correcta?</span></a><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Capítulo VIII</span>: <a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/parte-viii-fuentes-adicionales-de.html"><span style="font-style: italic;">Fuentes adicionales de referencia</span></a><br />
<br />
<a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/10/suplemento-1.html" style="font-style: italic; font-weight: bold;">Suplemento # 1</a><br />
<br />
<div style="text-align: left;"><a href="http://geometrias-no-euclideanas.blogspot.com/2007/09/suplemento-2.html"><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">Suplemento # 2</span></a><br />
<br />
</div>Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-64492446794322442462007-09-29T18:10:00.000-07:002011-04-07T10:28:38.812-07:00Capítulo I: El Quinto Postulado<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<br />
Hacia finales del siglo IV apareció publicado un libro titulado <i>Los Elementos</i> que inmortalizaría a un matemático de la antigua Grecia llamado Euclides, el cual resumió en trece libros (que en la actualidad son conocidos simplemente como los trece capítulos del libro) los desarrollos que había logrado en esa época la primera rama fundamental de las matemáticas desarrollada de una manera lógica y formal: la Geometría plana (también conocida como <span style="font-style: italic;">planimetría</span>). La obra quedó dividida en las siguientes secciones:<br />
<br />
Libros I-IV: La Geometría de Triángulos y Círculos<br />
<br />
Libros V-VI: Teoría de las Proporciones Geométricas<br />
<br />
Libros VII-IX: Teoría de los Números<br />
<br />
Libro X: Teoría de los Números Irracionales<br />
<br />
Libros XI-XIII: Geometría Sólida<br />
<br />
El libro de Euclides estableció la metodología rigurosa que aún se utiliza hoy en día desde las matemáticas más elementales de la escuela secundaria hasta las matemáticas de vanguardia con las cuales se llevan a cabo las más avanzadas investigaciones y desarrollos en las instituciones universitarias: se empieza con un conjunto de definiciones y de axiomas (verdades tan evidentes que nadie las pondrá en tela de duda) con los cuales se empiezan a llevar a cabo demostraciones de otras proposiciones cuya veracidad ya no es tan evidente, proposiciones llamadas <b>teoremas</b>. Para que un teorema pueda ser aceptado como válido, es requisito indispensable que pueda ser deducido a partir de los axiomas básicos (o postulados) que se usan como punto de partida. Entanto que tal cosa no pueda ser lograda, la veracidad del teorema quedará en tela de duda, y en vez de llamársele teorema se le llamará simplemente una <i>conjetura</i>.<br />
<br />
Los “ladrillos” fundamentales con los cuales Euclides construyó su obra, sus puntos de partida, sus diez postulados, son los siguientes:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>AXIOMAS DE LA GEOMETRIA EUCLIDEANA</b></div><br />
<br />
<b>Postulado 1</b>: Entre dos puntos se puede trazar una línea recta única.<br />
<br />
<b>Postulado 2</b>: Una línea se puede extender indefinidamente en ambas direcciones.<br />
<br />
<b>Postulado 3</b>: Se puede dibujar un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio.<br />
<br />
<b>Postulado 4</b>: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.<br />
<br />
<b>Postulado 5</b>: Si dos líneas rectas, al intersectarse con una tercera, forman ángulos internos unilaterales cuya suma es menor a dos ángulos rectos (menor que 180 grados), resulta ser que estas dos rectas, al prolongarlas ilimitadamente, se encontrarán por aquél lado en el que esta suma es inferior a dos ángulos rectos.<br />
<br />
<b>Postulado 6</b>: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.<br />
<br />
<b>Postulado 7</b>: Si a iguales les sumamos iguales, las sumas resultantes serán también iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 8</b>: Si a iguales les restamos iguales, los remanentes serán iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 9</b>: Figuras que se pueden hacer coincidir son iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 10</b>: El todo es mayor que la suma de sus partes.<br />
<br />
<br />
Todos, absolutamente todos los teoremas de la geometría “clásica” se pueden obtener a partir de los diez postulados dados por Euclides.<br />
<br />
Sin embargo, si volvemos a leer los diez postulados, resalta de inmediato que el quinto postulado parece ser demasiado elaborado, demasiado complicado. Lo cual suscita de inmediato una pregunta: ¿no será posible obtener dicho postulado combinando de varias maneras los otros nueve postulados? A continuación se muestra más claramente lo que nos quiso decir Euclides con su quinto postulado:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRHsffDu4DI67hjKCe-Ol83lchEPxcdHGqj2OER_vrLPvD6wRTIk9w_jMhOgHudyrLQYoH2-6PRFHMq3rZKR5ysR2NH8vqAzqac0T9djUAP-rc0krY24ky63Y8qnxp447nUfxdyWxfq58/s1600-h/postulado_paralelas.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5115799585487956178" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRHsffDu4DI67hjKCe-Ol83lchEPxcdHGqj2OER_vrLPvD6wRTIk9w_jMhOgHudyrLQYoH2-6PRFHMq3rZKR5ysR2NH8vqAzqac0T9djUAP-rc0krY24ky63Y8qnxp447nUfxdyWxfq58/s400/postulado_paralelas.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
En el diagrama, si dos líneas rectas (en este caso la línea AB y la línea CD), las cuales obviamente <i>no son líneas paralelas</i>, al intersectarse con una tercera (en este caso la línea EF), forman ángulos internos unilaterales cuya suma es menor a dos ángulos rectos (obsérvese que la suma de los ángulos internos <b>m</b> y <b>n</b> es menor que 180 grados, lo cual se puede verificar midiendo los ángulos con un transportador y sumándolos), al prolongarlas ilimitadamente, se cruzarán por aquél lado en el que esta suma es inferior a dos ángulos rectos, o sea que en este caso al ser prolongadas se encontrarán por el lado derecho.<br />
<br />
No es difícil ver que si las líneas rectas AB y CD se hubieran dibujado de tal forma que fuesen lo que llamamos rectas <b>paralelas</b>, entonces al intersectarse con la tercera línea recta EF habrían formado ángulos internos <b>m</b> y <b>n</b> cuya suma habría sido <i>igual</i> a dos ángulos rectos, o sea igual a 180 grados, definidos por construcción como ángulos <i>alternos internos</i>, y en tal caso las líneas rectas jamás se encontrarían ni del lado derecho ni del lado izquierdo al prolongarlas ilimitadamente, lo cual es una forma un poco elaborada de decir que <i>dos líneas paralelas nunca se cruzan</i>. Y como esto ocurre únicamente cuando la suma de los dos ángulos internos <b>m</b> y <b>n</b> es exactamente igual a 180 grados, esto significa que sólo es posible trazar una recta paralela a otra recta dada. (Esta es una buena ocasión para señalar que el <b>símbolo de la igualdad</b> que tanto se utiliza en las expresiones matemáticas como <b>A<span style="color: white;">.</span>=<span style="color: white;">.</span>B</b> en realidad viene de la representación de dos líneas paralelas pequeñas, destacando con ello que desde los tiempos de la Edad Media se consideraba que no había nada más igual entre sí que dos líneas paralelas.)<br />
<br />
Tal y como enunció Euclides el “quinto postulado”, posiblemente no sea familiar para muchos hasta que no lo reemplacemos por otro enunciado que le es completamente equivalente, el <b>postulado de las paralelas</b> que se enseña en las escuelas, concebido por John Playfair (1748-1819) y que dice: <i>a través de un punto P situado afuera de una línea recta sólo se puede trazar una recta paralela a la recta dada</i>. En realidad, se trata de formas diferentes de hablar de la misma cosa.<br />
<br />
Se puede demostrar, dentro de la geometría Euclideana y usando argumentos sencillos, que todos los siguientes enunciados son equivalentes al quinto postulado, cada uno de ellos conduce, individualmente, a cualquiera de los demás. Son en realidad la misma cosa, pero con ropaje diferente:<br />
<br />
(1) Dada una recta <b>l</b> y un punto <b>P</b> que no esté situado en dicha línea, existe precisamente una sola línea en el plano en el que se encuentran la recta <b>l</b> y el punto <b>P</b> que no se intersectará con <b>l</b>.<br />
<br />
(2) La suma de los ángulos internos en cualquier triángulo es igual a 180 grados (dos ángulos rectos).<br />
<br />
(3) La razón de la circunferencia al diámetro de un círculo (pi) es la misma para cualquier círculo, independientemente de su tamaño.<br />
<br />
(4) Dado cualquier triángulo, existen triángulos arbitrariamente mayores y arbitrariamente menores cuyos lados están en la misma proporción uno con respecto al otro (relación de semejanza).<br />
<br />
(5) El teorema de Pitágoras: <i>En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados</i>.<br />
<br />
<br />
Como ya se dijo, lo elaborado del quinto postulado hace sospechar que en vez de ser una verdad “fundamental” se trata de algo que posiblemente pueda ser deducido a partir de cosas más elementales, en este caso de una combinación inteligente de los otros nueve axiomas, en cuyo caso el postulado dejaría de ser un postulado y pasaría a ser un teorema. Como fue enunciado originalmente, el quinto postulado no parece ser una verdad tan evidente, no parece ser un axioma, más bien parece ser un teorema capaz de ser demostrado con otros principios más elementales. Y el tratar de derivar el quinto postulado de los otros nueve llegó a convertirse en una verdadera obsesión que consumió las vidas de muchos mateméticos de la antiguedad inclusive hasta los albores del Renacimiento. El matemático inglés John Wallis (1616-1703) dedicó un libro suyo, <i>De postulato quinto</i>, para recopilar los numerosos intentos que se habían llevado a cabo para intentar demostrar el quinto postulado. De 1607 a 1880, más de mil libros, ensayos, trabajos y memorias habían sido dedicados al quinto postulado. Sin embargo, todos los intentos para demostrarlo a partir de otros axiomas más elementales resultaron ser defectuosos, ninguno de ellos podía resistir un examen serio. A manera de ejemplo, en 1834 en el volumen 11 del <i>Journal für Mathematik</i> se publicó lo que intentó ser una demostración seria, de buena fé, del quinto postulado, basada en la siguiente figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinALRHZoesoSSt9mn0Mk_quMBzOiTlObSiptFR1kSLv0aYmtTttlo4QhZrTq349Ux_c6CMHlkWXZnJxBvBiWuNCQCHnf6YWh4O8GBETdNwVbjng-ZBYUnmFUaH-2zDVKxOYexqyGPB4ps/s1600-h/demostracion_sofistica_paralelas.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5127702196736634482" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinALRHZoesoSSt9mn0Mk_quMBzOiTlObSiptFR1kSLv0aYmtTttlo4QhZrTq349Ux_c6CMHlkWXZnJxBvBiWuNCQCHnf6YWh4O8GBETdNwVbjng-ZBYUnmFUaH-2zDVKxOYexqyGPB4ps/s400/demostracion_sofistica_paralelas.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Esta “demostración” procedió de la siguiente manera. El geómetra trazó por B la recta BY paralela a CD, y construyó los ángulos ABN, NBO, OBP y PBQ, cada uno de ellos iguales al ángulo YBA. Razonó correctamente que cualquiera que fuera la magnitud del ángulo YBA, podía, construyendo suficientes ángulos ABN, NBO, etc., llegar finalmente a uno cuyo lado (en la figura, BQ) caiga por debajo de la línea BZ. Supongamos que hay una cantidad n de esos ángulos (en la figura hay cuatro). Señaló entonces n segmentos, CE, EG, GJ, etc., cada uno de ellos iguales a BC, y por los puntos de división trazó las rectas EF, GH, JK, etc., paralelas a CD. Hasta aquí todos los pasos son correctos. Pero el problema es que comenzó a comparar <span style="font-style: italic;">áreas infinitas</span>. Mantenía, por ejemplo, que el área limitada por las rectas indefinidas BY y BA es igual al área infinita limitada por las rectas BA y BN, y que el área infinita limitada en sus tres lados por el segmento de recta BC y las rectas indefinidas BY y CD es igual al área infinita limitada en tres lados por el segmento de recta CE y las rectas indefinidas CD y EF. O como decía él, que el área YBA , es igual al área ABN, y el área YBCD es igual al área DCEF.<br />
<br />
Supóngase por un momento que este razonamiento y los razonamientos semejantes acerca de áreas infinitas son válidos. El resto de la demostración es entonces: El área YBLM es igual a n veces el área YBCD, y el área YBQ es igual a n veces el área YBA. Pero el área YBLM no es más que una parte del área YBZ, mientras que el área YBZ es a su vez sólo una parte de la YBQ. Por lo tanto, n veces el área YBCD es menor que el área YBZ, que a su vez es menor que n veces el área YBA. Es decir que n*(YBCD) es menor que n*(YBA), o que YBCD es menor que YBA. Pero si ese es el caso, AB ha de cortar a CD. Porque si AB no cortara a CD, YBCD sería igual a la suma de YBA y ABCD, y por lo tanto sería mayor que YBA.<br />
<br />
El problema con esta “demostración”, como ya se dijo, es que las áreas consideradas son infinitas. De dos áreas finitas se puede decir que la primera es menor, igual o mayor que la segunda. Pero es imposible comparar dos área <span style="font-style: italic;">infinitas</span>; de ellas sólo se puede decir que son infinitas.<br />
<br />
El tipo de demostración errónea más difundido era el de su sustitución por otra proposición equivalente como, por ejemplo: “la perpendicular y la oblicua respecto a una recta se cortan”, “existe un triángulo semejante al triángulo dado pero no igual a éste”, “el lugar geométrico de puntos equidistantes de una recta dada, si se encuentra a un mismo lado de ésta, es una recta”, “a través de cualesquiera tres puntos se puede trazar o bien una recta o bien una circunferencia”. Pero si el axioma del paralelismo de Euclides no tiene lugar, entonces todas estas proposiciones son erróneas. Por lo tanto, admitiendo cualquiera de estas proposiciones como un axioma, entonces el quinto postulado es justo, es decir, partimos de la justeza de aquello que queríamos demostrar. Hasta la fecha nadie ha podido derivar el quinto postulado de los otros postulados enunciados por Euclides, y existe ya un consenso generalizado de que tal cosa no es posible. Y aún modificado por John Playfair a su expresión aparentemente más sencilla (<i>a través de un punto situado fuera de una recta solamente se puede trazar una recta paralela a la recta dada</i>), el problema es que se supone que el enunciado siempre será válido cuando las líneas rectas son prolongadas <i>hasta el infinito</i>, y es precisamente en los malos manejos matemáticos del infinito en donde científicos de renombre han cometido sus peores errores incurriendo en sus mayores fracasos. Nosotros no sabemos lo que hay más allá de lo que nuestros más potentes telescopios satelitales como el Hubble alcanzan a ver, no sabemos qué propiedades pueda tener el espacio a distancias tan enormes. Inclusive si el espacio y todo lo que hay dentro de él se va contrayendo o expandiendo a grandes distancias, eso es algo que es imposible de deducir del quinto postulado. El quinto postulado en la versión que nos ha sido dada por Playfair supone que las propiedades del espacio en que vivimos se mantendrán iguales <i>hasta el infinito</i>, y esa es una generalización extremadamente temeraria que en los hechos es imposible de probar. Así, en vez de que sea el espacio el que defina la validez del quinto postulado de Euclides, es el quinto postulado de Euclides en la versión de Playfair el que define las propiedades que debe tener el espacio a grandes distancias, pretendiendo substituír la evidencia experimental por concepciones puramente mentales. En realidad, la versión original dada por Euclides, aunque más elaborada, es superior a la versión dada por Playfair, por el hecho de que la versión de Euclides no afirma que dos rectas paralelas no se encontrarán en el infinito, especificando por el contrario las condiciones bajo las cuales dos rectas cualesquiera trazadas sobre un plano sí se llegarán a encontrar.<br />
<br />
Es posible que Euclides no haya estado muy contento con la inclusión de su quinto postulado en su obra <i>Los Elementos</i> por las razones citadas. Sin embargo, no es posible recurrir al recurso simplístico de eliminarlo y trabajar únicamente con los nueve postulados restantes, porque hay muchos teoremas en la geometría Euclideana que no pueden ser demostrados si se elimina el quinto postulado. El quinto postulado, pese a las sospechas que suscitaba, era (y sigue siendo) un mal necesario.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-35943819242721322442007-09-29T04:15:00.000-07:002011-04-07T10:40:19.253-07:00Capítulo II: La Primera Geometría no-Euclideana<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<br />
La naturaleza no tan obvia del quinto postulado de Euclides hizo sospechar a algunas personas de la veracidad del mismo.<br />
<br />
Uno de los primeros casos notables es el del matemático Jesuita Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), el cual al ver que no había forma obvia de obtener el quinto postulado de los otros nueve postulados, optó por cambiar de estrategia y empezó intentando demostrar la validez del quinto postulado de Euclides usando el truco más viejo en el costal de trucos de los matemáticos: dada una proposición que se supone como verdadera, se empieza suponiendo que la proposición es falsa y se empieza a trabajar con tal suposición en mente, hasta que invariablemente vamos llegar a un punto en el cual obtenemos un absurdo (entendiblemente este método es conocido en lógica como el método de <i>reducción al absurdo</i>), con lo cual queda demostrado que la proposición no era falsa sino verdadera, ya que por lógica elemental (desarrollada por un contemporáneo de Euclides, Aristóteles) no es posible obtener una conclusión falsa partiendo de una proposición verdadera. Así, en su intento por reivindicar a Euclides, elaboró un libro titulado <i>Euclides ab omni naevo vindicatus</i>, que se traduce como “Euclides liberado de toda falla”, en donde intentó probar el quinto postulado mediante el recurso de demostrar todas las demás alternativas como absurdas, para lo cual construyó lo que hoy se conoce como el “cuadrilátero de Saccheri”:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4zPtDUAewHz7NKOdML4e5HIsyb7zFA5RNh1H1oJkXQvP9MmdFknNQNEuHpoy4NUwVM_fjgC8OPyIVklUtt-azKxVUGMFcpKL0io2qIeM8RZPa_tUJ4eO-w5TVHqqdYETSdZ2nT2kyZkc/s1600-h/cuadrilatero_saccheri.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5115800586215336162" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4zPtDUAewHz7NKOdML4e5HIsyb7zFA5RNh1H1oJkXQvP9MmdFknNQNEuHpoy4NUwVM_fjgC8OPyIVklUtt-azKxVUGMFcpKL0io2qIeM8RZPa_tUJ4eO-w5TVHqqdYETSdZ2nT2kyZkc/s400/cuadrilatero_saccheri.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
partiendo de una rectaGH que constituye la <span style="font-style: italic;">base</span> del cuadrilátero, a la cual se le agregan dos rectas perpendiculares AB y CD, a través de las cuales se traza una cuarta línea de modo tal que la longitud de los <span style="font-style: italic;">brazos</span> del cuadrilátero, las rectas que van de la base hasta la <span style="font-style: italic;">cumbre</span>, sean iguales. Tras esto, Saccheri formuló tres hipótesis diferentes acerca de la suma de los ángulos internos del cuadrilátero (los ángulos <b>m</b>, <b>n</b>, <b>o</b> y <b>p</b>): que la suma de los ángulos era menor que, igual a, y mayor que cuatro ángulos rectos (360 grados). Si podía demostrar que la primera y la tercera hipótesis conducían a absurdos lógicos, entonces habría demostrado que la hipótesis intermedia, equivalente al quinto postulado pronunciado por Euclides, era la única geometría consistente, y por lo tanto la única geometría verdadera, dándose por probado rigurosamente como verdadero el quinto postulado. Saccheri desechó rápidamente la tercera hipótesis porque casi de inmediato empezaron a surgir las contradicciones. Sin embargo, la primera hipótesis no condujo a ningún conflicto lógico, y de hecho Saccheri pudo demostrar teorema tras teorema usando el nuevo postulado alterno, construyendo ante su asombro la primera geometría no-Euclideana.<br />
<br />
Resulta instructivo reproducir aquí algunos de los razonamientos de Saccheri que lo llevaron a descubrir una geometría tan válida como la geometría de Euclides en la cual no se cumplía el quinto postulado.<br />
<br />
Empecemos, como lo hizo Saccheri, con un cuadrilátero formado por dos pares de líneas que se suponen paralelas, en donde hemos designado a los vértices del cuadrilátero con letras distintas:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJUMcoBdQCN2tmzDhUuPg0ARTQHciY5OLOLG77hgql5I-HknFpzlzCDcDBe-pB2PPrCtUXB-Uoi2FjSyk2_NSbUaapjESBQlEle1EUdYja0MAmc8gnRewKsI8m421mm8rV_kx0ktcSwio/s1600-h/figura_b%C3%A1sica.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5115800882568079602" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJUMcoBdQCN2tmzDhUuPg0ARTQHciY5OLOLG77hgql5I-HknFpzlzCDcDBe-pB2PPrCtUXB-Uoi2FjSyk2_NSbUaapjESBQlEle1EUdYja0MAmc8gnRewKsI8m421mm8rV_kx0ktcSwio/s400/figura_b%C3%A1sica.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Obsérvese que, como punto de partida, hemos supuesto que los ángulos correspondientes a los vértices <b>A</b> y <b>B</b> son ángulos rectos. Esto siempre se puede llevar a cabo por construcción, y no requiere de mayor explicación. Obsérvese, sin embargo, que los ángulos correspondientes a los vértices <b>C</b> y <b>D</b> se han dejado como interrogantes. Existen entonces tres posibilidades:<br />
<br />
1) Los ángulos en los vértices <b>C</b> y <b>D</b> son iguales ambos a un ángulo recto (90 grados), lo cual debe ser así si el quinto postulado del paralelismo es válido.<br />
<br />
2) Los ángulos en los vértices <b>C</b> y <b>D</b> ambos son mayores a un ángulo recto (esta es la <i>hipótesis del ángulo obtuso</i>).<br />
<br />
3) Los ángulos en los vértices <b>C</b> y <b>D</b> ambos son menores a un ángulo recto (esta es la <i>hipótesis del ángulo obtuso</i>).<br />
<br />
Sin necesidad de utilizar el quinto postulado, es muy fácil demostrar que si los ángulos correspondientes a los vértices <b>A</b> y <b>B</b> son ángulos rectos, entonces los ángulos <b>C</b> y <b>D</b> no pueden ser diferentes, tienen que ser iguales. Si suponemos el quinto postulado de Euclides como justo, entonces los ángulos en los vértices <b>C</b> y <b>D</b> tienen que ser ángulos rectos, es la conclusión a la que se llega aplicando el quinto postulado. Si se niega que los ángulos correspondientes a los vértices <b>C</b> y <b>D</b> sean ángulos rectos, entonces se está negando al quinto postulado. Pero si éstos ángulos no son ángulos rectos, de cualquier modo tienen que ser iguales, así que ambos tienen que ser obtusos o agudos. Supóngase que el quinto postulado no se cumple y que ambos ángulos son agudos. Entonces la situación que tenemos entre manos es la siguiente:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggKtNlvhYIzd5k49CWkkVWaDsXCx1FRT_XjtiPgRKVn08t0Go0lOaY5v4MayF-zrQLh0r8HEf5tnIc0fPKuVqlQv9ky4URCJhAN6QmDkU6xkKrex-qx0aAbHQagLFG0wB3x2y7z1L7Xhk/s1600-h/integracion_figuras.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5115801135971150082" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggKtNlvhYIzd5k49CWkkVWaDsXCx1FRT_XjtiPgRKVn08t0Go0lOaY5v4MayF-zrQLh0r8HEf5tnIc0fPKuVqlQv9ky4URCJhAN6QmDkU6xkKrex-qx0aAbHQagLFG0wB3x2y7z1L7Xhk/s400/integracion_figuras.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Esta combinación de ángulos internos no es posible en la geometría Euclideana, en la cual el quinto postulado require que todos los ángulos sean ángulos rectos. Pero estamos suponiendo que el quinto postulado no es válido.<br />
<br />
El problema que se le presentó aquí a Saccheri es que, usando precisamente este cuadrilátero, fue elaborando teorema tras teorema, siempre buscando algún absurdo. Pero no le fue posible encontrar ninguno. Acababa de descubrir lo que hoy se conoce como <i>geometría hiperbólica</i> sin darse cuenta de ello. Varios de los teoremas que descubrió y que rechazó “por absurdos”, son de hecho teoremas plenamente válidos dentro de la geometría hiperbólica. Incapaz de comprender y aceptar los alcances de su descubrimiento, tras haber desechado la tercera hipótesis Saccheri desechó también la primera (la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es menor que cuatro ángulos rectos) ya no sobre argumentos lógicos sino sobre argumentos teológicos.<br />
<br />
A continuación, trataremos de reproducir la forma de pensar de Saccheri usada por él para la demostración de algunos de los teoremas que descubrió dentro de su nueva geometría. Se han hecho algunas modificaciones ligeras para hacer más entendibles los procedimientos, adaptados a la época presente. Todas las demostraciones se llevarán a cabo utilizando únicamente una regla (sin graduaciones ni marcas) y un compás, tal y como lo hacían los geómetras de la antigüedad, <span style="font-style: italic;">y se harán suponiendo la hipótesis de que los ángulos internos en los vértices de la cumbre del cuadrilátero son agudos</span>.<br />
<br />
Comenzaremos construyendo primero un <span style="font-weight: bold;">cuadrilátero de Saccheri</span>. Levantamos el cuadrilátero empezando con una recta AB, la <span style="font-style: italic;">base</span> del cuadrilátero, y trazamos en los extremos de la base dos perpendiculares, las rectas AC y BD, de modo tal que los ángulos internos en los vértices A y B serán ángulos rectos, haciendo también con el compás que las rectas AC y BD sean iguales iguales en longitud. Tras esto, unimos los puntos C y D con una recta, completando el cuadrilátero:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxKx7Ry9rTLSxHKUbaf6iEcWiuf0-04KKHRs3xi2FJYv_1F3CTHJbAy_7tVkodzY6xiIBj_C6SzEGGiI4UkDiAvkxrVhlUoNaPzxIJCScAZwUoGByBgnoqcL1RMtiPF1VM1LgDWanerX0/s1600-h/cuadrilatero_sacchieri.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120523315074149122" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxKx7Ry9rTLSxHKUbaf6iEcWiuf0-04KKHRs3xi2FJYv_1F3CTHJbAy_7tVkodzY6xiIBj_C6SzEGGiI4UkDiAvkxrVhlUoNaPzxIJCScAZwUoGByBgnoqcL1RMtiPF1VM1LgDWanerX0/s400/cuadrilatero_sacchieri.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Demostraremos ahora el primer teorema de nuestra geometría no-Euclideana para este cuadrilátero:<br />
<br />
<b>Teorema</b>: <i>Los ángulos en los vértices C y D de la cumbre del cuadrilátero de Saccheri son iguales</i>.<br />
<br />
<b>Demostración</b>: A continuación, trazamos dos diagonales para unir a los vértices opuestos del cuadrilátero:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja1by-Ka86PF3Np-OpNrvomOze0GupnP_DK3KQYvED_fLKqng0kEt6MOwgPEuBdI1yVA3v1pj3imjzv5WeXmaTCROjlooIT-6vM_nVXacMurBOcIA0fVKBIduWssT5-QTH8r8Xf8kCwHk/s1600-h/cuadrilatero_saccheri_1.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120524191247477522" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja1by-Ka86PF3Np-OpNrvomOze0GupnP_DK3KQYvED_fLKqng0kEt6MOwgPEuBdI1yVA3v1pj3imjzv5WeXmaTCROjlooIT-6vM_nVXacMurBOcIA0fVKBIduWssT5-QTH8r8Xf8kCwHk/s400/cuadrilatero_saccheri_1.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Los triángulos BAC y ABD son congruentes (figuras geométricamente iguales) por tener dos lados iguales (el lado común AB, y el lado AC igual al lado BD por construcción) y un ángulo interior (el ángulo recto) igual. Por ser triángulos congruentes, entonces las rectas AD y BC deben tener la misma longitud. Este resultado intermedio puede ser expresado como un <b>teorema</b>: <i>Las diagonales de un cuadrilátero de Saccheri son iguales</i>. Y esto nos permite hallar dentro del cuadrilátero otros dos triángulos congruentes, los triángulos ACD y CDB, los cuales son congruentes esta vez por tener sus tres lados iguales (la misma base común en la recta CD, el lado AD es igual al lado BC, y el lado AC es igual al lado BD por construcción). Y si tienen sus tres lados iguales, al ser congruentes entonces sus ángulos correspondientes en los vértices C y D deben ser también iguales, lo cual concluye la demostración.<br />
<br />
Si los ángulos en los vértices C y D son iguales, como lo acabamos de demostrar, ¿puede decirse algo más acerca de ellos?. En realidad esto es todo lo que podemos afirmar acerca de estos ángulos. No sabemos aún si son ángulos rectos, agudos u obtusos. Aunque resulta fácil ceder a la tentación de proclamarlos como ángulos rectos, esto no demuestra que lo sean. De hecho, a menos de que echemos recurso del quinto postulado de Euclides, no hay forma alguna de demostrar que sean ángulos rectos. Si el quinto postulado de Euclides es válido, entonces se puede demostrar fácilmente que deben ser ángulos rectos. Pero si no hacemos uso del quinto postulado, entonces nos queda la duda de que puedan ser ángulos agudos ó ángulos obtusos. Lo único que sabemos es que deben ser iguales. Trabajemos con el supuesto de que los ángulos en los vértices C y D sean <b>agudos</b>. Esto implica necesariamente que el quinto postulado de Euclides debe ser tomado como falso. A partir de este momento, la geometría Euclideana se comienza a tambalear ante nuestros ojos.<br />
<br />
La hipótesis de que los ángulos internos en los vértices de la cumbre del cuadrilátero de Saccheri son agudos, los cuales se acaba de demostrar que son iguales, sumada al hecho de que los ángulos internos en los vértices de la base son rectos por construcción, equivale a decir que <span style="font-style: italic;">dentro de un cuadrilátero de Saccheri la suma de los ángulos internos es menor que 360 grados (cuatro ángulos rectos)</span>. Este enunciado no es demostrable, del mismo modo que el quinto postulado de Euclides tampoco lo es. Lo tenemos que aceptar como punto de partida, como un <span style="font-weight: bold;">postulado</span> o <span style="font-weight: bold;">axioma</span>.<br />
<br />
Trabajando sobre el supuesto de que los ángulos C y D son agudos, podemos seguir demostrando más teoremas perfectamente válidos dentro de nuestra primera geometría no-Euclideana. A continuación tenemos otro teorema:<br />
<br />
<b>Teorema</b>: <i>La línea que une a los puntos medios de la base y la cumbre del cuadrilátero de Saccheri es una línea que será perpendicular a ambas rectas</i>.<br />
<br />
<b>Demostración</b>: A continuación, trazamos una recta que une a los puntos medios del cuadrilátero, los cuales designaremos como E y F. Ahora del punto E trazamos rectas a los vértices C y D del cuadrilátero.<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIg4VriVHu9eSJC3FZ5-B7rR69BhMuRulGLeAPjT3a6wiZrCPgvXx1rAm1MfwOsPzG_3ov7_LsaU1GEIpzrzOJYbSIU8govD2SPNTJSUCiLEUpjPa9W8DPH1CX-Yh1hyphenhyphenmTt8H_uSHnEbc/s1600-h/cuadrilatero_saccheri_2.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120525462557797154" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIg4VriVHu9eSJC3FZ5-B7rR69BhMuRulGLeAPjT3a6wiZrCPgvXx1rAm1MfwOsPzG_3ov7_LsaU1GEIpzrzOJYbSIU8govD2SPNTJSUCiLEUpjPa9W8DPH1CX-Yh1hyphenhyphenmTt8H_uSHnEbc/s400/cuadrilatero_saccheri_2.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Nuevamente, tenemos que se forman dos triángulos congruentes. Los triángulos AEC y BED son congruentes por tener dos lados iguales (por construcción, el lado AE es igual al lado EB, y el lado AC es igual al lado BD) y un ángulo recto (el ángulo en el vértice A y el ángulo en el vértice B son ambos rectos por construcción). Entonces la recta CE es igual a la recta ED por la relación de congruencia. Pero esto a su vez implica que tenemos otros dos triángulos congruentes, los triángulos CEF y DEF, al tener sus tres lados iguales (el lado CF es igual al lado FD por ser el punto medio de la recta en la cumbre del cuadrilátero). Entonces el ángulo q debe ser igual al ángulo r, lo cual sólo es posible si ambos son ángulos rectos. Esto ya nos dice que la línea EF es una perpendicular a la línea CD. Por otro lado, por la misma congruencia de los triángulos, el ángulo r debe ser igual al ángulo t, de modo tal que:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">o + s = p + t</div><br />
Esto solo puede ser posible si ambos miembros de la igualdad son un ángulo recto. Por lo tanto, la línea EF también es perpendicular a la recta AB, siendo por lo tanto perpendicular a ambas rectas, lo cual concluye la demostración.<br />
<br />
Este teorema es interesante, porque nos dice que en nuestra geometría no-Euclideana siempre será posible trazar una línea que será perpendicular a ambas "paralelas".<br />
<br />
A continuación, tenemos otro teorema para nuestra geometría no-Euclideana:<br />
<br />
<b>Teorema</b>: <i>Si en un cuadrilátero de Saccheri los brazos del cuadrilátero son desiguales, también lo serán los ángulos en la cumbre, y viceversa</i>.<br />
<br />
<b>Demostración</b>: Sea el cuadrilátero ABCD en el cual se ha trazado la recta BD con una longitud mayor que la longitud de la recta AC. En el lado mayor, tómese un punto E tal que el segmento de recta BE sea igual en longitud al lado AC:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibcqUUbO8TzefoX0PBVk_gzA33hY6uH_4CrAwZjT-cTF2WI17i5ohpkfN2c37DOsxy1h7j8dpkB1b0dmgnjojG-coyLuzozTsCfwcGSmts_v7MBNPX2U8FXcoUWpoCLrZXImnGPw74w8w/s1600-h/cuadrilatero_saccheri_3.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120525990838774578" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibcqUUbO8TzefoX0PBVk_gzA33hY6uH_4CrAwZjT-cTF2WI17i5ohpkfN2c37DOsxy1h7j8dpkB1b0dmgnjojG-coyLuzozTsCfwcGSmts_v7MBNPX2U8FXcoUWpoCLrZXImnGPw74w8w/s400/cuadrilatero_saccheri_3.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
En el primero de nuestros teoremas, ya habíamos demostrado que los ángulos en los vértices de la cumbre son iguales. Si aquí las rectas AC y BE son iguales, entonces por dicho teorema el ángulo ACE será igual al ángulo CEB:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">ang(ACE) = ang(BEC)</div><br />
Puesto que la recta CE subdivide al ángulo ACD del cuadrilátero, necesariamente el ángulo ACD será mayor que el ángulo ACE:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">ang(ACD) > ang(ACE)</div><br />
Puesto que el ángulo BED es un ángulo exterior del triángulo CED, entonces dicho ángulo será mayor que el ángulo BDC:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">ang(BEC) > ang(BDC)</div><br />
De las tres relaciones obtenemos que el ángulo ACD es mayor que el ángulo BDC a través de los pasos siguientes:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">ang(ACD) > ang(ACE)<br />
<br />
ang(ACD) > ang(BEC) usando la relación de igualdad<br />
<br />
ang(ACD) > ang(BEC) > ang(BDC)<br />
<br />
ang(ACD) > ang(BDC)</div><br />
O sea, los ángulos en la cumbre serán desiguales, por haber sido los brazos del cuadrilátero desiguales, con lo cual queda demostrado el teorema.<br />
<br />
Usando este último teorema junto con el segundo teorema, estamos en condiciones de poder demostrar otro teorema interesante:<br />
<br />
<b>Teorema</b>: <i>En un cuadrilátero de Sacchieri, la cumbre tiene una longitud mayor que la base</i>.<br />
<br />
<b>Demostración</b>: Para demostrar este teorema, dividimos nuevamente el cuadrilátero con una perpendicular que una los puntos medios de la base y la cumbre del cuadrilátero:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAqgJgUhuZ1Dz8fgiU-OLiYFqlqXc2slyKjbTuOWJyJLafar3_HrwwxiVY5wqLa0cot2e4GOVl3kmOU8lJ3ZlcB-6bIpc4CD5Nmg3qZTupD7adPiNzK9JVhzLL63J7-wMNOIRosgcEbFs/s1600-h/cuadrilatero_saccheri_4.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120526579249294146" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAqgJgUhuZ1Dz8fgiU-OLiYFqlqXc2slyKjbTuOWJyJLafar3_HrwwxiVY5wqLa0cot2e4GOVl3kmOU8lJ3ZlcB-6bIpc4CD5Nmg3qZTupD7adPiNzK9JVhzLL63J7-wMNOIRosgcEbFs/s400/cuadrilatero_saccheri_4.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Esta línea de hecho divide al cuadrilátero original en <b>dos</b> cuadriláteros de Saccheri, el cuadrilátero AEFC y el cuadrilátero BEFD. Puesto que los ángulos en los vértices D y C son agudos, por el teorema que acabamos de demostrar el lado AC será mayor que el lado EF en el cuadrilátero AEFC, y el lado BD será mayor que el lado EF en el cuadrilátero BEFD. Acostando ahora el cuadrilátero AEFC sobre su lado EF, lo cual nos permite ver el lado EF como una base y los lados AE y CF como los “brazos” de un cuadrilátero, tenemos que el lado CF es mayor que el lado AE. Haciendo lo mismo con el otro cuadrilátero, tenemos algo similar: el lado FD es mayor que el lado EB, lo cual podemos representar con las relaciones:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">CF > AE<br />
<br />
FD > EB</div><br />
Sumando los miembros respectivos de las desigualdades, tenemos una nueva desigualdad:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">CF + FD > AE + EB</div><br />
que es lo mismo en la figura que:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">CD > AB</div><br />
O sea que la cumbre del cuadrilátero ¡tiene una longitud mayor que su base!, como consecuencia directa de la hipótesis de los ángulos agudos en los vértices C y D. Esta conclusión empieza a parecer absurda y no concuerda con lo que nos dice nuestra “intuición”, con lo que nos sugiere nuestra experiencia cotidiana. Sin embargo, todos los pasos que hemos llevado a cabo están plenamente justificados, no hemos incurrido en ninguna contradicción lógica, en ningún momento hemos violado las reglas del juego. Igual que como lo descubrió Saccheri, ante nuestros ojos se está desenvolviendo una geometría completamente nueva, una geometría no-Euclideana, la cual nos obliga a ver las cosas desde una perspectiva diferente.<br />
<br />
Definimos ahora, dentro de la geometría de Saccheri, que si dos líneas tienen una <b>perpendicular común</b>, como la línea <b>EF</b> mostrada arriba en el cuadrilátero Saccheri, entonces <i>dichas líneas son paralelas</i>. Resulta obvio que si dos líneas <b>AB</b> y <b>CD</b> tienen una perpendicular común, entonces no pueden tener otra perpendicular común más que ésta, ciertamente no en el cuadrilátero de Saccheri en donde los ángulos internos en los vértices <b>C</b> y <b>D</b> se han definido como agudos. Esto lo podemos expresar como un <b>teorema</b> sencillo que acabamos de demostrar usando las siguientes palabras: <i>Si dos líneas en un cuadrilátero de Saccheri tienen una perpendicular común, entonces no pueden tener una segunda</i>.<br />
<br />
La existencia de una perpendicular común ofrece la posibilidad interesante para poder construír un cuadrilátero de Saccheri modificado de modo tal que uno de los lados del cuadrilátero <span style="font-style: italic;">sea precisamente esa perpendicular común</span>. De este modo, tendremos un cuadrilátero en el que no únicamente dos sino <span style="font-weight: bold;">tres</span> de sus tres ángulos internos serán ángulos rectos como se muestra a continuación:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSnl4sghPjMr3Ty07WpT4n4QdxdbTnDoLpZ2q6S-jhZNvVC5Deenuj66Wjo_CnqNEE63YHNneBS981F7jfxJP1r6qzmT3AW_yo20PMgN_iEHT_7Tz3PNkmD_VfhWW2tJ8fS_5USjtiGoQ/s1600-h/cuadrilatero_Lambert.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5133687174591114338" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSnl4sghPjMr3Ty07WpT4n4QdxdbTnDoLpZ2q6S-jhZNvVC5Deenuj66Wjo_CnqNEE63YHNneBS981F7jfxJP1r6qzmT3AW_yo20PMgN_iEHT_7Tz3PNkmD_VfhWW2tJ8fS_5USjtiGoQ/s400/cuadrilatero_Lambert.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Este cuadrilátero es mejor conocido como el <span style="font-weight: bold;">cuadrilátero de Lambert</span> por haber sido utilizado en el siglo XVIII por el matemático Johann Lambert en sus estudios de geometrías no-Euclideanas, aunque de hecho fue utilizado previamente en el siglo XI por el notable científico musulmán Ibn al-Haytham, un pionero del método científico moderno. Aunque con el cuadrilátero Lambert nos es posible tener un cuadrilátero no-Euclideano en el que tres ángulos internos son rectos (a diferencia del cuadrilátero de Saccheri en el que únicamente dos ángulos internos son rectos), en el cuadrilátero de Lambert los lados verticales del cuadrilátero <span style="font-weight: bold;">AC</span> y <span style="font-weight: bold;">BD</span> dejan de ser iguales como lo eran en el cuadrilátero de Saccheri, con lo cual lo que por una parte se gana por la otra parte se pierde. En realidad, el cuadrilátero de Lambert no es más útil para intentar demostrar el “postulado de las paralelas” de Euclides que el cuadrilátero de Saccheri, por la simple y sencilla razón de que <span style="font-style: italic;">se trata de algo que no puede ser demostrado</span>.<br />
<br />
Procedamos ahora a probar el siguiente:<br />
<br />
<b>Teorema</b>: <i>Dos líneas serán paralelas, con una perpendicular común a ambas, si existe una recta transversal que corte a dichas líneas de modo tal que se formen ángulos alternos internos iguales, o ángulos correspondientes iguales</i>.<br />
<br />
Esto se verá demostrando que la suposición de que los ángulos alternos internos formados por la transversal que corta a dos líneas sean iguales implica que las rectas atravesadas serán paralelas en el sentido que se le dá a dicha palabra en la geometría de Saccheri. Primero, tómese las siguientes líneas <b>AB</b> y <b>CD</b> de modo tal que sean cortadas en los puntos <b>P</b> y <b>Q</b> por la línea transversal <b>PQ</b>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0ASEHzAvrjeP4R7I2JzO08vSpW8ckNPOlImyp76-viLX-veUCWRScrk5dfGgav139GzwOtRBRQC5sg6OhhjTm0a4aAqllLxmiTdJHMGz99uyRjBmKQG1-x3iu6aQnS8z_WQe-43gGHyc/s1600-h/recta_saccheri_transversal.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5121826098914110738" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0ASEHzAvrjeP4R7I2JzO08vSpW8ckNPOlImyp76-viLX-veUCWRScrk5dfGgav139GzwOtRBRQC5sg6OhhjTm0a4aAqllLxmiTdJHMGz99uyRjBmKQG1-x3iu6aQnS8z_WQe-43gGHyc/s400/recta_saccheri_transversal.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
de forma tal que el ángulo <i>m</i> sea igual al ángulo <i>n</i>. Si los ángulos <i>m</i> y <i>n</i> son ángulos rectos (de 90 grados), entonces la recta <b>GH</b> debe ser una perpendicular común a las líneas <b>AB</b> y <b>CD</b>, y la demostración se vuelve trivial. Si los ángulos <i>m</i> y <i>n</i> son ángulos agudos, seleccionemos el punto <b>M</b> dentro de la recta <b>PQ</b> de modo tal que sea el punto medio de dicha recta. Sea <b>E</b> la proyección del punto <b>M</b> sobre la línea <b>AB</b>. En la cumbre del cuadrilátero, en la línea <b>CD</b>, tómese el punto <b>F</b> a la izquierda del punto <b>Q</b> de modo tal que el segmento <b>QF</b> sea de igual longitud que el segmento <b>PE</b>. Entonces los triángulos <b>MEP</b> y <b>MFQ</b> serán congruentes (semejantes iguales) por tener dos lados iguales y un ángulo igual (los ángulos correspondientes por los vértices que se tocan en el punto <b>M</b> son iguales). Siendo los triángulos congruentes, entonces el ángulo <b>QFM</b> deberá ser igual al ángulo <b>PEM</b> por la misma congruencia (semejanza) de los triángulos. Siendo el ángulo <b>PEM</b> un ángulo recto por ser el punto <b>E</b> la proyección (perpendicular) sobre la línea <b>AB</b> del punto <b>M</b>, entonces el ángulo <b>QFM</b> también debe serlo, y se concluye que la recta <b>EF</b> es la perpendicular común a ambas líneas <b>AB</b> y <b>CD</b>, con lo cual se concluye también que los puntos <b>E</b>, <b>M</b> y <b>F</b> forman parte de una misma recta (son <i>colineares</i>). Entonces la igualdad de los ángulos alternos internos <i>m</i> y <i>n</i> conduce al resultado de que la recta <b>EMF</b> es una perpendicular común a ambas rectas <b>AB</b> y <b>CD</b>, lo cual solo puede ocurrir si ambas son paralelas.<br />
<br />
Estamos ya en condiciones de poder deducir, mediante el cuadrilátero de Saccheri, el siguiente<br />
<br />
<b>Teorema</b>: <i>En la geometría basada en el cuadrilátero de Saccheri, la suma de los ángulos internos de todo triángulo será menor que 180 grados (dos ángulos rectos)</i>.<br />
<br />
Haremos la demostración en dos partes. Lo haremos primero para el caso de los triángulos rectángulos (un triángulo con uno de sus ángulos internos igual a 90 grados). Considérese el siguiente triángulo rectángulo <b>ABC</b> inscrito en el cuadrilátero de Saccheri, lo cual supone que el ángulo interno <b>p</b> en el vértice <b>A</b> es un ángulo recto:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9BTtTvODaTtLtB8esupCPRMrGAiz8jhZlkwug-fTR5Ibc_A6LxfpcO3aOmzPIJHCBmwr7BijYBp_gpoE294kCSycRTVtRUQDLW8UwaIMMDqRIioxQbvDMLq-W3sytOrQQ7CLkmqC8Vm4/s1600-h/triangulo_saccheri.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5121826481166200098" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9BTtTvODaTtLtB8esupCPRMrGAiz8jhZlkwug-fTR5Ibc_A6LxfpcO3aOmzPIJHCBmwr7BijYBp_gpoE294kCSycRTVtRUQDLW8UwaIMMDqRIioxQbvDMLq-W3sytOrQQ7CLkmqC8Vm4/s400/triangulo_saccheri.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Por tratarse de un cuadrilátero de Saccheri, el ángulo en el vértice <b>C</b> del cuadrilátero, que es igual a la suma de los ángulos <i>o</i> y <span style="font-style: italic;">n</span>, debe ser agudo, menor que 90 grados:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">90° > o + n<span style="font-weight: bold;"></span><br />
<br />
<div style="text-align: left;">Por lo que vimos en la demostración anterior, si la línea <b>EF</b> es la perpendicular común a las paralelas <b>AB</b> y <b>CD</b>, entonces los ángulos alternos internos <i>m</i> y <i>n</i> deben ser iguales, con lo cual la anterior desigualdad se convierte en:</div><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;"></span>90° > o + m<br />
<br />
<div style="text-align: left;">Sumando ahora el ángulo recto <i>p</i> a ambos miembros de la desigualdad, se tiene:</div><br />
<div style="text-align: center;">p + 90° > p + o + m<br />
<br />
90° + 90°> p + o + m<br />
<br />
180° > p + o + m<br />
<br />
<div style="text-align: left;">Esto nos dice claramente que en la geometría de Saccheri, la suma de los ángulos internos de todo triángulo <span style="font-style: italic;">rectángulo</span> será menor que 180 grados.</div><br />
<div style="text-align: left;">Ahora se hará la demostración del teorema para cualquier triángulo en general que no sea un triángulo rectángulo. Esto se lleva a cabo con el socorrido truco de dividir un triángulo cualquiera en dos triángulos rectángulos trazando la altura de uno de los vértices a la base. Tómese el siguiente triángulo <span style="font-weight: bold;">PQR</span> y tiéndase la altura desde el vértice <b>Q</b> hasta su base de modo tal que la recta <b>QS</b> sea perpendicular a la recta <b>PR</b>:</div><br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1e0py-F6xKypIuVZ18JiZoW0sHIZlTKy-_nQ3BBvkMiwXTo5iZqCpvxJQZJ3FuSA8zA1aeto42P8A8mumhu-F7OMdWf8v3W6zIjV9hqFqF_cp7pGlYbbCobbbJuFZLrNEYd5FNgGO9y4/s1600-h/triangulo_invertido.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5121826807583714610" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1e0py-F6xKypIuVZ18JiZoW0sHIZlTKy-_nQ3BBvkMiwXTo5iZqCpvxJQZJ3FuSA8zA1aeto42P8A8mumhu-F7OMdWf8v3W6zIjV9hqFqF_cp7pGlYbbCobbbJuFZLrNEYd5FNgGO9y4/s400/triangulo_invertido.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<div style="text-align: left;"><span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-style: italic;"></span><span style="font-style: italic;"></span>Al quedar subdividido el triángulo en dos triángulos rectángulos, por lo que acabamos de demostrar para un triángulo tenemos entonces que las siguientes desigualdades deben ser ciertas:</div><br />
<div style="text-align: center;">180° > m + o + p<br />
<br />
180° > n + q + r<br />
<br />
<div style="text-align: left;">Sumando miembro a miembro ambas desigualdades, obtenemos una nueva desigualdad:</div><br />
<div style="text-align: center;">360° > m + o + p + n + q + r<br />
<br />
<div style="text-align: left;">Pero la suma de los ángulos <span style="font-style: italic;">p</span> y <span style="font-style: italic;">q</span> debe ser 180 grados por ser ambos parte de una misma recta. Reacomodando y simplificando:</div><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;"></span>360° > m + o + n + r + 180°<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;"></span>180° > (m + n) + o + r<br />
<br />
<div style="text-align: left;">Pero <span style="font-style: italic;">m + n</span> es el ángulo interno del triángulo <span style="font-weight: bold;">PQR</span> en el vértice <span style="font-weight: bold;">Q</span>. Esto nos dice que en la geometría de Saccheri la suma de los ángulos de cualquier triángulo debe ser menor que 180 grados.</div><br />
<div style="text-align: left;">Y así como demostramos los teoremas anteriores, podemos seguir derivando más teoremas. La conclusión de que en esta geometría la suma de los ángulos internos de todo triángulo siempre será menor que 180 grados, o sea menor que dos ángulos rectos, choca directamente con el resultado Euclideano que nos dice que en todo triángulo la suma de los ángulos internos será siempre igual a dos ángulos rectos. Hoy se nos hace más fácil digerir todo esto porque nuestro modo de pensar ha evolucionado y estamos más dispuestos a aceptar ideas que van en contra de nuestra intuición, como ha ocurrido con la mecánica cuántica, con el principio de incertidumbre de Heisenberg, con la Teoría de la Relatividad de Einstein, y con el Teorema de Gödel. Pero en la Edad Media e inclusive en los tiempos del Renacimiento, esto mismo que hemos visto hubiera sido visto casi como una herejía.</div><br />
<div style="text-align: left;">Paulatinamente, la imagen que empieza a surgir en la geometría de Saccheri es la de dos paralelas que tienen una perpendicular común y que fuera de ella van tomando el siguiente aspecto:<br />
<br />
</div><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-JZl-dL-9BsQMjF9uF5Tu5BUkOa-MefVML56esZOCnFiuMOnm6iZ1UNfRx5o12MasmzA6OOzrVkyb6_VV4wNZarrXS3AfYA7rxziXKOAPmRwY7EasbY3BPnjAYGvazuiPV_otUTB4x8I/s1600-h/saccheri_simetrico.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122194997950131522" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-JZl-dL-9BsQMjF9uF5Tu5BUkOa-MefVML56esZOCnFiuMOnm6iZ1UNfRx5o12MasmzA6OOzrVkyb6_VV4wNZarrXS3AfYA7rxziXKOAPmRwY7EasbY3BPnjAYGvazuiPV_otUTB4x8I/s400/saccheri_simetrico.JPG" style="cursor: pointer;" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: left;"><br />
Un observador crítico tal vez podrá objetar de la siguiente manera: “El trazo de dos paralelas supone que estas son líneas <span style="font-style: italic;">rectas</span>, no líneas curvas. Al tener dos líneas curvas ya no podemos hablar de rectas paralelas. Esto hace suponer que el quinto postulado de Euclides sigue siendo absolutamente válido y no hay otra realidad más que la mostrada por dicho postulado”. A lo que se le puede responder de la siguiente manera:</div><br />
<div style="text-align: left;">En primer lugar, la curvatura ha sido enormemente exagerada para fines pedagógicos. Una curvatura mucho menos pronunciada, en términos no de distancias terrestres sino de distancias astronómicas, parecería mostrarnos falsamente el aspecto de una línea recta sin serlo. Pero, efectivamente, la longitud de otra perpendicular trazada desde una de las “paralelas” que no coincida con la perpendicular común irá aumentando conforme nos vamos alejando más y más de la perpendicular común. Sin embargo, esto pierde por completo la perspectiva detrás de la construcción del cuadrilátero de Saccheri. Para construír un cuadrilátero de Saccheri, partimos desde una línea <span style="font-weight: bold;">AB</span>, la base del cuadrilátero, trazada de la forma más “recta” que nos sea posible concebir (tal vez usando un rayo láser) sin el menor indicio de curvatura alguna, haciendo el supuesto de que los ángulos en la base del cuadrilátero son ángulos rectos y los ángulos en la cumbre son agudos. Para el geómetra que está “abajo”, su visión de lo que ocurre es la siguiente:</div><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwrDE9PVa2w2QCsXSK5iKuApjBsoCliZOf8zRBiVEAuAxXW7KKNeG92O7eLC9WCJfEu_r5ZfFXSXFqN_BQwNCOd6GVVkQfD0rvOvuwwLdJRnUyg8T0V2XLtJ1KU3VIfhpwFL4hDwlaIqQ/s1600-h/saccheri_regular.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122195315777711442" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwrDE9PVa2w2QCsXSK5iKuApjBsoCliZOf8zRBiVEAuAxXW7KKNeG92O7eLC9WCJfEu_r5ZfFXSXFqN_BQwNCOd6GVVkQfD0rvOvuwwLdJRnUyg8T0V2XLtJ1KU3VIfhpwFL4hDwlaIqQ/s400/saccheri_regular.JPG" style="cursor: pointer;" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: left;">Sin embargo, para un geómetra que viva “arriba” y que trace su cuadrilátero Saccheri <span style="font-style: italic;">de arriba hacia abajo</span>, partiendo de la recta “más recta” que le sea posible trazar para la base de su cuadrilátero, quizá con la ayuda de un rayo láser, su visión de lo que ocurre será la siguiente:</div><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxzFx38WIyBb4rw7918dsJBQ2SUqEfYI_rXZ5yis-TDYRkXMZfXztdlwFUS5WEUETystfnG_dEvShkCwbuqSqIj5mYMyCssOnt1-vX46mPiPNxADfX9A9xHPf_5UT5-CWg-2i5vGOX-ag/s1600-h/saccheri_invertido.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122195607835487586" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxzFx38WIyBb4rw7918dsJBQ2SUqEfYI_rXZ5yis-TDYRkXMZfXztdlwFUS5WEUETystfnG_dEvShkCwbuqSqIj5mYMyCssOnt1-vX46mPiPNxADfX9A9xHPf_5UT5-CWg-2i5vGOX-ag/s400/saccheri_invertido.jpg" style="cursor: pointer;" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: left;">Así, cada uno de ellos jurará por lo que les sea más sagrado que la base de su cuadrilátero Saccheri es totalmente recta mientras que la cumbre en el cuadrilátero “del otro” es la que manifiesta una curvatura que hace los ángulos internos en la cumbre agudos, algo que supuestamente dejará perplejos a ambos cuando intercambien notas. Pero ambos quedarán aún más estupefactos cuando alguien capaz de saltar fuera de tan peculiar universo viéndolos “desde arriba” (nosotros) les diga que las rectas <span style="font-style: italic;">de ambos</span> exhiben una curvatura. Para empeorar las cosas, nadie ha venido desde el extremo límite del Universo, situado allá en el infinito, para decirnos cómo se comporta el espacio en tal región. Quizá allá la única geometría válida es la de Saccheri, llevada al extremo.</div><br />
<div style="text-align: left;">Si suponemos la base del cuadrilátero de Saccheri como una línea perfectamente recta, entonces resulta ahora más que obvio que <span style="font-style: italic;">por un punto exterior P a una recta dada es posible trazar una cantidad infinita de paralelas a la recta dada</span>, todas las cuales tendrán su perpendicular común en el mismo punto externo P, como lo muestra la siguiente figura en la cual se han trazado tres rectas paralelas que pasan por el punto P:<br />
<br />
</div><br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnKYKTdJmbSU8TAkTHyaDa9BogwJ6y05Qwuhyphenhyphenedpp53qg5W-neSovxvM5cVMJUA49G7jI104wLylKZynWU2kkTnAHTwub__9pywkXcawakbZvdNw8I0ZhX9OdmmIPWyxSuW06aA8dCFa0/s1600-h/paralelas_infinitas.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122195917073132914" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnKYKTdJmbSU8TAkTHyaDa9BogwJ6y05Qwuhyphenhyphenedpp53qg5W-neSovxvM5cVMJUA49G7jI104wLylKZynWU2kkTnAHTwub__9pywkXcawakbZvdNw8I0ZhX9OdmmIPWyxSuW06aA8dCFa0/s400/paralelas_infinitas.jpg" style="cursor: pointer;" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: left;"><br />
La diferencia entre la suma de los ángulos internos de un triángulo y 180 grados es lo que comunmente se conoce como el <b>defecto de un triángulo</b>, lo cual se representará aquí con la letra griega delta (<span style="font-weight: bold;">δ</span>), y es una cantidad importante para poder llevar a cabo mediciones relacionadas con un triángulo, relaciones que posteriormente se verá en el <span style="font-style: italic;">Capítulo IV</span> de esta bitácora que tienen que ver con el <span style="font-style: italic;">área de un triángulo </span>definida dentro de este tipo de geometría.</div><div style="text-align: left;"><br />
La definición del “defecto” de un triángulo (esto de ninguna manera implica que algo en nuestra nueva geometría o en el triángulo sea defectuoso, hay que tomarlo como un uso completamente nuevo de la palabra sin connotación de falla alguna) nos permite establecer otro<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Teorema</span>: <span style="font-style: italic;">El defecto <span style="font-weight: bold;">δ</span> de un triángulo es igual a la suma de los defectos de los dos subtriángulos que resultan del trazo de una transversal simple dentro del triángulo</span>.<br />
<br />
Para demostrar esto, considérese el siguiente triángulo <span style="font-weight: bold;">ABC</span>, subdividido en dos subtriángulos por la recta que parte del vértice en el punto <span style="font-weight: bold;">C</span> hasta llegar al punto <span style="font-weight: bold;">D</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVxDc0X7e23iyzOn2x4IwltfHHqyhRTKoVgLn5QX7X2eVSTZxFrOUS6wQvYh8f4qLMXxPradBrVuSuFVXSuKLTYWLwPFs8OiZEs8Jl72uXdjzSxH3Y6f9tAGe5yNipobAs6utumItsGEM/s1600-h/suma_defectos.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122208424017898882" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVxDc0X7e23iyzOn2x4IwltfHHqyhRTKoVgLn5QX7X2eVSTZxFrOUS6wQvYh8f4qLMXxPradBrVuSuFVXSuKLTYWLwPFs8OiZEs8Jl72uXdjzSxH3Y6f9tAGe5yNipobAs6utumItsGEM/s400/suma_defectos.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Por la definición del defecto de un triángulo, los defectos de cada uno de los dos subtriángulos estarán dados por las siguientes relaciones:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">δ</span>(ADC) = 180 - (m + o + p)<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">δ</span>(BCD) = 180 - (n + q + r)</div><br />
Sumando ambas expresiones miembro a miembro y agrupando:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">δ</span>(ADC) + <span style="font-weight: bold;">δ</span>(BCD) = 360 -[m + o + (p + q) + n + r]</div><br />
Pero la suma de los ángulos <span style="font-style: italic;">p</span> y <span style="font-style: italic;">q</span> será 180 grados por ser ángulos suplementarios sobre la misma recta, y el ángulo en el vértice <span style="font-weight: bold;">C</span> es igual a la suma de los ángulos <span style="font-style: italic;">m</span> y <span style="font-style: italic;">n</span>. Simplificando lo anterior con estos hechos, todo se reduce a:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">δ</span>(ADC) + <span style="font-weight: bold;">δ</span>(BCD) = 360 - 180 - [(m + n) + o + r]<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">δ</span>(ADC) + <span style="font-weight: bold;">δ</span>(BCD) = 180 - [ang(C) + o + r]<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">δ</span>(ADC) + <span style="font-weight: bold;">δ</span>(BCD) = <span style="font-weight: bold;">δ</span>(ABC)</div><br />
Y el teorema queda demostrado.<br />
<br />
Esta propiedad aditiva resulta ser posteriormente de mucha utilidad cuando se trata de definir el concepto del área contenida en el interior de un <span style="font-style: italic;">triángulo Saccheriano</span>.<br />
<br />
</div><div style="text-align: left;">De haber promocionado Saccheri sus descubrimientos, posiblemente a la larga habría obtenido fama imperecedera como un matemático revolucionario. El problema es que en los tiempos en los que vivía Saccheri no era tan fácil el tratar de cuestionar la geometría desarrollada por Euclides, no era tan fácil desafiarla como la única geometría posible. Euclides era tenido en tan alta estima de autoridad por los clásicos de aquél entonces, que cuestionarlo era considerado casi como una herejía. Y lo que había encontrado Saccheri no sólo derrumbaba a la geometría euclideana como la única geometría posible, sino que traía aparejados un conjunto de nuevos teoremas que entraban directamente en conflicto con los teoremas demostrados por Euclides. Estamos hablando de algo capaz de parar a la geometría Euclideana de cabeza. Y lo que había encontrado Saccheri era una geometría completamente nueva, consistente, sin contradicciones.<br />
<br />
Con todo, Saccheri no fue el único que no se atrevió a reconocer la magnitud de su descubrimiento y mucho menos a desafiar algo establecido y aceptado como verdad única hace cientos de años. Nadie menos que el matemático alemán Carl Gauss (1777-1855), el príncipe de las matemáticas, se topó también con el hecho de que el quinto postulado de Euclides no era una verdad absoluta como muchos suponían; podía ser reemplazado por una suposición alterna, tras lo cual se podía construír toda una nueva geometría perfectamente consistente, sin contradicciones, con sus propios teoremas. Gauss llegó a estas conclusiones siguiendo un camino totalmente diferente. Uno de los más importantes contribuyentes a la geometría diferencial, descubrió el teorema de que la “curvatura” de una superficie no-planar estaba relacionada a la <b>métrica</b> usada para medir dicha curvatura (la <i>métrica</i> se define como la expresión matemática usada para medir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una superficie, y si la superficie no es plana, entonces la línea más corta trazada sobre dicha superfice de un punto a otro recibe un nombre más elaborado: la <b>geodésica</b>. Gauss logró demostrar, en su <i>Theorema Egregium</i>, que la curvatura de una superficie es independiente del espacio dentro del cual existe esa superficie, siendo esto una propiedad intrínseca a la suma de los ángulos internos de un triángulo construído sobre dicha superficie, lo cual conducía directamente a la conclusión lógica de que no sólo la suma de los ángulos internos de un triángulo construído sobre una superficie determinaba podía ser diferente de los 180 grados que obtenía la geometría Euclideana, sino inclusive dicha suma podía ser utilizada para calcular la curvatura de la superficie. En otras palabras, para poder determinar la curvatura de la superficie de la Tierra, no es necesario llevar a cabo una medición externa; basta con trazar con mucho cuidado un triángulo grande sobre dicha superficie, y sumando los ángulos internos podemos saber si la Tierra es “plana” como lo suponían muchos contemporáneos de Cristóbal Colón (en cuyo caso la medición arrojaría 180 grados) o podemos saber si la superficie de la Tierra es una superficie curva. Y se repite que para obtener esta información no es necesario salir fuera del triángulo, basta con medir los ángulos interiores del triángulo, los cuales son una propiedad <i>intrínseca</i> de dicha figura geométrica.<br />
<br />
Antes que Gauss, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) quien ya fue mencionado previamente con motivo del <span style="font-style: italic;">cuadrilátero de Lambert</span> se había acercado nuevamente a la construcción de geometrías no-Euclideanas en su libro “Teoría de las líneas paralelas” publicado en 1776. Usando una metodología similar a la de Saccheri, descubrió que las tres hipótesis de Saccheri eran equivalentes a la afirmación de que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser igual, mayor o menor que dos ángulos rectos (180 grados); y demostró también que la <i>geometría esférica</i> era similar al tercer caso, especulando que la primera geometría pudiera corresponder a una geometría trazada sobre una esfera con radio imaginario (en donde la base unitaria es la raíz cuadrada del número negativo 1, o sea -1, denotada en matemáticas como <i>i</i>). Reemplazando un radio real por un radio imaginario condujo a lo que se puede considerar como la primera <i>geometría hiperbólica</i> en la cual las fórmulas trigonométricas usuales del seno(x) y del coseno(x) son reemplazadas por el <span style="font-weight: bold;">seno hiperbólico</span> ó <span style="font-style: italic;">senh(x)</span> y el <span style="font-weight: bold;">coseno hiperbólico</span> ó <span style="font-style: italic;">cosh(x)</span>. Entonces surge una duda: ¿por qué razón una de las hipótesis alternas de Saccheri lo condujo a contradicciones lógicas? La respuesta resulta ser mucho más sencilla de lo que parece. Para que en esa “geometría alterna” Saccheri no llegara a contradicciones, no bastaba con modificar el postulado de las paralelas; había que modificar también el segundo postulado que nos dice que una línea se puede extender infinitamente en ambas direcciones, el cual no consideraba la posibilidad de que una recta extendida hacia el infinito en uno de sus lados pudiera regresar <i>por una curvatura del espacio del Universo</i> al punto de partida, en cuyo caso tendríamos no una línea abierta sino una línea <i>cerrada</i>.<br />
<br />
Gauss, al igual que Saccheri, se dió cuenta del riesgo que corría si publicaba sus descubrimientos. Además del enorme escándalo que seguramente suscitaría al parar a la geometría euclideana de cabeza, se exponía al ridículo público de aquellos que no quisieran comprender la magnitud de su descubrimiento (a los cuales llamó “beocios”). Es por esto que Gauss prefirió callar y conservar su bien ganada reputación. Fue hasta su muerte cuando al hurgar entre sus papeles se encontraron los manuscritos con los que se comprobó que Gauss, por la vía de la geometría diferencial, había confirmado sus anteriores descubrimientos de una geometría diferente a la geometría Euclideana. Sin embargo, pese a su enorme estatura, no se le dá a Gauss el crédito que merece por dicho descubrimiento porque en la ciencia el crédito va no para quien descubre algo por vez primera sino para aquél que publica los resultados de su descubrimiento primero (es por esto que la paternidad de la invención del cálculo diferencial e integral siempre fue motivo de agrias discusiones y reclamos entre las dos personas que reclamaron hasta el final de sus días el mérito de haber sido el primero en desarrollarlo, por un lado Sir Isaac Newton, y por el otro lado Gottfried Leibniz).</div></div></div></div></div></div></div>Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-9082879789096393712007-09-29T03:30:00.000-07:002011-04-07T10:49:42.545-07:00Capítulo III: Las Geometrías Esférica y Elíptica<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<br />
La posibilidad de que pudiera haber otras geometrías alternas diferentes a la geometría de Euclides en donde no se cumpliera la validez del quinto postulado ya había sido considerada en otros tiempos previos a Saccheri, Lambert y Gauss. Una de ellas era la geometría esférica, la cual podemos analizar como la geometría de la superficie de un globo. En esta geometría se denominan “plano” y “rectas”, respectivamente, a la superficie de la esfera y a las circunferencias de sus <span style="font-style: italic;">círculos máximos</span>, terminología apropiada porque en cualquiera de las geometrías la “recta” es la línea más simple que pueda unir a dos puntos y el “plano” también es la superficie más simple. No será difícil de ver que en esta geometría dos “rectas” siempre se cortan en dos puntos diametralmente opuestos. Lo cual huele sospechosamente al enunciado hipotético de que por un punto exterior a una recta dada no es posible trazar ninguna recta con la cual nunca se cruzará. Por otro lado, la suma de los ángulos internos de un triángulo trazado sobre la superficie de una esfera siempre será mayor que dos ángulos rectos (180 grados). En un triángulo limitado por un cuarto del ecuador terrestre y por los arcos de dos meridianos trazados hasta el polo Norte, la suma de los ángulos internos será de 270 grados. En vista de que la superficie tiene dos dimensiones es común llamar bidimensional a la geometría que estudia las figuras que se encuentran sobre una superficie determinada. Al hecho de que existiera una geometría bidimensional no-Euclideana no se le daba gran importancia por la sencilla razón de que la geometría esférica era estudiada en el plano tridimensional, el cual se daba por hecho que era Euclideano, y esto conducía a no darle tanta importancia a las propiedades no-Euclideanas de la esfera. A la larga, esto demostraría ser una omisión garrafal que retrasaría el descubrimiento de las geometría no-Euclideanas como tales.<br />
<br />
La geometría esférica es un caso especial de una geometría más general, una geometría que está basada no en la superficie de una esfera sino en la superficie de un <b>elipsoide</b>. Un elipsoide es un sólido de revolución que se obtiene haciendo girar una elipse alrededor de uno de sus ejes de simetría. Entendiblemente, a este tipo de geometría se le llama <b>geometría elíptica</b>.<br />
<br />
El elipsoide está basado en la elipse que en la geometría analítica de dos dimensiones se define como aquella curva tal que desde cualquier punto de la misma la suma de las rectas a dos puntos al interior de la misma conocidos como los <i>focos</i> es una cantidad constante.<br />
<br />
Cuando los semiejes <b>a</b> y <b>b</b> y <b>c</b> del elipsoide son todos iguales, entonces el elipsoide se convierte en una esfera.<br />
<br />
La geometría desarrollada sobre la superficie de un elipsoide es conocida como geometría eliptica. También es conocida como <i>geometría Riemmaniana</i>, en honor al matemático Bernhard Riemman que desarrolló este tipo de geometría y del cual hablaré más a fondo después.<br />
<br />
A continuación tenemos la figura de un elipsoide, el cual podemos imaginar como una pelota esférica de basquetbol a la cual la hemos achatado acostándola sobre el suelo y aplicándole presión en la parte superior con el pie (aquí cabe agregar que nuestro planeta, el planeta Tierra, no es una esfera, es un elipsoide, ya que está achatado por los polos):<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOlcM1Kro1DfiB6SypexsxHi_ii2pZQ7_MY89OEi2xEcFJUbV3Q8Xx26YOxdgGroQ3m22PVOY0tkcj18FKPPmiHJI6kK5VrZEhUEtV9N2pskdeM08y_NnIsrr3pH212EOKb-2JGddDFv8/s1600-h/elipsoide.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116188889913600274" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjOlcM1Kro1DfiB6SypexsxHi_ii2pZQ7_MY89OEi2xEcFJUbV3Q8Xx26YOxdgGroQ3m22PVOY0tkcj18FKPPmiHJI6kK5VrZEhUEtV9N2pskdeM08y_NnIsrr3pH212EOKb-2JGddDFv8/s400/elipsoide.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Sobre la superficie del elipsoide se ha dibujado un triángulo cuyos vértices son los puntos <b>A</b>, <b>B</b> y <b>C</b>. En la parte inferior del triángulo, los dos ángulos internos los podemos imaginar como ángulos de 90 grados, tal y como los mediríamos si fuésemos unas hormigas caminando sobre la superficie del elipsoide llevando con nosotros un buen transportador para medir los ángulos. El ángulo superior lo podemos imaginar como un ángulo pequeño, digamos de unos 15 grados. Siendo así, la suma de los ángulos internos del triángulo trazado sobre la superficie del elipsoide <b>es mayor que 180 grados</b>. Esto contrasta duramente con uno de los teoremas de la geometría euclideana que nos dice que dentro de un triángulo la suma de los ángulos siempre es <b>igual</b> a 180 grados. Se puede demostrar rigurosamente que el teorema correspondiente en la geometría elíptica dice lo siguiente: <i>en un elipsoide, la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo trazado sobre la superficie del mismo siempre será mayor que 180 grados</i>. Y este no es el único teorema que difiere de su correspondiente en la geometría euclideana. <i>Todos los demás teoremas correspondientes también son diferentes</i>. El hecho de que todos los teoremas sean diferentes es una consecuencia directa del que <i>en una geometría elíptica no es posible trazar una línea paralela a una recta dada</i>. Es una consecuencia directa de la curvatura del espacio en el cual se está desarrollando esta geometría no-euclideana.<br />
<br />
¿Cómo podríamos construír el equivalente de una geometría Euclideana, axiomática, sobre la superficie de una esfera? Tendríamos que empezar por definir el equivalente de una línea recta en la superficie de la esfera. En la geometría plana, una recta se define como la menor distancia que hay entre dos puntos. Si nos fijamos bien en la superficie de la esfera, en donde solo podemos trazar <i>arcos de círculo</i>, entre dos puntos podemos trazar muchos arcos, pero de todos ellos sólo uno será el más corto entre dichos puntos. Y resulta que este arco es parte de un <b>círculo máximo</b> de la esfera, definido como el que se obtiene al atravesar la esfera <i>por su centro</i> con un plano que la corta en dos partes iguales. Los meridianos de la Tierra claramente son círculos máximos. La siguiente figura ilustra mejor lo dicho:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjo_-Mm53Vk33ZewWeCJoGRhFPo5WLTxUGKnGq40mDi6QOa5qglo6mDULoaPzz1Zw2OLA-dOBf09_sTkxe6QaVgHWh-3tLLCTWhbzt4Ip5yzMb03UIspZN9nmolsBekdox6u33G50teYPw/s1600-h/circulos_maximos.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116986486815304242" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjo_-Mm53Vk33ZewWeCJoGRhFPo5WLTxUGKnGq40mDi6QOa5qglo6mDULoaPzz1Zw2OLA-dOBf09_sTkxe6QaVgHWh-3tLLCTWhbzt4Ip5yzMb03UIspZN9nmolsBekdox6u33G50teYPw/s400/circulos_maximos.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
En este caso, las <span style="font-style: italic;">rectas esféricas</span> <span style="font-weight: bold;">a</span> y <span style="font-weight: bold;">b</span> son círculos máximos trazados en la superficie de la esfera, mientras que la línea <span style="font-weight: bold;">c</span> claramente no es una recta ya que no es un círculo máximo. El concepto de la menor distancia entre dos puntos sobre la superficie de una esfera se puede extender también hacia un elipsoide, en el cual dados dos puntos cualesquiera sobre su superficie se les puede unir con un arco que forma parte de un plano que corta al elipsoide pasando por su centro de simetría. Estos arcos con distancias mínimas entre dos puntos, tanto para la esfera como para el elipsoide, reciben el nombre de <b>geodésicas</b>. Una característica interesante de la geometría esférica (elíptica) es que, como se dijo al principio, no solo no es posible trazar dos rectas que nunca se crucen, sino inclusive <span style="font-style: italic;">todas las rectas trazadas en una geometría esférica (elíptica) se encontrarán dos veces</span>, como en el caso de las rectas esféricas <span style="font-weight: bold;">a</span> y <span style="font-weight: bold;">b</span> en el dibujo de arriba.<br />
<br />
Definida nuestra línea “recta” en la geometría elíptica, podemos empezar a escribir los axiomas de nuestra geometría no-Euclideana:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>AXIOMAS DE LA GEOMETRIA ELIPTICA</b></div><br />
<br />
<b>Postulado 1</b>: Entre dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una recta.<br />
<br />
<b>Postulado 2</b>:<br />
<br />
<b>Postulado 3</b>: Se puede dibujar en la superficie elíptica un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio (¡este radio será un arco de círculo!).<br />
<br />
<b>Postulado 4</b>: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.<br />
<br />
<b>Postulado 5</b>: Por un punto <b>P</b>, que no pertenezca a una recta, no es posible otra recta que sea paralela a la recta dada, ya que todas las rectas trazadas fuera de la recta dada eventualmente se encontrarán con ella.<br />
<br />
<b>Postulado 6</b>: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.<br />
<br />
<b>Postulado 7</b>: Si a iguales les sumamos iguales, las sumas resultantes serán también iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 8</b>: Si a iguales les restamos iguales, los remanentes serán iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 9</b>: Figuras que se pueden hacer coincidir son iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 10</b>: El todo es mayor que la suma de sus partes.<br />
<br />
<br />
Obsérvese que el <i>Postulado 2</i> lo dejamos temporalmente vacío mientras decidimos lo que vamos a meter allí. El problema aquí es que mientras una recta en el plano Euclideano se puede extender indefinidamente en ambas direcciones, en el plano elíptico no se puede hacer tal cosa sin que la línea termine regresando al punto de donde partió después de dar “una vuelta completa”. Esta es la verdadera razón por la cual Saccheri llegó rápidamente a contradicciones cuando investigó su “tercera” hipótesis sobre el supuesto de que dentro de su cuadrilátero, el <i>cuadrilátero de Saccheri</i>, la suma de los ángulos internos es mayor que 180 grados. Si hubiese modificado aquí no sólo el quinto postulado sino también el segundo, entonces su “tercera hipótesis” tampoco habría llegado a contradicciones, y habría descubierto las dos geometrías no-Euclideanas alternas a la geometría plana.<br />
<br />
Una vez que tenemos nuestros axiomas para una geometría Euclideana, podemos empezar a postular conjeturas y demostrar teoremas. Todo lo que tenemos que hacer es proceder en una forma similar a como lo hacemos en la geometría Euclideana, y para quienes recibieron un buen curso de geometría en una institución de enseñanza media, esto no será ningún problema.<br />
<br />
Para quienes han estado acostumbrados a pensar todas sus vidas en dos rectas paralelas como dos líneas <span style="font-weight: bold;">equidistantes</span>, puede resultarles difícil de aceptar la idea de pensar en la posibilidad de que haya una alternativa en la cual será imposible evitar que dos rectas paralelas se vayan a encontrar tarde o temprano por muy “paralelas” que sean. Esto lo podemos ver mejor en la construcción de un conjunto de perpendiculares a dos líneas a las que se les supone como líneas paralelas sobre la base de que siempre serán equidistantes:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-KY8hxta_bRLEC62d8uUAiwjGzcdgEB5FcnN6Rzo1RsLWPine81NtK4SB-3MOmIh1FmYGWhr9L7S7H1dmuYXbOsuEYD-k4dO57JugFf9Sye4mK7Qiyv0Yia2JHUj6tQNMfLeDcZpuD74/s1600-h/rectas_equidistantes.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116996296520608354" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg-KY8hxta_bRLEC62d8uUAiwjGzcdgEB5FcnN6Rzo1RsLWPine81NtK4SB-3MOmIh1FmYGWhr9L7S7H1dmuYXbOsuEYD-k4dO57JugFf9Sye4mK7Qiyv0Yia2JHUj6tQNMfLeDcZpuD74/s400/rectas_equidistantes.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
En esta figura, tenemos una recta <span style="font-weight: bold;">AB</span>, a la cual <span style="font-style: italic;">por construcción geométrica</span> se le ha trazado una paralela <span style="font-weight: bold;">CD</span> que pasa por el punto <span style="font-weight: bold;">p'</span>, con una perpendicular adicional que va desde el punto <span style="font-weight: bold;">p</span> de la recta <span style="font-weight: bold;">AB</span> hasta la recta <span style="font-weight: bold;">CD</span>. El que la recta que pasa por los puntos <span style="font-weight: bold;">p</span> y <span style="font-weight: bold;">p'</span> es una perpendicular para ambas rectas <span style="font-weight: bold;">AB</span> y <span style="font-weight: bold;">CD</span> es resaltado por el hecho de que dicha perpendicular forma dos ángulos rectos <span style="font-style: italic;">exactos</span> (de 90 grados) con las dos líneas al intersectarse con ellas. Siempre es posible trazar una perpendicular así <span style="font-style: italic;">en cualquier tipo de geometría</span>. Ahora bien, a lo largo de la recta <span style="font-weight: bold;">AB</span> podemos trazar otra perpendicular a través de un punto diferente como el punto <span style="font-weight: bold;">q</span>, y midiendo la distancia que hay entre los puntos <span style="font-weight: bold;">p</span> y <span style="font-weight: bold;">p'</span>, marcamos un punto sobre dicha perpendicular que guardará la misma distancia que hay en la primera perpendicular entre los puntos <span style="font-weight: bold;">p </span>y <span style="font-weight: bold;">p'</span>, lo cual nos sirve para prolongar la recta paralela <span style="font-weight: bold;">CD</span> hacia la derecha. Tras esto, buscamos otro punto<span style="font-weight: bold;"> r</span> y repetimos el procedimiento, prolongando aún más la recta <span style="font-weight: bold;">CD</span> hacia la derecha, de modo tal que siempre se mantendrá equidistante de la recta <span style="font-weight: bold;">AB</span>. Podemos repetir el procedimiento, <span style="font-style: italic;">hasta el infinito</span>, y siempre tendremos dos líneas equidistantes. Resulta claro también que solo podemos trazar una sola recta paralela a otra de modo tal que nunca se cruzarán y siempre permanecerán equidistantes, comprobándose la “obvia verdad” del quinto postulado.<br />
<br />
El problema con el anterior razonamiento, al menos en la geometría esférica, es que si construímos sobre un globo terráqueo dos líneas que siempre serán equidistantes, entonces <span style="font-style: italic;">por lo menos una de dichas líneas no será un círculo máximo</span>, y no será una recta en la forma en que se ha definido para una geometría esférica. Esto es precisamente lo que ocurre en la figura que muestra círculos máximos trazados sobre la superficie de una esfera. En dicha figura, <span style="font-weight: bold;">a</span> es un círculo máximo y por lo tanto una recta esférica, pero <span style="font-weight: bold;">c</span> no lo es. Todas las perpendiculares que sean trazadas de la recta esférica <span style="font-weight: bold;">a</span> a la línea <span style="font-weight: bold;">c</span> serán perpendiculares equidistantes a dicha línea, pero como <span style="font-weight: bold;">c</span> no es una recta esférica, aquí no hay paralelas en el sentido <span style="font-style: italic;">esférico</span> de la palabra. En este punto, una persona con dudas podría argumentar que si nos salimas de la superficie de la esfera y nos vamos a tres dimensiones, entonces siempre será posible trazar dos rectas que se mantengan equidistantes todo el tiempo, <span style="font-style: italic;">hasta el infinito</span>, sin encontrarse, tal y como lo pide el quinto postulado, lo cual suena lógico hasta que meditamos en el hecho de que esto supone que el espacio tridimensional es Euclideano <span style="font-style: italic;">hasta el infinito</span>, lo cual es una suposición extremadamente aventurada porque nadie ha estado allí. ¿Qué nos garantiza el que, a distancias enormes, el espacio tridimensional no exhibirá una curvatura espacial como la que exhibe la superficie de la esfera? Para agravar aún más las cosas, tenemos que considerar el hecho preocupante de que, en tres dimensiones, podemos trazar ahorita mismo dos líneas que <span style="font-style: italic;">siempre serán equidistantes</span> y <span style="font-style: italic;">nunca se cruzarán</span>, las cuales sin embargo <span style="font-weight: bold;">no serán paralelas</span> en nuestro sentido “intuitivo” de la palabra. Se trata de dos líneas curvas que guardan entre sí una relación como la que hay entre los dos hilos de <span style="font-style: italic;">una trenza</span>, o como la que hay entre las dos hebras del par helicoidal de un segmento de ADN. No es posible usar una suposición “intuitiva” de lo que entendemos por líneas paralelas, en el sentido de la geometría Euclideana, para “demostrar” con ello que <span style="font-style: italic;">el espacio del Universo entero</span> obedece esa geometría.<br />
<br />
Como se anticipó al principio, en la geometría esférica (elíptica) siempre podemos construír un triángulo usando arcos de círculos máximos, como se muestra en el siguiente dibujo en el cual se ha trazado un triángulo esférico :<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDOkK3TdDQmpQ-5c5OnP8m8aS-Qxr7MlXTfc29uYP_pVBxyYa7VJl8Dh263M5P9_JMp8-nmVV7waDCQ3EjslclzPSHbD0goY1trwHT35FAvzzjuWahUEFSVJkTEcvjlN1kH5vjo-SYI0c/s1600-h/triangulo_esferico.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117148888118700658" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDOkK3TdDQmpQ-5c5OnP8m8aS-Qxr7MlXTfc29uYP_pVBxyYa7VJl8Dh263M5P9_JMp8-nmVV7waDCQ3EjslclzPSHbD0goY1trwHT35FAvzzjuWahUEFSVJkTEcvjlN1kH5vjo-SYI0c/s400/triangulo_esferico.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Obsérvese que continuando los arcos de los círculos máximos que definen a un <i>triángulo esférico</i> de manera que den una vuelta completa, siempre se formará otro triángulo del otro lado de la esfera, algo que ciertamente nunca ocurrirá en la geometría Euclideana. En el dibujo, el triángulo A'B'C' es llamado el <i>antípoda</i> del triángulo ABC, ya que se puede obtener reflejando al triángulo original a través del centro de la esfera. Por simetría, ambos triángulos esféricos deben tener la misma área. Definido un triángulo esférico de esta manera, a continuación tenemos un teorema de la geometría esférica fácil de demostrar comparado con su contraparte Euclideana:<br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: “En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos rectos (180 grados)”.<br />
<b>geometría elíptica</b>: “En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es <i>mayor</i> a dos ángulos rectos”.<br />
<br />
Trazando un <span style="font-style: italic;">cuadrilátero de Saccheri</span> cuya base esté alineada con el Ecuador de la Tierra, y levantando sus dos lados laterales siguiendo los meridianos terrestres (con el fin de que los lados laterales del cuadrilátero formen ángulos rectos con el Ecuador de la Tierra), podemos comprobar visualmente sin dificultad alguna lo siguiente:<br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: “La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a cuatro ángulos rectos (360 grados)”.<br />
<b>geometría elíptica</b>: “La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero de Saccheri trazado sobre la superficie de una esfera es <i>menor</i> que cuatro ángulos rectos (360 grados)”.<br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: “Para toda circunferencia de radio <span style="font-weight: bold;">r</span> la longitud de la circunferencia será igual a <span style="font-weight: bold;">2</span><span style="font-weight: bold;">π</span><span style="font-weight: bold;">r</span>”.<br />
<b>geometría elíptica</b>: “Para toda circunferencia de radio <span style="font-weight: bold;">r</span> la longitud de la circunferencia será <i>mayor</i> que <span style="font-weight: bold;">2</span><span style="font-weight: bold;">π</span><span style="font-weight: bold;">r</span>”.<br />
<br />
Si construímos un cuadrilátero de Saccheri sobre la superficie de la esfera terrestre, haciendo coincidir la base del cuadrilátero con el Ecuador (en cuyo caso la base será el pleno equivalente de una línea recta), los ángulos internos de los vértices superiores de la cumbre del cuadrilátero serán obtusos. Esto equivale a la hipótesis que fue desechada por Sacchieri, y fue desechada no sólo por el hecho de que esta hipótesis estaba en contradicción directa con el quinto postulado de Euclides que permite trazar una sola paralela a una recta dada por un punto externo a ella, sino porque las paralelas cuando son extendidas en ambas direcciones hacia el infinito tarde o temprano se cruzarán, contradiciendo también el segundo postulado de la geometría Euclideana. Si Saccheri, en vez de desechar la posibilidad de que su cuadrilátero también admitira ángulos obtusos en la cumbre, hubiera procedido a la modificación del segundo axioma de la geometría plana de Euclides, habría creado ante sus asombrados ojos otra geometría distinta, la geometría esférica, que es la que estamos viendo precisamente aquí. Al igual que en la geometría desarrollada por Saccheri, dos rectas “paralelas” tendrán una línea que será una <span style="font-weight: bold;">perpendicular común</span> a ambas. En tal región del espacio, la imagen que empieza a surgir en la geometría de Saccheri es la de dos paralelas que tienen una perpendicular común y que fuera de ella van mostrando el siguiente aspecto:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKCmQ4PTSAZpwlOMfvqPEDgrtVYN6-bAZjO5miLMgKEJyXlwHt87fM59nCIJ8bwQ8r9fxK4rfp_rsxDvH0XQGj2XBQRISSq4s_XOTJgMladWpXAg6msZ2TIrXruqNfoY_IRnbfkt-WPqc/s1600-h/saccheri_esferico.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122215295965572498" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKCmQ4PTSAZpwlOMfvqPEDgrtVYN6-bAZjO5miLMgKEJyXlwHt87fM59nCIJ8bwQ8r9fxK4rfp_rsxDvH0XQGj2XBQRISSq4s_XOTJgMladWpXAg6msZ2TIrXruqNfoY_IRnbfkt-WPqc/s400/saccheri_esferico.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Compárese con la situación que habíamos encontrado para la geometría Saccheriana. Con esto, estamos ya en una posición para poder hacer una comparación general de las tres geometrías posibles: en la geometría Euclideana, solo es posible trazar una línea paralela externa a una recta dada que pase por un punto exterior a ella (con una perpendicular común a ambas) sin que ambas se crucen jamás, mientras que en la geometría esférica no es posible trazar ninguna “paralela” a una recta dada (también con una perpendicular común a ambas) que pase por un punto exterior a ella sin poder evitar que terminen cruzándose tarde o temprano, mientras que en la geometría Saccheriana o <span style="font-style: italic;">hiperbólica</span> es posible como ya vimos en otra entrada el trazar una cantidad infinita de paralelas a una recta dada por un punto exterior a ella (todas ellas coincidiendo con sus <span style="font-style: italic;">perpendiculares comunes</span> a la recta dada en el punto externo de referencia). Esto cubre todos los casos posibles.<br />
<br />
Una diferencia dramática entre la geometría Euclideana y la geometría hiperbólica nos la proporciona el <span style="font-style: italic;">teorema de Pitágoras</span> que nos dice que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa <span style="font-weight: bold;">c</span> es igual a la suma de los cuadrados de los catetos <span style="font-weight: bold;">a</span> y <span style="font-weight: bold;">b</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">c² = a² + c²</span></div><br />
La demostración de este teorema hace uso del quinto postulado de Euclides. Pero como el quinto postulado de Euclides sólo es válido para una geometría plana, queda claro que el teorema de Pitágoras resulta ser una afirmación falsa dentro de la geometría esférica (elíptica). El equivalente en la geometría esférica del teorema de Pitágoras es la siguiente relación en donde <span style="font-weight: bold;">R</span> es el radio de la esfera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgivCttG_KrGPiBYtoG8WpXoVgvhyeq_1_omrCoguemjl21xEIz-1cXSlmPlyFTyNFBromsnKe6rmzlvQJzk0iaXXCwg6xzVkKdwRJaBMbzoWTmtB6saqx18ZSctbS6fdimExKLOQQ6mdI/s1600-h/teorema_pitagoras_geometria_esferica.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116989742400514626" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgivCttG_KrGPiBYtoG8WpXoVgvhyeq_1_omrCoguemjl21xEIz-1cXSlmPlyFTyNFBromsnKe6rmzlvQJzk0iaXXCwg6xzVkKdwRJaBMbzoWTmtB6saqx18ZSctbS6fdimExKLOQQ6mdI/s400/teorema_pitagoras_geometria_esferica.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
que nos dice lo siguiente: <span style="font-style: italic;">En todo triángulo rectángulo trazado sobre la superficie de una esfera con radio <span style="font-weight: bold;">R</span>, el coseno del cociente entre la hipotenusa <span style="font-weight: bold;">c</span> y el radio de la esfera <span style="font-weight: bold;">R</span> es igual al producto de los cosenos de los cocientes entre los catetos y el radio de la esfera</span>. Aquí el coseno tiene la misma definición que la empleada en trigonometría. Usando una serie matemática para la evaluación de la función coseno como la siguiente:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSpRa8Pjbmtj-FvMJpdmHxvkY5FqKiMEGYKbSKo2qUfKej-zB37qDQ0JcoQPBTxi98IQ7RzYsnxNMSCD9PIjdKn64r30_Uvslm8DWJuZz7-BclL_MfjDmecFAk0C2xCfI-pbZMtawhgxc/s1600-h/expansion_series_coseno.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116991902769064530" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSpRa8Pjbmtj-FvMJpdmHxvkY5FqKiMEGYKbSKo2qUfKej-zB37qDQ0JcoQPBTxi98IQ7RzYsnxNMSCD9PIjdKn64r30_Uvslm8DWJuZz7-BclL_MfjDmecFAk0C2xCfI-pbZMtawhgxc/s400/expansion_series_coseno.png" /></a></div><br />
resulta fácil demostrar que, para un valor grande de <span style="font-weight: bold;">R</span> (como el radio de la Tierra), esta relación se convierte con muy poco margen de error aritmético en el teorema de Pitágoras, lo cual confirma nuestra experiencia cotidiana.<br />
<br />
Por otra parte, para obtener el área de un triángulo trazado sobre la superficie de una esfera, un teorema importante dentro de la geometría esférica es el <i>Teorema de Girard</i>, el cual no es difícil de demostrar, y el cual nos dice: “Si <b>R</b> es el radio de una esfera, y <b>a</b>, <span style="font-weight: bold;">b</span> y <b>c</b> son los ángulos internos de un triángulo (medidos en radianes) cuyos lados son segmentos de círculos máximos de dicha esfera, entones el área <span style="font-weight: bold;">S</span> de dicho triángulo estará dada por la relación:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>S = (a + b + c - </b><span style="font-weight: bold;">π</span><b>)</b><b>R² </b>”</div><br />
Para darle a los lectores una idea sobre cómo se lleva a cabo la demostración de un teorema en una geometría no-Euclideana cuando se trata de una <span style="font-style: italic;">geometría esférica</span>, a continuación se presentará la demostración del teorema de Girard. Para ello, primero dejaremos definido el <span style="font-style: italic;">ángulo esférico</span> como el ángulo formado por dos círculos máximos que se intersectan en un punto. En la siguiente figura tenemos dos ángulos esféricos que se forman en los vértices <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">A'</span> (los cuales generan dos áreas en lados opuestos en la esfera):<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiy38BD35UOnYV_RQOXnjTmaJSVp7kWtjnqyQ0KqgyLXC_o567OPkDWrq77ToxxaRxsv3hjfLUkely0xAiS_cY25OOJN-U8eS1w8fdQkSY4faPr7JDhx23PYk0NfPixaOOoODv0rrO1CIc/s1600-h/angulos_esfericos.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117152792243972738" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiy38BD35UOnYV_RQOXnjTmaJSVp7kWtjnqyQ0KqgyLXC_o567OPkDWrq77ToxxaRxsv3hjfLUkely0xAiS_cY25OOJN-U8eS1w8fdQkSY4faPr7JDhx23PYk0NfPixaOOoODv0rrO1CIc/s400/angulos_esfericos.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Del mismo modo, podemos formar ángulos esfericos en los vértices <span style="font-weight: bold;">B</span> y <span style="font-weight: bold;">B'</span>:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR7rWt3nCDHLdyvF2KqPKo-4ryoOrTMedCChUrdPFqJhI_fpbvPrDFdaM7ldb2EinawTb9c5TFqkIGzTTz8qYceykTRUuSueIft9bHiSbsRDctdaBSiY3ndDcQPRsJ-AZIRy8Curfw8u4/s1600-h/angulos_esfericos_2.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117153191675931282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR7rWt3nCDHLdyvF2KqPKo-4ryoOrTMedCChUrdPFqJhI_fpbvPrDFdaM7ldb2EinawTb9c5TFqkIGzTTz8qYceykTRUuSueIft9bHiSbsRDctdaBSiY3ndDcQPRsJ-AZIRy8Curfw8u4/s400/angulos_esfericos_2.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
y en los vértices <span style="font-weight: bold;">C</span> y <span style="font-weight: bold;">C'</span>:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbZO_c8Rd_0PD22wYW4FfjVtFB0AQNgWAi8FNVJwuVBn_EZeG-V8_Ky59KoT69zttGy7fBu4Rr9dBFTxn5U3CbJ0z2PIXV55a2N7197yOeXeUjYJIBnA_MuyOELEggWhSyZ2jIKLeyUAc/s1600-h/angulos_esfericos_3.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117153543863249570" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbZO_c8Rd_0PD22wYW4FfjVtFB0AQNgWAi8FNVJwuVBn_EZeG-V8_Ky59KoT69zttGy7fBu4Rr9dBFTxn5U3CbJ0z2PIXV55a2N7197yOeXeUjYJIBnA_MuyOELEggWhSyZ2jIKLeyUAc/s400/angulos_esfericos_3.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
El área total de la superficie de la esfera está dada por la suma de las áreas generadas por los ángulos esféricos (dos “lúnulas” de cada lado), a lo cual le tenemos que restarle las áreas de los triángulos esféricos en los vértices <span style="font-weight: bold;">ABC</span> y <span style="font-weight: bold;">A'B'C' </span>(cuatro veces el área del triángulo esférico <span style="font-weight: bold;">ABC</span>) para eliminar la duplicidad que ocurre al haber sumado las áreas generadas por los tres ángulos esféricos:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">S = área A + área A' + área B + área B' + área C + área C'</span><br />
<span style="font-size: 130%;"> - 4(área del triángulo esférico ABC)</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">S = 2 (área A) + 2(área B) - 2 (área B)</span><br />
<span style="font-size: 130%;"> - 4(área del triángulo esférico ABC)</span></div><br />
Resulta obvio que el área de una “lúnula” determinada por un ángulo esférico es proporcional al ángulo esférico. Si sabemos de antemano que el área total de una superficie esférica está dada por<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">S = 4</span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span><span style="font-size: 130%;">R²</span></div><br />
entonces el área determinada por un ángulo esférico <span style="font-weight: bold;">p</span> (en donde suponemos que dicho ángulo está medido en <i>radianes</i>) deberá ser <span style="font-weight: bold;">2pR²</span> (de este modo, cuando el ángulo esférico tenga una magnitud de <span style="font-weight: bold;">2</span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> <span style="font-style: italic;">radianes</span> ó 360 grados, cubriendo por completo a la superficie de la esfera, el área conformada por el ángulo esférico será <span style="font-weight: bold;">4</span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span><span style="font-weight: bold;">R²</span>, el área total de la esfera).<br />
<br />
De esta manera, la ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">4</span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span><span style="font-size: 130%;">R² </span><span style="font-size: 130%;">= 2 (área A) + 2(área B) - 2 (área B)</span><br />
<span style="font-size: 130%;"> - 4(área del triángulo esférico ABC)</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">4</span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span><span style="font-size: 130%;">R² </span><span style="font-size: 130%;">= 2(2aR²) + 2(2bR²) + 2(2cR²)</span><br />
<span style="font-size: 130%;"> - </span><span style="font-size: 130%;">4(área del triángulo esférico ABC)</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">4</span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span><span style="font-size: 130%;">R² </span><span style="font-size: 130%;">= 4aR² + 4bR² + 4cR²</span><br />
<span style="font-size: 130%;"> - </span><span style="font-size: 130%;">4(área del triángulo esférico ABC)</span></div><br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">área del triángulo esférico ABC = S</span><br />
<br />
<span style="font-size: 130%;"> S= (a + b + c - </span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span><span style="font-size: 130%;">)</span><span style="font-size: 130%;">R²</span></div><br />
Con este teorema podemos deducir resultados importantes. Uno de ellos es el siguiente: “Si dos triángulos (esféricos) tienen ángulos internos iguales, entonces sus áreas serán también iguales”. Esto nos lleva a una conclusión importante: A diferencia de como ocurre en la geometría Euclideana, <b>en la superficie de una esfera no existen triángulos semejantes por el hecho de tener ángulos internos iguales, los triángulos necesariamente son iguales</b>.<br />
<br />
Y en lo que respecta al cuadrilátero trazado sobre la superficie de una esfera, usando un procedimiento similar al que se emplea para demostrar el teorema de Girard podemos demostrar que para un <i>cuadrilátero esférico</i> con ángulos internos <b>a</b>, <span style="font-weight: bold;">b</span>, <b>c</b> y <b>d</b> (medidos en radianes) su área <span style="font-weight: bold;">S</span> estará dada por la relación:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>S = (a + b + c + d - 2</b><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span><b>)</b><b>R²</b></div><br />
También con esta relación obtenemos el importante resultado de que en la superficie de una esfera no existen los cuadriláteros semejantes; si tienen sus cuatro ángulos correspondientes iguales entonces deben tener la misma área, y al ser del mismo tamaño tienen que ser iguales. Esta última relación no puede ser usada ni siquiera como una aproximación al área de un cuadrilátero trazado sobre un plano para el caso de una esfera como un radio <b>R</b> muy grande como el de la Tierra, porque en tal caso a medida que el radio <b>R</b> se hace grandísimo la suma de los ángulos internos del cuadrilátero <b>(a + b + c + d)</b> se va aproximando al valor de <span style="font-weight: bold;">2</span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> y la diferencia se volverá pequeñísima, y como bien sabemos el producto de una cantidad grandísima por una cantidad pequeñísima nos puede dar algo intermedio, por ejemplo:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">4500000000000000000 × 0.000000000000000015</div><br />
produce 67.5 (¿metros cuadrados, un terreno chico para un jardín?).<br />
<br />
La fórmula sencilla (<span style="font-style: italic;">base por altura</span>) para el área de un cuadrilátero Euclideano (plano) no puede derivarse como un caso especial de la fórmula para el área de un cuadrilátero esférico (teorema de Girard) aún cuando el radio de la esfera se aproxime a un radio infinito, del mismo modo que la fórmula para el área de un cuadrilátero esférico no puede derivarse como un caso especial de la fórmula para un cuadrilátero Euclideano. Es precisamente este tipo de dificultades por las cuales Saccheri cedió a la tentación de rechazar a la geometría elíptica como una geometría lógicamente consistente.<br />
<br />
Puesto que la única diferencia entre la geometría Euclideana y la geometría esférica (elíptica) es el postulado de las paralelas, el quinto postulado, esto significa que <span style="font-weight: bold;">cualquier demostración en la geometría Euclideana que no haga uso del quinto postulado será una demostración igualmente válida, con el mismo resultado, en la geometría esférica (elíptica)</span>. Esto nos permite de manera casi gratuita incorporar dentro de la geometría esférica (elíptica) las demostraciones de muchos teoremas de la geometría Euclideana, algunos de ellos laboriosos. Del mismo modo, esto significa que<span style="font-style: italic;"> todos los teoremas en la geometría Euclideana que hagan uso del quinto postulado serán falsos en la geometría esférica (elíptica)</span>.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-77982813555343543342007-09-29T03:00:00.000-07:002011-01-31T14:17:43.533-08:00Capítulo IV: Construyendo una Nueva Geometría<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<br />
Tanto la geometría esférica como la geometría elíptica parten de una base fundamental: el postulado de las paralelas de Euclides de que "por un punto exterior a una recta dada solo es posible trazar una paralela a dicha recta" es modificado para suponer que por un punto exterior a una recta dada <b>no es posible</b> trazar una paralela a dicha recta. Sin embargo, existe una tercera posibilidad. Esta posibilidad consiste en suponer que por un punto exterior a una recta dada es posible trazar <b>más de una paralela</b> a una recta, lo cual a muchos les puede parecer sorprendente cuando son expuestos por vez primera a una geometría en la cual se tome esta aserción como cierta. Interesantemente, si tomamos esta suposición como válida, usandola para reemplazar el quinto postulado de Euclides, podemos construír otra geometría conocida como <b>geometría hiperbólica</b>, perfectamente consistente, dentro de la cual podemos deducir teoremas tan válidos como los que encontramos dentro de la geometría euclideana. Este tipo de geometría, dentro de la cual se cumple este postulado alterno, también es conocida como <i>geometría de Lobachevski</i>, en honor al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) que descubrió y desarrolló completamente una geometría de este tipo. Desafortunadamente, Lobachevski no concibió alguna manera gráfica que permitiese representar de algun modo los objetos geométricos dentro de su geometría hiperbólica, con lo cual la visualización de los teoremas que derivó recurriendo meramente al simbolismo algebraico puro se volvió prácticamente imposible. Esta visualización sólo se volvió posible con una invención muy ingeniosa que veremos a continuación.<br />
<br />
Empecemos con la pregunta básica: ¿Cómo podemos construír este mundo nuevo, dentro del cual se cumpla el símil de los demás axiomas de la geometría Euclideana, y en el cual se pueda llevar a cabo también la construcción de figuras geométricas como los "triángulos" y los "cuadriláteros" y en donde se pueda llevar a cabo la demostración de teoremas de la misma manera rigurosa y axiomática como se realiza en la geometría Euclideana?<br />
<br />
La respuesta a esta pregunta se obtiene recurriendo a algo que en matemáticas se conoce como una <b>transformación</b>. Vamos a estudiar cierto tipo de transformación, <i>la inversión del plano en un círculo</i>, considerando esta inversión como la generalización de una reflexión con respecto a una línea recta. En las siguientes figuras, tenemos primero a la recta <b>L</b> y un punto <b>P</b> exterior a la misma:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiXdsPMjjalpdS1RkZbI2co1ZTl7O561w-fUgb0PVNlzHODhYHlhgH2KVP90tWgNigfY6Mf-WB9sFv2ilFsxEt6Ar2Zuz6h55b-JsSiqp-uccgIe5IIIkhl-j5MkzGPbB2IT96dUtRuFA/s1600-h/reflexion_inversion.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116190500526336290" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiXdsPMjjalpdS1RkZbI2co1ZTl7O561w-fUgb0PVNlzHODhYHlhgH2KVP90tWgNigfY6Mf-WB9sFv2ilFsxEt6Ar2Zuz6h55b-JsSiqp-uccgIe5IIIkhl-j5MkzGPbB2IT96dUtRuFA/s400/reflexion_inversion.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
El punto P se verá "reflejado" debajo de la línea <b>L</b> poniendo un punto <b>P'</b> por debajo de dicha línea que tenga la misma distancia a la línea <b>L</b> como la distancia que guarda hasta dicha línea el punto <b>P</b> (generalmente se designa la proyección de la imagen de un punto, de un segmento, o inclusive de una figura, con la misma letra pero con la distinción de primas, o sea agregando el símbolo <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">'</span> a la letra). Así, cada punto, línea, o inclusive figura geométrica que pongamos encima de la línea <b>L</b>, se verá "reflejado" por debajo de la línea <b>L</b> en otro punto, línea, o inclusive figura geométrica, que será una "reflexión" de la figura original. En el diagrama tenemos también un círculo con respecto al cual se llevará a cabo una reflexión semejante. El interior del círculo reflejará todos los puntos, líneas, e inclusive figuras geométricas, que podamos dibujar en el exterior del mismo, para lo cual proyectamos una figura exterior, punto por punto, hacia el interior del círculo. ¿Y cómo sabemos a que distancia, dentro del círculo, pondremos la "imagen" de un punto situado fuera del mismo? Lo haremos con la siguiente regla:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OP</b><b>•</b><b>OP' = r²</b></div><br />
en donde <b>r</b> es el radio del círculo. De este modo, si conocemos la distancia <b>OP</b> y conocemos el radio <b>r</b> del círculo, podemos calcular la distancia <b>OP'</b> simplemente como:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OP' = r²/OP</b></div><br />
Para quienes han estudiado geometría analítica, esta relación tal vez les parezca sospechosamente familiar. Y lo es, porque con un simple cambio de símbolos, tendríamos lo siguiente:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>y = 1/x²</b></div><br />
Y esto, como los estudiantes de geometría analítica lo deben saber, es la fórmula de una <i>hipérbola</i>, una línea curva trazada en el plano Cartesiano de dos dimensiones. Puesto que estamos construyendo nuestra nueva geometría no-Euclideana con una relación similar, es justo que llamemos a nuestra nueva geometría como <i>geometría hiperbólica</i>.<br />
<br />
Este modelo de geometría hiperbólica tiene un nombre. Se trata del <b>disco hiperbólico de Poincaré</b>, concebido por el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912). Como pronto lo veremos, este es un modelo en el cual una línea recta (en el sentido Euclideano, trazada fuera del disco) viene quedando representada adentro del disco como un arco de círculo cuyos extremos son perpendiculares a la frontera del disco. De aquí en adelante, al hablar acerca del círculo de inversión y al hablar acerca del disco de Poincaré, se entenderá que se está hablando de la misma cosa.<br />
<br />
Al adentrarnos dentro de nuestro nuevo mundo, tenemos que ser muy precavidos y estar alertas ante la posibilidad de que los axiomas en la geometría Euclideana, esas "verdades tan evidentes que deben ser aceptadas como ciertas sin discusión", posiblemente ya no sean válidos dentro de la geometría hiperbólica, y muy en especial el "postulado de las paralelas", el cual ciertamente tendrá que ser modificado. Y será modificado de una manera espectacular: <b>"Por un punto exterior a una recta dada, se pueden trazar una cantidad infinitamente grande de rectas paralelas a la recta dada"</b>. Esto de inmediato entra en conflicto con lo que nos enseñaron en la escuela.<br />
<br />
Formulémonos ahora una pregunta interesante. ¿Cómo se verán las imágenes de los objetos geométricos cotidianos al ser proyectados dentro de un círculo de inversión? Empezaremos por el caso más sencillo de todos, una línea recta externa al disco de Poincaré alineada con el centro de inversión <b>O</b> del disco.<br />
<br />
Aquí la respuesta es obvia, puesto que por la definición misma de inversión cualquier punto en una recta exterior alineada con el centro <b>O</b> del disco tendrá como imagen otro punto dentro del disco situado en la recta imaginaria que los une. Así, la siguiente recta <b>AB</b> tendrá como imagen la recta <b>B'A'</b> dentro del disco (obsérvese que los puntos correspondientes a cada recta son intercambiados).<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHYDOcLrtTlxstT9OIJfkYH9aLwPhrZEtznhh7HQGbnaZBisobbeh6yB0-7xkFXOTYSPX-vSRIvcLdpkAHCa_we5zyrdG_kusIc9l-N5lMJd8gg9du1lSj5P8g93Vu-YEF2sP3kdzDimg/s1600-h/r1.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120532673807887186" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHYDOcLrtTlxstT9OIJfkYH9aLwPhrZEtznhh7HQGbnaZBisobbeh6yB0-7xkFXOTYSPX-vSRIvcLdpkAHCa_we5zyrdG_kusIc9l-N5lMJd8gg9du1lSj5P8g93Vu-YEF2sP3kdzDimg/s400/r1.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Ahora viene una pregunta un poco más difícil. ¿Cómo se verá la imagen de una recta exterior que no esté alineada con el centro del disco? La respuesta podrá parecer sorprendente. Se verá <b>como el arco de una circunferencia</b>. Para demostrar este enunciado, tracemos una recta perpendicular a una recta externa <b>L</b> de modo tal que dicha recta perpendicular que parte del punto <b>A</b> pase por el centro de inversión <b>O</b> del disco, con lo cual el punto <b>A</b> tendrá una imagen <b>A'</b> dentro del disco:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7Oc6393nRUAHyMewbAXv4fYwLOsdBGLIiKbGgoama3bVzq6xyI-UNfChg_A-96Jv1ywcRJSB-ZYff0OkphxGxat51vsApZeKQEBlTQVtuGxzZ_WtetKQB1cIT7VhSKwWJivszROaDUUM/s1600-h/r2.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120532965865663330" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7Oc6393nRUAHyMewbAXv4fYwLOsdBGLIiKbGgoama3bVzq6xyI-UNfChg_A-96Jv1ywcRJSB-ZYff0OkphxGxat51vsApZeKQEBlTQVtuGxzZ_WtetKQB1cIT7VhSKwWJivszROaDUUM/s400/r2.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Ahora distinguimos cualquier otro punto <b>P</b> en la recta exterior <b>L</b>, el cual tendrá también una imagen dentro del disco en el punto inverso <b>P'</b>:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZH4QcTB8cQcjgrm3xsAGj_8BIoZxGAa09ANMvZJB6M2ym5NELJfdmIJnfu5r9qEjPMtCYO0JO2JTdHas5NeaSBDd8lyMKnodW4lUE8Q3_tFfjGlQsjy5JiaVypZb_Zr5y6WxHBA4iYbs/s1600-h/r3.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120533296578145138" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZH4QcTB8cQcjgrm3xsAGj_8BIoZxGAa09ANMvZJB6M2ym5NELJfdmIJnfu5r9qEjPMtCYO0JO2JTdHas5NeaSBDd8lyMKnodW4lUE8Q3_tFfjGlQsjy5JiaVypZb_Zr5y6WxHBA4iYbs/s400/r3.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Puesto que, por la definición de inversión:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OA•OA' = r²</b><br />
<br />
<b>OP•OP' = r²</b></div><br />
Se deduce igualando ambas expresiones que:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OA'/OP' = OP/OA</b></div><br />
Esta proporcionalidad nos dice que los dos triángulos <b>OAP</b> y <b>OP'A'</b> son <i>triángulos semejantes</i>. Siendo así, entonces el ángulo <b>OP'A'</b> es también un ángulo recto por la relación de semejanza, lo cual hace que el triángulo interno sea un triángulo rectángulo. Pero esto significa que, por un teorema de geometría, <b>A'P'</b> es la cuerda de una circunferencia que pasa por los puntos <b>A'</b>, <b>P'</b> y <b>O</b>, siendo <b>OA'</b> el diámetro de dicha circunferencia. El teorema que estamos invocando nos dice lo siguiente: <i>Para todo triángulo rectángulo cuya hipotenusa se haga coincidir con el diámetro de una círculo, los tres vértices de dicho triángulo serán puntos situados en la circunferencia del círculo</i>. Desafortunadamente, en la mayoría de los libros de geometría usados en las escuelas de enseñanza media y superior, este teorema no solo no es demostrado, sino que ni siquiera aparece mencionado, razón por la cual se procederá a la demostración de dicho teorema antes de continuar adelante. Para ello, supongamos que acostamos un triángulo sobre su base haciendo coincidir la base con el diámetro de una circunferencia. Lo que tenemos que hacer es demostrar que dicho triángulo será necesariamente un triángulo rectángulo, o sea demostrar que el ángulo opuesto a la base del triángulo es un ángulo de 90 grados.<br />
<br />
Sea un triángulo OA'P' inscrito dentro de un círculo, con su base coincidiendo con el diámetro del círculo con centro en el punto C. Tiéndase una recta del punto A' al punto medio de la recta OP', o sea al punto C que es el centro del círculo:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjCbvcbU9f95eZKO3RZammJl9-XMdNEChVJOGDm71kRbmCS5l_9URa0F0exCikF2tsM2KYXB9r74Sfc5yEvNMh-Hq1-MsRrRW448igCpDlLJBs-FNaYJbgUC0ZabjN5p50jL4-Nt32Hfw/s1600-h/demostracion.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120533670240299906" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjCbvcbU9f95eZKO3RZammJl9-XMdNEChVJOGDm71kRbmCS5l_9URa0F0exCikF2tsM2KYXB9r74Sfc5yEvNMh-Hq1-MsRrRW448igCpDlLJBs-FNaYJbgUC0ZabjN5p50jL4-Nt32Hfw/s400/demostracion.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Esto divide al triángulo inscrito en dos triángulos isósceles, el triángulo OA'C y el triángulo P'CA'. El que los dos triángulos sean isósceles viene de la misma definición de triángulo isóceles, "un triángulo con dos lados iguales y uno desigual". En el triángulo OA'C los lados OC y A'C son iguales, por ser ambos lados igual al radio del círculo, mientras que OA' es el lado desigual, pudiendo decirse lo mismo para el otro triángulo isósceles. En la geometría Euclideana podemos invocar el teorema que nos dice "en todo triángulo la suma de los ángulos internos es igual a 180 grados". Esto significa que podemos relacionar los ángulos internos dentro de cada triángulo isósceles de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">r + m + u = 180°<br />
<br />
n + q + s = 180°</div><br />
Sumando ambos lados de las igualdades, tenemos:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">r + m + u + n + q + s = 360°<br />
<br />
r + u + q + s + (m + n) = 360°</div><br />
Pero los ángulos m y n son ángulos suplementarios, los cuales juntos suman 180°, con lo cual:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">r + u + q + s = 180°</div><br />
Aquí podemos invocar otro teorema de la geometría plana que, para variar, sí aparece demostrado en la mayoría de los libros de texto que tratan del tema, que nos dice: "en todo triángulo isósceles los lados opuestos a los lados iguales son iguales". O sea, que:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">u = r<br />
<br />
q = s</div><br />
Haciendo estas substituciones, se tiene que:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">u + u + q + q = 180°<br />
<br />
2u + 2q = 180°</div><br />
<div style="text-align: center;">u + q = 90°</div><br />
Esto nos dice ya que el ángulo interno correspondiente al vértice A es un ángulo recto, o sea que el triángulo es un triángulo rectángulo, lo cual concluye la demostración.<br />
<br />
De este modo, volviendo al disco de inversión, se concluye que un segmento de línea recta exterior al disco comprendido entre los puntos <b>A</b> y <b>B</b> se verá proyectado dentro del disco como un pequeño arco de círcunferencia de la manera como se muestra a continuación:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDTM6xn48DTgKA2JrOlAxK1FPpPyjZHJTVXWROtqjtbWeVOG5EF70M5RGVcDRvPYp1FysGV5aZgTJArTUTrTHTCsO3ZF90VxW1Z-k70h1Y3B-XhK_dPYHwITuqck40sFXi0wX9bjNy_EA/s1600-h/r4.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120534000952781714" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDTM6xn48DTgKA2JrOlAxK1FPpPyjZHJTVXWROtqjtbWeVOG5EF70M5RGVcDRvPYp1FysGV5aZgTJArTUTrTHTCsO3ZF90VxW1Z-k70h1Y3B-XhK_dPYHwITuqck40sFXi0wX9bjNy_EA/s400/r4.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Obsérvese que para que se pueda formar una circunferencia <i>completa</i> dentro del disco, es necesario que nuestra recta exterior se extienda infinitamente en ambas direcciones, <i>cuyos extremos en el infinito tenderán a "tocarse" justo en el centro <b>O</b> del disco de Poincaré</i>. <b>Un segmento de una recta externa tendrá como imagen un arco de circunferencia dentro del disco de inversión, y si la recta es infinitamente grande entonces su imagen formará una circunferencia completa dentro del disco que pasará por el centro del disco</b>.<br />
<br />
Puesto que las figuras externas al disco son a su vez inversas de sus imágenes correspondientes dentro del disco, se concluye que <b>todo círculo trazado dentro del disco de Poincaré que pase por el centro del disco tendrá como imagen fuera del disco una línea recta que se extiende al infinito en ambas direcciones</b>.<br />
<br />
Curiosamente, una circunferencia dentro del disco de Poincaré <i>que no pase por el centro <b>O</b> del disco</i> tendrá como imagen fuera del disco <b>otra circunferencia</b>, y es lo que se demostrará a continuación.<br />
<br />
Para evitar confusiones, se distinguirá aquí al disco de inversión como el círculo <i>k</i>, la circunferencia exterior al disco de inversión será designada como la circunferencia <i>c</i>, y la imagen de la circunferencia <i>c</i> dentro del disco de inversión será denotada como <i>c'</i>.<br />
<br />
A continuación, trazamos dos secantes que corten a la circunferencia <i>c</i> en los puntos <b>A</b> y <b>B</b> una y en los puntos <b>M</b> y <b>N</b> la otra, de modo tal que al ser extendidas pasen justo por el centro del disco de inversión <i>k</i>. Para la demostración no es necesario trabajar con las dos secantes, y por lo tanto usaremos solo una de ellas, la secante <b>OMN</b>. Las imágenes de los puntos <b>M</b> y <b>N</b> dentro del disco serán <b>M'</b> y <b>N'</b>, respectivamente. Esto lo tenemos representado en la siguiente figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOi9d9vvoQOrcUMmIm2F4z4CEN2_D2R6G9iXwsMtW4uZdJglPu_zNeQEIgNui6gn0WUIx7FBHv7P2U1ZEpDqZ7fM-_4ej7ZoAnD-88GHAaukhUVM372r8_-7W2ekwAvW34-EfIQZbxrbQ/s1600-h/circulos_invertidos.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5121040321762405554" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOi9d9vvoQOrcUMmIm2F4z4CEN2_D2R6G9iXwsMtW4uZdJglPu_zNeQEIgNui6gn0WUIx7FBHv7P2U1ZEpDqZ7fM-_4ej7ZoAnD-88GHAaukhUVM372r8_-7W2ekwAvW34-EfIQZbxrbQ/s400/circulos_invertidos.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Por la misma definición de inversión, las siguientes dos relaciones deben ser ciertas:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OM</b><b>•</b><b>OM' = r² = a</b><br />
<br />
<b>ON</b><b>•</b><b>ON' = r² = a</b></div><br />
Obsérvese que, puesto que el radio <b>r</b> del disco de inversión es constante, lo hemos hecho igual a una cantidad constante <b>a</b>.<br />
<br />
Ahora igualaremos miembro a miembro estas expresiones:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OM</b><b>•</b><b>OM' = ON</b><b>•</b><b>ON'</b><br />
<br />
<b>OM/ON' = ON/OM'</b> ___ (1)</div><br />
Tras esto, multiplicaremos miembro a miembro las igualdades:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OM</b><b>•</b><b>OM'</b><b>•</b><b>ON</b><b>•</b><b>ON' = a*a = a²</b><br />
<br />
<b>(OM</b><b>•</b><b>ON)</b><b>•</b><b>(OM'</b><b>•</b><b>ON') = a²</b> ___ (2)</div><br />
Ahora recurriremos a un teorema de geometría plana que aparece demostrado en muchos libros de texto (un texto de geometría que no contenga la demostración de este teorema no merece ser clasificado ni siquiera como medianamente bueno): <i>Si desde un punto <b>O</b> exterior a una circunferencia se trazan secantes a dicha circunferencia, el producto de las distancias del punto <b>O</b> a las intersecciones de cada secante con la circunferencia es una cantidad constante</i>. En otras palabras, el producto<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OM</b><b>•</b><b>ON = b</b> ___ (3)</div><br />
no varía al desplazarse el punto M por la circunferencia <b>c</b>, se mantiene como una cantidad constante, por este motivo lo hemos hecho igual a una constante <b>b</b>. Sustituyendo (3) en (2):<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>b</b><b>•</b><b>(OM'</b><b>•</b><b>ON') = a²</b><br />
<br />
<b>OM'</b><b>•</b><b>ON' = a²/b</b> ___ (4)</div><br />
Dividiendo (3) entre (4) miembro a miembro y reacomodando, tenemos:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>(OM</b><b>•</b><b>ON)/(OM'</b><b>•</b><b>ON') = b/(a²/b)</b><br />
<br />
<b>(OM/ON')</b><b>•</b><b>(ON/OM') = b²/a²</b> ___ (5)</div><br />
Finalmente, podemos sustituír (1) en (5) para obtener<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>(OM/ON')*(OM/ON') = b²/a²</b><br />
<br />
<b>(OM/ON')² = b²/a²</b><br />
<br />
<b>OM/ON' = b/a</b><br />
<br />
<b>OM/ON' = constante</b></div><br />
Esto último nos dice que las figuras descritas por los puntos <b>M</b> y <b>N'</b> son semejantes, con lo cual queda demostrado el teorema. Como el punto móvil <b>M</b> está formado cualquiera de los puntos que forman la circunferencia <i>c</i>, se concluye que el punto <b>N'</b> también describirá una circunferencia <i>c'</i>.<br />
<br />
Aquí hay que destacar un hecho importante: dentro del círculo de inversión, la menor distancia entre los puntos <b>A'</b> y <b>B'</b> no es la recta trazada entre dichos puntos que nosotros vemos "desde arriba", <i>sino el arco de la circunferencia que une dichos puntos</i>, o sea, la <b>recta hiperbólica</b>. Lo que ve un habitante del "universo hiperbólico" no es lo mismo que lo que nosotros vemos "desde arriba" y desde fuera. De hecho, el centro del disco de inversión corresponde a un punto situado en el infinito, un habitante del universo hiperbólico jamás alcanzaría a llegar al centro del disco, como tampoco alcanzaría a llegar hasta el borde del mismo, aunque para nosotros tales cosas parezcan posibles.<br />
<br />
Hasta ahora, he tratado aquí acerca de las imágenes que dentro del círculo de inversión tendrán objetos geométricos cotidianos puestos fuera del círculo. Olvidémonos de lo que ocurre fuera del círculo de inversión y veamos a continuación lo que vendría ocurriendo dentro del círculo. Se puede demostrar que, dentro del círculo de inversión, la "menor distancia entre dos puntos", lo que vendría siendo una <b>recta hiperbólica</b>, la ruta que seguiría un rayo de luz lanzado desde una linterna por un habitante del universo hiperbólico, seguirá la ruta de un <span style="font-style: italic;">arco de círculo</span> que al dirigirse "hacia el infinito" (hacia el borde del disco) lo hará aproximándose a una perpendicular trazada por fuera a la tangente del borde del disco. La demostración de esto último requiere entrar en detalle en algo conocido como el <b>cálculo de variaciones</b>, en donde la tarea consiste en obtener las características que deberá llenar la línea imaginaria que seguirá un rayo de luz para minimizar su tiempo de recorrido para llegar de un punto a otro, proporcionando por lo tanto la distancia "más corta" dentro de dos puntos dentro del disco. (En relación al uso de un rayo de luz para encontrar la ruta que minimiza el tiempo de recorrido entre dos puntos, lo cual ocurre bajo un principio de la física conocido como el <span style="font-weight: bold;">Principio de Fermat</span>, consúltese el <span style="font-style: italic;">Suplemento # 1</span> puesto al final de esta bitácora.) Si el rayo de luz es lanzado en dirección opuesta, ocurrirá lo mismo. Para nosotros, ese rayo de luz que dentro del universo hiperbólico viaja a lo largo de una línea recta (según el habitante de dicho universo) lo veremos <i>desde fuera</i> siguiendo lo que parece ser una línea curva. Por ello, al saltar del universo Euclideano al plano hiperbólico, nuestra forma de pensar tiene que ser adecuada a una nueva realidad (del mismo modo, un habitante del universo hiperbólico que nos vea desde adentro tiene que ajustar su forma de vernos a quienes vivimos fuera de su peculiar universo).<br />
<br />
Existe un programa interactivo interesante (implementado en una rutina de software conocida como <span style="font-style: italic;">applet</span>) del Profesor Paul Garrett que nos permite trazar de inmediato a nuestro antojo rectas hiperbólicas dentro de un disco de inversión. El enlace que proporciona esta herramienta educativa es el siguiente:<br />
<br />
http://www.math.umn.edu/~garrett/a02/H2.html<br />
<br />
Todo lo que hay que hacer es oprimir el "mouse" con el cursor puesto en algún lugar dentro del disco, y manteniéndolo oprimido se arrastra el cursor trazando la línea. Si se mantiene oprimido el cursor, la recta hiperbólica puede ser ampliada, reducida, o cambiada de posición según queramos.<br />
<br />
Quienes estén familiarizados con las definiciones que se dán en la geometría analítica de varias de las curvas que allí se estudian, tal vez en estos momentos al ver que la imagen dentro del círculo de inversión de una circunferencia externa <span style="font-style: italic;">c</span> es también otra circunferencia c' se estarán preguntando cómo es esto posible. Después de todo, en la geometría analítica Euclideana, la definición de una circunferencia es la siguiente:<br />
<br />
<blockquote>"<span style="font-weight: bold;">Circunferencia</span> <span style="font-style: italic;">es el lugar de los puntos tales cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante</span>."</blockquote><br />
En esta definición se sobreentiende que todos los radios trazados desde el centro de la circunferencia hasta la circunferencia misma tienen la misma longitud. Pero si por la forma en la cual está definida la inversión todas las distancias son alteradas al llevarse a cabo la inversión, e inclusive todas las rectas exceptuando aquellas que están alineadas con el centro del disco terminan siendo convertidas en arcos de círculo, entonces ¿cómo es posible que sigamos teniendo una circunferencia después de haber llevado a cabo la inversión de una circunferencia exterior? ¿Cómo es posible que los radios permanezcan inalterados para seguir teniendo también una circunferencia dentro del disco de inversión? La respuesta a esto es que los radios equidistantes que corresponden a la circunferencia exterior de hecho sí son distorsionados, aunque aquí a primera vista la distorsión no es obvia. Para aclarar el asunto, a continuación se muestra la circunferencia interior con varios de sus "radios" trazados dentro de ella:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidnDXtR8bdT2TChX0cbUWnmDtmzZd1I69zvxp5GwutBpy2ppSSWXI-K-Eje_2GR4hdcjMot47qETaTNRgM7hFmyTZPCsZGy45KtpgoA675RXPVIWRw_oeWpJdDNifeEqKvcFguNXo76EM/s1600-h/radios_circulo_hiperbolico.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123243712999697938" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidnDXtR8bdT2TChX0cbUWnmDtmzZd1I69zvxp5GwutBpy2ppSSWXI-K-Eje_2GR4hdcjMot47qETaTNRgM7hFmyTZPCsZGy45KtpgoA675RXPVIWRw_oeWpJdDNifeEqKvcFguNXo76EM/s400/radios_circulo_hiperbolico.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Como puede verse, los radios de esta circunferencia <span style="font-style: italic;">c</span> no son "líneas rectas" en el sentido al cual estamos acostumbrados en la geometría Euclideana. Es más, el "centro" de la circunferencia <span style="font-style: italic;">c</span> ni siquera coincide con el punto central al cual estamos acostumbrados a llamar "centro". Sin embargo, dentro del disco de inversión, la definición de circunferencia sigue siendo rigurosamente válida, siempre y cuando estemos dispuestos a modificar nuestro modo de pensar adaptándolo a la nueva geometría, a la geometría hiperbólica. Nuestra definición de lo que viene siendo una circunferencia dentro del disco de inversión tiene que ser modificada de la siguiente manera:<br />
<br />
<blockquote>"<span style="font-weight: bold;">Circunferencia hiperbólica</span> <span style="font-style: italic;">es el lugar de los puntos tales cuya distancia hiperbólica a un punto fijo llamado centro es constante</span>."</blockquote><br />
Se puede demostrar que, dentro de un disco de inversión unitario (con radio <span style="font-weight: bold;">R</span>=1), un "círculo" con <span style="font-style: italic;">radio intrínseco <span style="font-weight: bold;">r</span></span> tendrá una circunferencia <span style="font-weight: bold;">C</span> de longitud:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">C</span> = 2<b><b> • </b></b><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π </span><b><b>•</b></b> <span style="font-weight: bold;">sinh</span>(<span style="font-weight: bold;">r</span>)</div><br />
en donde <span style="font-weight: bold;">sinh</span>(<span style="font-weight: bold;">r</span>), el <span style="font-style: italic;">seno hiperbólico</span> de <span style="font-weight: bold;">r</span>, es una función definida de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTqzwF31xNNuMlCR_8Z96Xr7LdXx1p6VfY1RjdTHTaX2-9sOFQPVjcr13MXzxIBkFmIGdsSeQgf54BF8wqbpZthXEzh1QYITL54bgr7XkT4uU8VE3vE_o2Phv0Nwb-yiiJolXCwyD7ZO4/s1600-h/seno_hiperbolico.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5125474139502160706" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTqzwF31xNNuMlCR_8Z96Xr7LdXx1p6VfY1RjdTHTaX2-9sOFQPVjcr13MXzxIBkFmIGdsSeQgf54BF8wqbpZthXEzh1QYITL54bgr7XkT4uU8VE3vE_o2Phv0Nwb-yiiJolXCwyD7ZO4/s400/seno_hiperbolico.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
(Las funciones trigonométricas hiperbólicas son algo que surge naturalmente en el estudio de las geometrías no-Euclideanas hiperbólicas.)<br />
<br />
Para ver cómo nos cambia esto todo aquello a lo cual habíamos estado acostumbrados en la geometría Euclideana plana, a continuación tenemos algunos valores numéricos para el seno hiperbólico:<br />
<br />
<blockquote>senh(0.1) = 0.100167<br />
<br />
senh(0.5) = 0.521<br />
<br />
senh(0.8) = 0.888</blockquote><br />
Puesto que para cualquier valor de <i style="font-weight: bold;">x</i> su seno hiperbólico siempre será una cantidad mayor que <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">x</span><span style="font-weight: bold;">,</span> <b>en la geometría hiperbólica una circunferencia siempre tendrá una longitud mayor que una circunferencia Euclideana con el mismo radio</b>. Esto contrasta en forma opuesta a lo que ocurre en la geometría esférica, en donde una circunferencia trazada sobre la superficie de una esfera siempre tendrá una longitud menor que una circunferencia Euclideana con el mismo radio.<br />
<br />
Si el disco de inversión no es unitario, y tiene un radio <b>R</b> diferente de la unidad, entonces la relación para la longitud de una circunferencia de un "círculo" con radio intrínseco <i>r</i> tendrá un valor de:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">C</span> = 2 <b><b>•</b></b><span style="font-weight: bold;"> </span><span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> <b><b>•</b></b> <span style="font-weight: bold;">sinh</span>(<span style="font-weight: bold;">r</span>/<span style="font-weight: bold;">R</span>)</div><br />
<br />
No nos llevará mucho tiempo, llevando a cabo "proyecciones" hacia adentro del círculo mediante este procedimiento de inversión, para darnos cuenta de que hay algunas "verdades" que simple y sencillamente no pueden ser obtenidas de otros "postulados" más elementales. Estas verdades serán nuestro punto de partida para formalizar nuestra nueva geometría y para poder llevar a cabo la demostración de teoremas en forma análoga a como se lleva a cabo en la geometría Euclideana. Veamos si mis lectores pueden vivir con el siguiente sistema axiomático:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>AXIOMAS DE LA GEOMETRIA HIPERBOLICA</b></div><br />
<br />
<b>Postulado 1</b>: Por dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una, <i>recta hiperbólica</i>.<br />
<br />
<b>Postulado 2</b>: Una recta hiperbólica se puede extender indefinidamente en ambas direcciones sin que se lleguen a tocar jamás sus puntos extremos.<br />
<br />
<b>Postulado 3</b>: Se puede dibujar un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio.<br />
<br />
<b>Postulado 4</b>: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.<br />
<br />
<b>Postulado 5</b>: Por el punto <b>P</b>, que no pertenece a una recta hiperbólica, pueden ser trazadas dos rectas hiperbólicas paralelas a <b>P</b>.<br />
<br />
<b>Postulado 6</b>: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.<br />
<br />
<b>Postulado 7</b>: Si a iguales les sumamos iguales, las sumas resultantes serán también iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 8</b>: Si a iguales les restamos iguales, los remanentes serán iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 9</b>: Figuras que se pueden hacer coincidir son iguales.<br />
<br />
<b>Postulado 10</b>: El todo es mayor que la suma de sus partes.<br />
<br />
<br />
El primer postulado (axioma) es obvio. Para ello, nos basta proyectar una línea recta exterior al círculo (recta en el sentido Euclideano) hacia adentro del círculo, punto por punto, mediante el procedimiento de inversión. Sólo se puede trazar una recta hiperbólica dentro del círculo que corresponderá a la recta exterior Euclideana. Y si la recta fuera del círculo que estamos proyectando hacia adentro no está situada dentro de una línea trazada desde el centro del círculo, descubriremos una cosa interesante: <i>todas las líneas hiperbólicas trazadas dentro del círculo resultan ser arcos de círculo</i>.<br />
<br />
El segundo postulado también es obvio por un hecho excepcional: en nuestra inversión <i>estamos moviendo todo lo que está a distancias enormes, en el infinito, hacia adentro del círculo</i>. De hecho, el infinito que no alcanzamos a ver en la lejanía del Universo corresponde al borde del círculo. Esto quiere decir que conforme nos vamos acercando a lo largo de una recta hiperbólica hacia el borde del círculo, nuestra proyección fuera del círculo se va ampliando adquiriendo distancias enormes. Movimientos cada vez más microscópicos dentro del círculo al acercarnos a la orilla corresponden a distancias cada vez más inconmensurables fuera del mismo. Y como el borde del círculo es el infinito, ninguna recta hiperbólica puede salirse "fuera" del mismo para volver a encontrarse consigo misma. De esta manera, mientras una recta Euclideana siempre terminará encontrándose consigo misma en el infinito, los puntos extremos de una recta hiperbólica jamás se llegarán a tocar por más que sean extendidos.<br />
<br />
En relación al tercer postulado, un círculo en un plano hiperbólico se define como el lugar de los puntos tales que todos ellos están a la misma distancia de un punto llamado centro, al igual que como ocurre en el plano Euclideano. Aquí mis lectores tendrán una duda. ¿Que forma toma, dentro del círculo de inversión, un círculo Euclideano convencional trazado fuera del mismo? Los dejaré con la duda para estimularlos a que jueguen un poco con un círculo de inversión y hagan los trazos requeridos para ver que és lo que se obtiene. ¿Les asombraría descubrir que un círculo proyectado dentro de un círculo de inversión seguirá siendo un círculo, excepto que el centro parecerá estar "fuera de centro"?<br />
<br />
El cuarto postulado de nuestra geometría hiperbólica requerirá el trazo de algunas figuras geométricas fuera del círculo de inversión, proyectadas posteriormente hacia adentro, para determinar si se mantiene en pie o si hay que descartarlo.<br />
<br />
El quinto postulado de nuestra geometría hiperbólica, "por el punto <b>P</b>, que no pertenece a una recta hiperbólica, pueden ser trazadas dos rectas hiperbólicas paralelas a <b>P</b>", ya no es tan obvio. Pero el quinto postulado de Euclides tampoco lo fue. Sin embargo, se puede verificar trazando algunas rectas dentro y fuera del círculo de inversión para descubrir esta verdad que tenemos que aceptar como cierta, al no ser posible su demostración.<br />
<br />
Los postulados restantes, el sexto, el séptimo, el octavo, el noveno y el décimo, deben mantenerse válidos dentro de nuestra geometría hiperbólica, ya que en caso contrario toda la pirámide sobre la cual están construídas las matemáticas e inclusive la misma lógica se nos puede venir abajo.<br />
<br />
Con estos postulados de la geometría hiperbólica que hemos elaborado, nos basta y sobra para continuar demostrando teoremas dentro de la geometría hiperbólica tal y como lo hacía Saccheri, algunos de los cuales de hecho pueden corresponder sin modificación alguna a los teoremas que se demuestran dentro de la geometría Euclideana, mientras que otros tendrán que ser modificados. Primero repasaremos lo básico. Dentro de la geometría hiperbólica definimos como "líneas paralelas" aquellas rectas infinitas trazadas dentro de un plano hiperbólico que no se cruzan jamás. Esto es lo que tenemos en la siguiente figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH5SRoopWMJPyacGiNJzwP3x26sScuMvSCDkj0Vyw2p4Ngh1RKA-qMMGnm_igiRyf_2VPyla6h_WqxSTKsFv9wQOduDLow30edPI-ZIQiWie5T5UIUrff7dzY3576d1Bn9r4zB6TuaN7c/s1600-h/rectas_disco_Poincare.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116964144395430418" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH5SRoopWMJPyacGiNJzwP3x26sScuMvSCDkj0Vyw2p4Ngh1RKA-qMMGnm_igiRyf_2VPyla6h_WqxSTKsFv9wQOduDLow30edPI-ZIQiWie5T5UIUrff7dzY3576d1Bn9r4zB6TuaN7c/s400/rectas_disco_Poincare.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
en donde las "rectas" hiperbólicas de color negro que se cortan en el punto <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">p</span> pese a no ser paralelas entre sí son paralelas todas ellas a la "recta" hiperbólica de color magenta, lo cual muestra algo importante: en una geometría hiperbólica, a través de un punto <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">p</span> externo a una recta dada se puede trazar no sólo una sino <span style="font-style: italic;">una cantidad infinita de rectas paralelas a la recta dada</span>. Contrástese esto con lo que ocurre en la geometría Euclideana, en donde a través de un punto <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">p</span> externo a una recta dada sólo es posible trazar <span style="font-style: italic;">una sola recta paralela</span> a la recta dada. Contrástese también con lo que ocurre en la geometría esférica (elíptica) en donde a través de un punto externo <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">p</span> a una recta dada no es posible trazar <span style="font-style: italic;">ninguna recta paralela</span> a la recta dada. Y aquí también ocurre otro hecho muy curioso. Podemos ver que dos rectas que no son paralelas, como las tres rectas hiperbólicas de color negro que se cruzan en el punto <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">p</span>, pueden ser sin embargo todas ellas paralelas a otra recta como la recta hiperbólica de color magenta. Esto va en contraposición directa al viejo teorema en la geometría Euclideana que nos dice que "dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí".<br />
<br />
Por la forma en la cual está definido el círculo de inversión, parecería que para poder construír la imagen inversa de un objeto situado fuera del disco necesitaríamos tener una calculadora a la mano para poder estar calculando cada punto imagen del objeto dentro del disco. Sin embargo, tal cosa no es necesaria, por un teorema que nos dice: <i>El punto inverso <b>P'</b> a un punto exterior <b>P</b> con respecto a un disco de inversión de radio <b>r</b> puede ser construído usando únicamente un compás</i>. Nada de fórmulas, nada de álgebra, nada de aritmética, solo se requiere un compás. Esto, dicho sea de paso, se acerca al espíritu de la geometría de la antigua Grecia en los tiempos de Euclides, en donde todo lo llevaban a cabo usando únicamente una regla y un compás (y estamos hablando de una regla <i>no graduada</i>, usada únicamente para el trazo de líneas rectas y no para medir). Esta construcción la llevamos a cabo de la siguiente manera: Tómese un punto <b>P</b> exterior a un disco de inversión del cual queremos encontrar, mediante el uso de un compás únicamente, la imagen <b>P'</b> que le corresponde dentro del disco. Para esto, haciendo centro en el punto <b>P</b>, trazamos primero un arco de circunferencia que pase por el punto <b>O</b> del disco de inversión y que intersecte al disco en los puntos <b>T</b> y <b>S</b>. A continuación, usando estos puntos como centros, trazamos dos circunferencias de radio <b>r</b> (el radio del círculo de inversión). ¡Y ya está! El punto <b>P'</b> en donde se intersectan las curvas es precisamente la imagen del punto exterior <b>P</b>, como se muestra en la siguiente figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic6DTZXh-1zJYNV3vxPc6Pd2Doa5obo9pWT0X6H5HJ_mENRDfeThcsXNx9W9T0fnsISRIiswVHFtLW78QQIyzQVYOpjrnFZH91CHMQSlyKQCgDrK8StJOecmiggv32oO_F_JQiX5z3XyE/s1600-h/construccion_hiperbolica.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120536595113028514" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic6DTZXh-1zJYNV3vxPc6Pd2Doa5obo9pWT0X6H5HJ_mENRDfeThcsXNx9W9T0fnsISRIiswVHFtLW78QQIyzQVYOpjrnFZH91CHMQSlyKQCgDrK8StJOecmiggv32oO_F_JQiX5z3XyE/s400/construccion_hiperbolica.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Tomando varios puntos de un objeto exterior al disco, localizando en la forma que se acaba de señalar las imágenes de dichos puntos dentro del disco, y uniendo los puntos interiores, se obtiene la imagen inversa de un objeto situado fuera del disco. Este procedimiento es tan sencillo y divertido, que de seguro habrá lectores míos que desearán llevarlo a cabo si tienen un compás a la mano. La demostración del teorema se lleva a cabo demostrando primero que en la figura de arriba que los triángulos isósceles <b>OTP'</b> y <b>OTP</b> <i>son triángulos semejantes</i>. Para ello, basta con demostrar que el ángulo <b>OTP'</b> es igual al ángulo <b>TPO</b>. Por construcción, en el triángulo isósceles grande el ángulo <b>OTP</b> es igual al ángulo <b>POT</b>. Pero el ángulo <b>POT</b> es igual al ángulo <b>P'OT</b> del triángulo isósceles chico, el cual a su vez debe ser igual al ángulo <b>OP'T</b> del triángulo chico, lo cual demuestra que son triángulos semejantes. Ahora bien, si ambos son triángulos semejantes, entonces la siguiente proporcionalidad entre los lados homólogos debe ser cierta:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OP/OT = OT/OP'</b></div><br />
o sea:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OP•OP' = OT•OT = r²</b></div><br />
que <span style="font-style: italic;">es precisamente la relación que define la inversión</span>, con lo cual queda demostrado que nuestro procedimiento geométrico de construcción es correcto.<br />
<br />
Hay otra forma aún más sencilla de encontrar geométricamente (sin usar calculadora) dentro de un disco de inversión la imagen <b>A'</b> de un punto <b>A</b> exterior al disco. Para ello, primero se traza una recta desde el punto <b>A</b> hasta el centro <b>O</b> del disco. Tras esto, se traza una recta desde el punto <b>A</b> hasta el borde del disco <i>que sea tangente al borde del disco</i>, tocándolo en el punto <b>B</b>. Si unimos el punto <b>O</b> con el punto <b>B</b>, veremos que se forma un triángulo rectángulo, el triángulo rectángulo <b>OAB</b>. Todo lo que tenemos que hacer es trazar la altura de dicho triángulo hacia su base para encontrar en la hipotenusa del triángulo el punto <b>A'</b> que corresponde a la imagen del punto <b>A'</b>, como se ve en la siguiente figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTBPCLI-Yhy47isBHtgtg4OZOIxKSRAGW6TL6RMQAaLkcknZC3tfaivXpzyFZ65M2_Xfa6SmVn7QcyBwaOnD8Y9yQoCHCsavrdwp0znm_-ECZlJ_g7MseHbitDbJQDmb0iHfwrAR1ymeU/s1600-h/construccion_simplificada.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5121255100191976674" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTBPCLI-Yhy47isBHtgtg4OZOIxKSRAGW6TL6RMQAaLkcknZC3tfaivXpzyFZ65M2_Xfa6SmVn7QcyBwaOnD8Y9yQoCHCsavrdwp0znm_-ECZlJ_g7MseHbitDbJQDmb0iHfwrAR1ymeU/s400/construccion_simplificada.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Podemos demostrar que este procedimiento de construcción es correcto viendo que al trazar la altura <span style="font-weight: bold;">A'B</span> dentro del triángulo rectángulo <b>OAB</b> éste quedará dividido en dos triángulos rectángulos <i>semejantes</i>, el triángulo <b>OAB</b> y el triángulo <b>OA'B</b>. Son semejantes porque ambos tienen tres ángulos internos iguales (tienen en común el ángulo <b>AOB</b> como tienen también un ángulo recto en común, de modo que los otros dos ángulos correspondientes deben ser también iguales). Siendo figuras semjantes, esto nos permite escribir la siguiente proporcionalidad relacionando sus lados:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><b>OA/OB = OB/OA'</b><br />
<br />
<b>OA<b>•</b>OA' = OB²</b><br />
<br />
<b>OA<b>•</b>OA' = r²</b></div><br />
Y esta es precisamente la relación que define al círculo de inversión.<br />
<br />
Existe una forma muy fácil de construír dentro del círculo de inversión lo que vendría siendo una <b>recta hiperbólica</b>, el equivalente de la línea que representa la menor distancia entre dos puntos para un habitante del universo hiperbólico, o puesto de otra manera, la ruta que seguiría un rayo de luz lanzado dentro del disco de inversión. Esta línea será un arco de círculo. Pero no cualquier arco de círculo servirá para tal propósito. Tiene que ser un arco de círculo que intersecte el borde del disco a ángulos rectos. El requisito de que todo rayo de luz lanzado dentro del círculo siga una ruta que lo haga llegar en forma perpendicular al borde del disco nos permite elaborar una manera muy sencilla de trazar una ruta hiperbólica que una a dos puntos A y B cualesquiera en el borde del disco. Para ello, se trazan dos rectas tangentes al disco en los puntos A y B, perpendiculares al radio del disco, las cuales deben ser prolongadas hacia el lado en el cual se encontrarán en un punto exterior P como lo muestra la siguiente figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgl9yiLWOghhyphenhyphenuBA-eY0uzfFzgLKTFGfRVA9zn_O8CTStQPa6sNbP1kX8wyGtStLtUE4sB1uzLL7vabtQ1RmiUICqPy0A1WG98vhjEJ1tsH-O6zedsy1Ct6cF9wl0zyw1O8HvZ1_p_hbJA/s1600-h/recta_hiperbolica.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5120536917235575730" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgl9yiLWOghhyphenhyphenuBA-eY0uzfFzgLKTFGfRVA9zn_O8CTStQPa6sNbP1kX8wyGtStLtUE4sB1uzLL7vabtQ1RmiUICqPy0A1WG98vhjEJ1tsH-O6zedsy1Ct6cF9wl0zyw1O8HvZ1_p_hbJA/s400/recta_hiperbolica.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Hecho esto, se hace centro con un compás en el punto P y se traza un arco de círculo dentro del disco que una los puntos A y B, el cual será la recta hiperbólica deseada.<br />
<br />
Puesto que la única diferencia entre la geometría hiperbólica y la geometría Euclideana es el quinto postulado, el postulado de las paralelas, esto significa que <span style="font-weight: bold;">cualquier demostración que se lleve a cabo en la geometría Euclideana que no haga uso del quinto postulado será una demostración igualmente válida en la geometría hiperbólica</span>. Esto nos permite incorporar de inmediato muchas demostraciones de la geometría Euclideana dentro de la geometría hiperbólica. Del mismo modo, esto significa que <span style="font-weight: bold;">todos los teoremas en la geometría Euclideana que hagan uso del quinto postulado serán falsos en la geometría hiporbólica y tendrán que ser modificados</span> (al igual que como ocurre con la geometría elíptica). Puesto que una geometría construída usando únicamente los primeros cuatro postulados será igualmente válida en los tres universos (Euclideano, elíptico, hiperbólico), este tipo de geometría es conocido como una <span style="font-style: italic;">geometría absoluta</span><span style="font-weight: bold;">.</span><br />
<br />
Veamos ahora algunos teoremas de la geometría hiperbólica cuya demostración se puede llevar a cabo por procedimientos semejantes a los utilizados en la geometría Euclideana:<br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: "En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos rectos (180 grados)". <b>geometría hiperbólica</b>: En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es <i>menor</i> a dos ángulos rectos".<br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: "La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a cuatro ángulos rectos (360 grados)". <b>geometría hiperbólica</b>: "La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero hiperbólico es <i>menor</i> que cuatro ángulos rectos (360 grados)".<br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: "Las medianas de un triángulo (definida la mediana como la recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado del triángulo hacia el cual es trazada) son concurrentes (se encuentran en un mismo punto)". <b>geometría hiperbólica</b>: "Las medianas de un triángulo hiperbólico son concurrentes". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.)<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl4bD-nh_i4jv5pPGvwC_B-LRYSClT9XrYfkxm6NVcdUPn_TpRi6rqBINhxb8M2Biedei1wx-vkVJYk3qT_TmboV2pLJhXbYlGBFUvmjX_yC7-kKCx_TCJQgoMK9legQLw4BU_hWfX-XA/s1600-h/poincare_1.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116191316570122546" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl4bD-nh_i4jv5pPGvwC_B-LRYSClT9XrYfkxm6NVcdUPn_TpRi6rqBINhxb8M2Biedei1wx-vkVJYk3qT_TmboV2pLJhXbYlGBFUvmjX_yC7-kKCx_TCJQgoMK9legQLw4BU_hWfX-XA/s400/poincare_1.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<b><br />
geometría Euclideana</b>: "Las alturas de un triángulo (definida la altura como la perpendicular trazada hacia la base de un triángulo, siendo la base del triángulo el lado sobre el cual parece descansar) son concurrentes". <b>geometría hiperbólica</b>: "Las alturas de un triángulo hiperbólico son concurrentes". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.)<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisf5MkfH6SnlyZrlq2neGDl2hbc_5K_F82DLdsEEYq_X4gpqf4sb6MMbGxNhsnyXPSwxcU5sujHf6tah7UvQzGtMvTQKhHsiwa3Vbg0NPVA1eIPpojeGcmebkmEfFxbJ-Ux7_l7_EeSVc/s1600-h/poincare_2.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116192111139072322" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisf5MkfH6SnlyZrlq2neGDl2hbc_5K_F82DLdsEEYq_X4gpqf4sb6MMbGxNhsnyXPSwxcU5sujHf6tah7UvQzGtMvTQKhHsiwa3Vbg0NPVA1eIPpojeGcmebkmEfFxbJ-Ux7_l7_EeSVc/s400/poincare_2.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: "Las mediatrices de un triángulo (definida la mediatriz como la perpendicular trazada a un segmento rectilíneo en su punto medio) son concurrentes". <b>geometría hiperbólica</b>: "Las mediatrices de un triángulo son concurrentes". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.)<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEginhVoW6udY7dx6X2i5qpfQcwXV9ERd_jQPHzf83psAC0Omvq1Qlpo212xAOVhFtk4bqNw9a0gMuiRNz5FDTwcPfqR01LhB9Tnx5JE3spvCDESLrAOTorp7KXUkQkh0ljbiRHozzpXwB0/s1600-h/poincare_3.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116192682369722706" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEginhVoW6udY7dx6X2i5qpfQcwXV9ERd_jQPHzf83psAC0Omvq1Qlpo212xAOVhFtk4bqNw9a0gMuiRNz5FDTwcPfqR01LhB9Tnx5JE3spvCDESLrAOTorp7KXUkQkh0ljbiRHozzpXwB0/s400/poincare_3.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: "Las bisectrices de un triángulo (definida la bisectriz de un ángulo que partiendo de un vértice divide al ángulo en dos partes iguales) son concurrentes". <b>geometría hiperbólica</b>: "Las bisectrices de un triángulo hiperbólico son concurrentes". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.) A continuación se muestra la bisectriz de un ángulo hiperbólico:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3EgbrKXhDq233FIlpUxaJypWrT5OhnMlvf9SBCGO-52n_Lt_IOBqXto68BQzZm39LnRxuZGdoIxJJdxBOWqZYUOGx9QIkXRDQy9kpFSjmR0_LPwzXJEMQENehIj6Gxp1gG9Q7_5RXoPM/s1600-h/bisectrices_hiperbolicas_concurrentes.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116193107571485026" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3EgbrKXhDq233FIlpUxaJypWrT5OhnMlvf9SBCGO-52n_Lt_IOBqXto68BQzZm39LnRxuZGdoIxJJdxBOWqZYUOGx9QIkXRDQy9kpFSjmR0_LPwzXJEMQENehIj6Gxp1gG9Q7_5RXoPM/s400/bisectrices_hiperbolicas_concurrentes.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: "El punto en el cual se encuentran las bisectrices de un triángulo es equidistante de los tres lados y por lo tanto se puede inscribir un círculo dentro del triángulo usando dicho punto como centro". <b>geometría hiperbólica</b>: "El punto en el cual se encuentran las bisectrices de un triángulo hiperbólico es equidistante de los tres lados y por lo tanto se puede inscribir un círculo dentro del triángulo usando dicho punto como centro". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.)<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY5T1ivafHHqZJVV93ya-GftKgvYFqiCPnHEvLTlD9BY1mkq7OGtX9CTTsglvwnfknBq1Q6Zb9hQm5K7OlTeLHlJIl4ty1TzUQMZWTgSjlU_PdDBRjEhklYpsyjj4ZryybzkbiXHxoGm8/s1600-h/circulo_inscrito_en_triangulo_hiperbolico.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116193571427953010" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY5T1ivafHHqZJVV93ya-GftKgvYFqiCPnHEvLTlD9BY1mkq7OGtX9CTTsglvwnfknBq1Q6Zb9hQm5K7OlTeLHlJIl4ty1TzUQMZWTgSjlU_PdDBRjEhklYpsyjj4ZryybzkbiXHxoGm8/s400/circulo_inscrito_en_triangulo_hiperbolico.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Repasaremos ahora una definición que se había dado previamente al introducirnos en la geometría de Saccheri. En la entrada "La Primera Geometría no-Euclideana" se habló brevemente acerca del <span style="font-weight: bold;">defecto de un triángulo</span>, definido como lo que le falta a la suma de los ángulos internos de un triángulo Saccheriano para ser 180 grados. Esta definición del <span style="font-style: italic;">defecto de un triángulo</span> en la geometría de Saccheri será de importancia extrema para lo que se tratará a continuación.<br />
<br />
En la geometría plana de Euclides, al hablar acerca del área de un triángulo o de un cuadrilátero o de un paralelogramo, estamos hablando de un <span style="font-weight: bold;">número</span> que se usa para representar la cantidad de "plano" contenido dentro de una figura geométrica. En nuestra geometría Saccheriana o hiperbólica, el área de un triángulo debería ser también un número sencillo que pueda medir de alguna manera el contenido del interior del triángulo, la parte del plano contenida dentro del triángulo. Pero este número no puede ser en unidades cuadradas (metros cuadrados, centímetros cuadrados, etc.) porque los cuadrados no existen dentro de una geometría hiperbólica. Aunque hay varias definiciones tentativas que podemos dar para medir el "área hiperbólica" en el interior de un triángulo, todas adolecen de graves defectos excepto una de ellas, la que extiende el concepto de una recta infinitesimal <span style="font-style: italic;">ds</span> Euclideana hacia el universo hiperbólico, modificándolo para tomar en cuenta el "estiramiento" del espacio que ocurre conforme nos acercamos más y más a una línea límite o un punto límite en un plano hiperbólico, una definición en la cual si la distancia a una línea límite es medida por un eje <span style="font-style: italic;">y</span> entonces el infinitésimo de área hiperbólica estará dado no por un producto de los infinitésimos <span style="font-style: italic;">dx</span> y <span style="font-style: italic;">dy</span> como se acostumbra en el caso Euclideano sino por el producto de infinitésimos como <span style="font-style: italic;">dx</span><span style="font-weight: bold;">/</span><span style="font-style: italic;">y</span> y <span style="font-style: italic;">dy</span><span style="font-weight: bold;">/</span><span style="font-style: italic;">y</span> (véase el <span style="font-style: italic;">Suplemento # 2</span> relacionado con la obtención de áreas hiperbólicas usando otro modelo de plano hiperbólico conocido como el <span style="font-weight: bold;">plano-medio superior de Poincaré</span>). Se puede demostrar por aplicación directa de los elementos del cálculo infinitesimal que esta definición de área hiperbólica infinitesimal nos conduce de manera directa al siguiente resultado para el área de un triángulo hiperbólico con ángulos interiores <span style="font-style: italic;">p</span>, <span style="font-style: italic;">q</span> y <span style="font-style: italic;">r</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">S = <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> - (p + q + r)</div><br />
La presencia del número <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> en esta relación, el cual tomamos como una medida angular de 180 grados expresada en radianes, se debe a que en los procesos de integración requeridos para la obtención de esta fórmula a partir de elementos infinitesimales de área hiperbólica aparece de modo natural el número <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span>. Esta fórmula puede parecer sospechosamente similar a la definición del defecto <span style="font-weight: bold;">δ</span> de un triángulo hiperbólico. Y de hecho, ¡es lo mismo! Como la expresión puede ser obtenida formalmente a partir de los procedimientos del cálculo infinitesimal, la expresión se puede expresar como un teorema:<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Teorema</span>: <span style="font-style: italic;">El área de un triángulo hiperbólico es igual al defecto <span style="font-weight: bold;">δ</span> del triángulo</span>.<br />
<br />
De este teorema podemos deducir de inmediato que <span style="font-style: italic;">dos triángulos tienen una misma área hiperbólica si y solo si tienen la misma suma de ángulos internos</span>.<br />
<br />
Podemos fijar un sistema consistente de unidades introduciendo una constante de proporcionalidad <span style="font-style: italic;">k</span> que nos defina las unidades hiperbólicas que serán usadas como sistema de medición (metros hiperbólicos, yardas hiperbólicas, etc.), con lo cual el área de un triángulo hiperbólico <span style="font-weight: bold;">ABC</span> estará dada por:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">S</span> = <span style="font-style: italic;">k</span> <b>•</b> <span style="font-weight: bold;">δ</span>(<span style="font-weight: bold;">ABC</span>)</div><br />
De este modo, mientras que en la geometría Euclideana para medir el área interior de un triángulo hiperbólico utilizamos una dimensión propia para una superficie en unidades cuadradas, en la geometría hiperbólica tenemos que utilizar, además de la constante de proporcionalidad <span style="font-style: italic;">k</span> que nos proporciona el equivalente de nuestro "sistéma métrico decimal hiperbólico", la suma de los ángulos internos del triángulo, algo que no se necesita en la geometría Euclideana. Pero esta no es la única diferencia. Hay otra diferencia que puede resultar impactante para muchos que la tratan de asimilar por vez primera. Para simplificar la siguiente discusión, seleccionemos un sistema de unidades (hiperbólicas) tal que la constante <span style="font-style: italic;">k</span> sea (arbitrariamente) igual a 10, de modo tal que el área de un triángulo hiperbólico <span style="font-weight: bold;">ABC</span> estará dada por:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">S</span> = 10 <b>•</b> <span style="font-weight: bold;">δ</span>(<span style="font-weight: bold;">ABC</span>)</div><br />
En la geometría Euclideana, el área de un triángulo está dada por la fórmula usual del producto de la base por la altura divido entre dos (bh/2), con lo cual al ir aumentando el tamaño del triángulo el número que nos expresa el área del triángulo Euclideano también va aumentando sin tener ningún limite superior; podemos tener un triángulo de cien metros cuadrados de área, cien mil metros cuadrados de área, o mil billones de kilómetros cuadrados de área, no hay un límite superior para este número. Pero en la geometría hiperbólica, como la suma de los ángulos internos de todo triángulo siempre será menor que <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> (180) grados y ciertamente no puede ser cero, ¡las áreas de todos los triángulos hiperbólicos están limitadas a tener un valor (suponiendo un sistema de unidades en el que la constante <span style="font-style: italic;">k</span> sea 10) entre 31.415 unidades hiperbólicas (<span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> multiplicado por 10) y cero! Aquí ningún triángulo puede contener más de 31.45 unidades de área hiperbólica. Un triángulo de cien unidades hiperbólicas no puede existir en este universo. Sin embargo, este hecho aparentemente desconcertante resulta del que no hayamos ajustado nuestra forma de pensar a la nueva realidad del universo hiperbólico. Entre mayor sea el defecto de un triángulo, ciertamente mayor será el área hiperbólica que contiene, lo cual sólo se logra con triángulos cuya suma interior de ángulos sea cada vez más diferente de los 180 grados usuales de la geometría Euclideana, lo cual sólo se logra con triángulos hiperbólicos cada vez más grandes. A medida que la suma de los ángulos internos de un triángulo se va acercando al límite de 180 grados, el tamaño del triángulo hiperbólico irá creciendo desproporcionadamente hasta alcanzar dimensiones astronómicas, siempre sin llegar a los 180 grados exactos. En cambio, entre más pequeño sea un triángulo hiperbólico, tanto menor tendrá que ser para ello su defecto, lo cual implica que la suma interna de los ángulos se irá aproximando cada vez más a los 180 grados límite de la geometría Euclideana. En pocas palabras, <span style="font-weight: bold;">entre más pequeña sea una figura en el universo hiperbólico, sus propiedades se irán asemejando más y más a las propiedades que encontramos en la geometría Euclideana</span>.<br />
<br />
El número <span style="font-weight: bold;">S</span> como está definido nos dá las propiedades correctas que esperaríamos tener para una definición de área (hiperbólica). En la geometría Euclideana, si un triángulo cualquiera es subdividido por una transversal en dos partes, entonces el área del triángulo será mayor que cualquiera de las partes en que fue subdividido. Y como ya se demostró en la entrada "La Primera Geometría no-Euclideana" que el defecto de un triángulo hiperbólico es igual a la suma de los defectos de los dos subtriángulos que corresponden a una transversal dentro del triángulo, tenemos que el concepto del defecto es equivalente al concepto que tenemos del área en el plano Euclideano. Así pues, podemos hacer la siguiente comparación entre la geometría Euclideana y la geometría hiperbólica:<br />
<br />
<b>geometría Euclideana</b>: "Si los tres ángulos de un triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tres ángulos de un triángulo A'B'C;, entonces dichos triángulos son triángulos semejantes". <b>geometría hiperbólica</b>: "Si los tres ángulos de un triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tres ángulos de un triángulo A'B'C;, entonces dichos triángulos son <i>son iguales</i>". Esta conclusión es interesante. ¡En la geometría hiperbólica no existe un triángulo semejante a un triángulo dado no sea <b>igual</b> a éste! En otras palabras, no existen los triángulos semejantes, sólo los triángulos iguales. De este modo, al igual que como ocurrió con la geometría esférica, tampoco en la geometría hiperbólica existen las figuras semejantes; ello solo ocurre en la geometría plana, en la geometría Euclideana, en donde dos triángulos con ángulos internos correspondientemente iguales pueden tener áreas diferentes.<br />
<br />
Tal vez una de las diferencias más espectaculares entre la geometría Euclideana y la geometría hiperbólica la muestra el <span style="font-style: italic;">teorema de Pitágoras</span> que nos dice que en un triángulo rectángulo de lados <span style="font-weight: bold;">a</span>, <span style="font-weight: bold;">b</span> con hipotenusa <span style="font-weight: bold;">c</span>, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos <span style="font-weight: bold;">a</span> y <span style="font-weight: bold;">b</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">c² = a² + b²</span></div><br />
Se ha demostrado que el teorema de Pitágoras <span style="font-style: italic;">es equivalente al quinto postulado</span>. La demostración la llevó a cabo Scott Brodie y se puede encontrar en la siguiente dirección:<br />
<br />
http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml<br />
<br />
Puesto que el teorema de Pitágoras es equivalente al quinto postulado, la fórmula Pitagórica ya no es válida dentro de una geometría hiperbólica. Su contraparte dentro de dicha geometría es la siguiente:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-size: 130%;">cosh(c) = cosh(a) • cosh(b)</span></div><br />
Nuevamente, hace su aparición otra fórmula trigonométrica hiperbólica, el <span style="font-style: italic;">coseno hiperbólico</span> <span style="font-weight: bold;">cosh</span>. Esta expresión nos dice que, si trazamos un triángulo rectángulo dentro de un plano hiperbólico, el <span style="font-style: italic;">coseno hiperbólico</span> de la hipotenusa es igual a la suma de los <span style="font-style: italic;">cosenos hiperbólicos</span> de los catetos, en donde el <span style="font-weight: bold;">coseno hiperbólico</span> de una variable <span style="font-weight: bold;">x</span> está definido de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhErxz6_8HwOKA-Cu6sh1ou7FPLw1k-Lf2cpw5eXnTHjd6UTqIKIVjlswllvpHRfXl9IqNGbyOkbmR9PDKhG3qD70QHFVzreEnaNebyjlIh-xabINW9zjbd45TIW0icgWNrULgg5XLDdGk/s1600-h/coseno_hiperbolico.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116969770802588194" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhErxz6_8HwOKA-Cu6sh1ou7FPLw1k-Lf2cpw5eXnTHjd6UTqIKIVjlswllvpHRfXl9IqNGbyOkbmR9PDKhG3qD70QHFVzreEnaNebyjlIh-xabINW9zjbd45TIW0icgWNrULgg5XLDdGk/s400/coseno_hiperbolico.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Usando la serie de expansión de Maclaurin para el coseno hiperbólico:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJ4qmUsgYb1cy0CmSaTQBotxiyCaIAKc3S5PXI7xm3FwYUNd08xQiHuWQvvHrZRIX7FvkcOa9g85hwmKQ7LXrcoq9hjujJx7dWTDh6S7NY3Qa4-4uJUIWjep2-_k7iHN0qUyXM4VrVDHU/s1600-h/serie_maclaurin.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116832181525260802" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJ4qmUsgYb1cy0CmSaTQBotxiyCaIAKc3S5PXI7xm3FwYUNd08xQiHuWQvvHrZRIX7FvkcOa9g85hwmKQ7LXrcoq9hjujJx7dWTDh6S7NY3Qa4-4uJUIWjep2-_k7iHN0qUyXM4VrVDHU/s400/serie_maclaurin.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
podemos deducir sin problema alguno que cuando el triángulo rectángulo trazado dentro del plano hiperbólico se vuelve muy pequeño, lo cual equivale a asignarle a <span style="font-weight: bold;">a</span>, <span style="font-weight: bold;">b</span> y <span style="font-weight: bold;">c</span> valores muy pequeños, la forma hiperbólica del teorema de Pitágoras se aproxima a la forma usual de dicho teorema en la geometría Euclideana.<br />
<br />
En tres dimensiones, se puede construír una geometría hiperbólica sobre una superficie conocida como el <b>paraboloide hiperbólico</b>, la cual tiene la forma de una "silla de montar" como las que utilizan los jinetes. En la siguiente figura tenemos un triángulo dibujado sobre la superficie de un paraboloide hiperbólico así como un par de rectas "paralelas" que como podemos ver nunca se tocarán sino que cada vez se irán separando más y más con respecto a la perpendicular trazada a dichar rectas "paralelas" en donde estas alcanzaron su mayor cercanía (la perpendicular que forma divide internamente a las dos rectas hiperbólicas en dos ángulos rectos, de 90 grados):<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjctzPBlMc5IrwaxjwpVBvtDWwANfdFzT5hvEJ8wpN5n9ECf9ccC4gzZetnQcVTBnuOAUqz7EEwJQq-NTECjSCBqoZgHk3_iPWlxuLKcE1R38wkXLYBdRSr5Rkqj0xOJcgkTsQd1PmY-pg/s1600-h/paraboloide_hiperbolico.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116196281552316802" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjctzPBlMc5IrwaxjwpVBvtDWwANfdFzT5hvEJ8wpN5n9ECf9ccC4gzZetnQcVTBnuOAUqz7EEwJQq-NTECjSCBqoZgHk3_iPWlxuLKcE1R38wkXLYBdRSr5Rkqj0xOJcgkTsQd1PmY-pg/s400/paraboloide_hiperbolico.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
A continuación tenemos un resumen gráfico de las tres geometrías en las cuales tenemos al mismo triángulo trazado sobre cada una de ellas:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgur3rYUOi2DXbMY_XpUNu9-J_th9BFQZRTSmUiSWA8FsIHgxTWysxuNb_QS_NJnB-TP2B9wtLQCB39EBkxybraLOzIJ0-ARoOrde556JA4O5H819sQuTJ0KsiMXWLbwaO_IMldUO2aT7k/s1600-h/geometrias.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116197033171593618" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgur3rYUOi2DXbMY_XpUNu9-J_th9BFQZRTSmUiSWA8FsIHgxTWysxuNb_QS_NJnB-TP2B9wtLQCB39EBkxybraLOzIJ0-ARoOrde556JA4O5H819sQuTJ0KsiMXWLbwaO_IMldUO2aT7k/s400/geometrias.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
La geometría hiperbólica que hemos construído recurriendo al disco hiperbólico de Poincaré no es la única posible. Se pueden construír muchas otras geometrías hiperbólicas no-Euclideanas, entre las cuales destaca la geometría hiperbólica de Klein.<br />
<br />
Estableciendo una línea rígida de pensamiento en la manera empleada por Euclides, hoy conocida como el <span style="font-weight: bold;">método axiomático</span>, empezando con un conjunto de definiciones precisas y un conjunto de axiomas o postulados cuya "verdad" sea tan obvia que no requiera demostración (un axioma es algo que de cualquier modo no puede ser demostrado, no puede ser obtenido a partir de principios más elementales), y usando después dichos axiomas para llevar a cabo la demostración de todos los teoremas que se puedan obtener a partir de los mismos, tenemos una mecánica rigurosa, formal, que se puede extender más allá de la misma geometría a otras áreas, <span style="font-style: italic;">lo cual incluye a las mismas matemáticas</span>. Esto fue precisamente lo que hizo el matemático italiano Giuseppe Peano (el mismo que dió inicio a mucha de la notación empleada por la "matemática moderna" mejor conocida como la teoría de los conjuntos), quien muy a la manera de Euclides sentó las bases para un desarrollo axiomático de la aritmética a través de varios postulados suyos hoy conocidos como los <span style="font-weight: bold;">axiomas de Peano</span>, influyendo enormemente sobre su mayor discípulo, Bertrand Russell, quien a su vez intentó liberar para siempre a las matemáticas de la posibilidad de inconsistencias internas con su obra monumental <span style="font-style: italic;">Principia Mathemática</span>. Los axiomas de Peano que definen de manera exacta al conjunto de los números naturales (los números enteros positivos), tal y como fueron escritos en Latín por vez primera, dicen lo siguiente (compárese con la forma axiomática usada por Euclides):<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">AXIOMAS DE PEANO</span></div><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">1</span>. 1 es un número.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">2</span>. El sucesor inmediato de un número también es un número.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">3</span>. 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">4</span>. Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">5</span>. Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números.<br />
<br />
<br />
Ciertamente, estas parecen ser verdades tan "evidentes" que no parece que haya forma de deducirlas de otras verdades aún más elementales. Como a los matemáticos profesionales les gusta revestir de mucho formalismo su arte, en textos de matemáticas encontramos a los postulados de Peano enunciados de la siguiente manera (es lo mismo, pero más "sofisticado"):<br />
<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">1</span>. 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">2</span>. Si <span style="font-style: italic;">a</span> es un número natural, entonces <span style="font-style: italic;">a</span> + 1 también es un número natural, llamado el sucesor de <span style="font-style: italic;">a</span>.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">3</span>. 1 no es sucesor de ningún número natural. Es el primer elemento del conjunto.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">4</span>. Si hay dos números naturales <span style="font-style: italic;">a</span> y <span style="font-style: italic;">b</span> tales que sus sucesores son diferentes, entonces <span style="font-style: italic;">a</span> y <span style="font-style: italic;">b</span> son números naturales diferentes.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">5</span>. <span style="font-style: italic;">Axioma de inducción</span>: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.<br />
<br />
<br />
Puesto que el método axiomático, desde los tiempos de Aristóteles, es esencialmente la forma en la cual trabaja esa rama del saber humano conocida como la <span style="font-weight: bold;">lógica</span>, se atribuye a matemáticos como Peano la distinción de haber destronado a las matemáticas como rama fundamental del conocimiento, reduciéndolas a una mera aplicación rigurosa de la lógica sobre un conjunto de axiomas. Y al igual que como ocurrió con la axiomatización de la geometría, la axiomatización de la aritmética demostró que, dependiendo de los axiomas que se utilicen como punto de partida, se pueden construír varias aritméticas alternas, como la <span style="font-style: italic;">aritmética de Robinson</span> y la <span style="font-style: italic;">aritmética de Pressburger</span>. Si el mismo Euclides no desarrolló la geometría elíptica y la geometría hiperbólica, fue porque no consideró otras alternativas que no fueran su quinto postulado, ya que de haber hecho tal cosa él mismo habría descubierto lo que hoy se conoce como las geometrías no-Euclideanas, tomando en cuenta el hecho de que él mismo sentó la base axiomática para poder desarrollar las geometrías alternas. De cualquier manera, su ejemplo fue bien aprovechado por todos sus sucesores, ya que su método axiomático es precisamente lo que se emplea hoy en día para la publicación de trabajos de vanguardia en áreas avanzadas de las matemáticas contemporáneas. Y es sobre esto en lo que todos tenemos una deuda de gratitud con Euclides.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-76815170372920932312007-09-29T02:45:00.000-07:002011-04-07T10:52:41.386-07:00Capítulo V: Un Acertijo Filosófico<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<br />
Un ser viviendo dentro de un universo hiperbólico sería totalmente incapaz de percibir, únicamente a través de sus sentidos, que vive en un espacio tan curioso visto <i>desde fuera</i>. Dentro del disco de Poincaré, al irse desplazando hacia el borde del disco, se irá achicando junto con todos sus instrumentos de medición. Todo, absolutamente todo, incluyéndolo a él mismo, se irá contrayendo en la misma proporción. Si al recorrer varios miles de kilómetros dicho ser, <i>visto desde fuera del círculo de inversión por un ser superior capaz de vivir por encima de dicho universo</i>, se ha vuelto diez veces más pequeño, no lo sabrá, porque todo alrededor de él se ha vuelto diez veces más chico. Sus reglas para medir serán diez veces más pequeñas, al igual que las casas, los automóviles y los árboles a su alrededor. Según él, cree que vive en un universo perfectamente plano, en el cual los habitantes se ven <i>desde fuera</i> como se muestra a continuación:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZvn4xRXSPUcAyt8cwuZdtQub3zjP54HalhOvKBqopMGWEwKa0ycg5P096-zG5Hr4I0bPc2O4fGJ7rjbhSh86BCbB_vhqVntZho9tqGFlgEB0sFRhnE1YTuNSKDipDkCMm2W_9Rv_mBdQ/s1600-h/universo_hiperbolico.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116200327411509666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZvn4xRXSPUcAyt8cwuZdtQub3zjP54HalhOvKBqopMGWEwKa0ycg5P096-zG5Hr4I0bPc2O4fGJ7rjbhSh86BCbB_vhqVntZho9tqGFlgEB0sFRhnE1YTuNSKDipDkCMm2W_9Rv_mBdQ/s400/universo_hiperbolico.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Pero nosotros, que en cierta forma somos seres superiores a él, capaces de ver lo que él no puede ver, nos damos cuenta exacta de lo que está sucediendo. Sin embargo, hay una forma en la cual él puede darse cuenta de que vive dentro de un universo cuyo espacio no es Euclideano sino hiperbólico, y esta forma le llega no a través de los sentidos sino a través de su intelecto. Dentro de un universo hiperbólico, la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre será menor que dos ángulos rectos (180 grados). La confirmación experimental de este hecho es lo que le hará saber que vive en un universo hiperbólico. Y si la suma de los ángulos internos de un triángulo resulta ser mayor que 180 grados, entonces sabrá que vive en un universo <i>elíptico</i>. Una vieja anécdota no confirmada nos relata que Gauss, el príncipe de las matemáticas, trató de hacer precisamente esto, medir con la mayor precisión posible los ángulos internos de un enorme triángulo y sumarlos, aunque los resultados del experimento habrían sido inconclusos. Inclusive con un triángulo del tamaño de nuestro sistema solar, tal vez no se habría detectado una diferencia por su pequeñez. Este es precisamente uno de los dilemas que confrontan a la astronomía moderna. Si el Universo es un universo plano, Euclideano, entonces se extenderá en cualquier dirección hacia el infinito, lo que llamamos un <b>universo abierto</b>. Pero si el Universo, por la enorme cantidad de materia que sabemos que contiene, materia cuya tracción gravitacional puede distorsionar de manera significativa la curvatura espacial del Universo, es un universo elíptico, entonces será un universo finito, inmensamente grande pero al fin y al cabo finito, lo que llamamos un <b>universo cerrado</b>, en el cual no importando en qué dirección nos movamos siguiendo una línea recta en una nave intergaláctica capaz de mantener su curso inalterado hacia adelante, tarde o temprano regresaremos <i>por detrás</i> del punto de partida, al igual que como ocurre cuando nos desplazamos sobre la superficie de la Tierra siguiendo uno de sus meridianos.<br />
<br />
La creación del disco de Poincaré, con los habitantes del universo hiperbólico incapaces de darse cuenta a través de sus sentidos de que viven en un universo tan curioso, seguramente tuvo algo que ver con una disquisición filosófica del mismo Poincaré que se convertiría en uno de los acertijos filosóficos más famosos de todos los tiempos: el <span style="font-style: italic;">doblamiento nocturno</span>.<br />
<br />
Supongamos que durante la noche anterior, mientras todos dormíamos, todo lo que hay en el Universo duplicó su tamaño, todo lo que hay en el Universo es hoy doblemente más grande que lo que era la noche anterior. Nos preguntamos ahora: ¿habrá alguna forma en la cual podamos enterarnos de lo que sucedió? Lo primero que se nos viene a la mente es que algo tan colosal ciertamente sería fácilmente detectable, dejaría alguna marca extremadamente obvia. Pero este razonamiento se nos viene abajo cuando nos damos cuenta de que todo, absolutamente todo ha doblado de tamaño, incluyendo las reglas y las cintas métricas que usamos para medir. No podríamos utilizar nada para medir el aumento de tamaño de todo, porque los instrumentos que usamos para medir también aumentaron de tamaño en la misma proporción. No podríamos recurrir al <span style="font-style: italic;">metro patrón</span>, esa barra hecha de una aleación de platino-iridio que se conserva en un suburbio de París, porque también duplicó su tamaño. Y la nueva base para medir longitudes en el sistema métrico decimal, definida como 1,650,763.73 longitudes de onda de una luz naranja emitida en el vacío bajo una descarga eléctrica por el gas kriptón-86 (lo cual hace innecesario viajar hasta París para consultar al metro patrón) tampoco servirá de nada, porque los tubos fluorescentes que contienen al gas kriptón son el doble de grandes de lo que eran la noche anterior, al igual que los átomos del gas kriptón que contienen. Las órbitas de los electrones alrededor del núcleo de los átomos del gas kriptón han doblado de tamaño, razón por la cual la luz que emiten tiene una longitud de onda que es el doble de la que tenía la noche anterior, así que las retinas de nuestros ojos al doble de su tamaño normal seguirán viendo la luz emitida del mismo color naranja.<br />
<br />
Salimos afuera, y todo lo que hay alrededor ha duplicado también su tamaño. El carro en el que nos movemos es el doble de grande que la noche anterior, así que nos subimos al carro sin detectar lo que haya ocurrido. Las calles y las carreteras han duplicado su tamaño, así que seguiremos recorriendo las mismas distancias de siempre. Puesto que todo en el Universo ha duplicado su tamaño, se nos ocurre que al ver las estrellas del cielo durante la noche las veremos brillar con menor intensidad, puesto que ahora están mucho más alejadas de nosotros, al doble de la distancia que teníamos de ellas antes del doblamiento nocturno. Pero esto tampoco nos servirá de nada, porque nuestras retinas han aumentado de tamaño al doble y son dos veces más sensibles a la luz que nos llega de esas estrellas que ahora tienen el doble del tamaño que tenían ayer. Nada a nuestro alrededor, por lo visto, nos dará la menor pista de lo que sucedió mientras dormíamos.<br />
<br />
Desde que Poincaré pronunció la hipótesis sobre lo que vendría siendo nuestra incapacidad absoluta de darnos cuenta de lo que sucedió mientras dormíamos, ese aumento al doble en el tamaño de todo, inclusive nuestra incapacidad para poder darnos cuenta de que todo pueda estar aumentando de tamaño <span style="font-style: italic;">en estos momentos</span> mientras mis lectores están leyendo esta exposición, por varias décadas se dió por hecho de que algo tan monumental estaría por completo fuera de nuestras percepciones, inclusive el mismo Poincaré postuló que no podía hablarse de que tal cambio fuese real en el sentido de que, al estar fuera de nuestra capacidad para poder detectarlo, estaba fuera de la realidad de nuestras vidas.<br />
<br />
Sin embargo, más recientemente, han surgido filósofos que han cuestionado la idea de que un doblamiento nocturno del Universo sea indetectable. Y lo han hecho recurriendo a algo que las matemáticas en su soberbia han dejado fuera: el recurso a <span style="font-weight: bold;">la física</span> como medio para comprobar o justificar experimentalmente la realidad y las consecuencias de aquellas ideas puramente teóricas. Según estos filósofos de vanguardia, un doblamiento nocturno tendría consecuencias severas que serían fácilmente detectables de varias maneras. Entre estos filósofos podemos citar a Brian Ellis y a George Schlesinger, los cuales en trabajos suyos publicados en 1962 y en 1964 exponen las razones por las cuales un doblamiento nocturno de todo no podría ocultarse mucho tiempo de nosotros. Schlesinger, recurriendo a la ley de la gravitación universal formulada por Isaac Newton (los cuerpos se atraen en razón directa del producto de sus masas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad), afirma que tras un doblamiento nocturno la gravedad de la Tierra sería un cuarto de lo que era antes, porque el radio de la tierra habría duplicado su tamaño mientras que la masa seguiría siendo la misma. Duplicando el radio de la Tierra sin duplicar su masa nos lleva, en base a “la inversa del cuadrado de la distancia”, a que la atracción gravitacional caiga no a la mitad sino a la cuarta parte. De repente, todos nosotros nos sentiríamos mucho más ligeros que antes, como si estuviésemos caminando en la superficie de la Luna.<br />
<br />
Y habría otras formas de medir el doblamiento nocturno. Aunque el cambio no sería detectable mediante el uso de una balanza, ya que la tracción gravitacional en ambos brazos de la balanza disminuiría idénticamente, el cambio sería detectable usando barómetros de mercurio como los que se usaban en otros tiempos para medir la presión atmosférica. En dichos barómetros, la altura del mercurio en la columna es lo que nos mide la presión, por eso cuando decimos que al nivel del mar la presión atmosférica es de 760 milímetros de mercurio lo que en realidad estamos diciendo es que en una columna de mercurio éste llegará hasta una altura de 760 milímetros. Esta altura depende de tres factores: la presión del aire, la densidad del mercurio, y la fuerza de la gravedad. En condiciones normales la presión atmosférica varía muy poco. La presión atmosférica sería ocho veces menor después del doblamiento nocturno, puesto que todos los volúmenes aumentan en razón al cubo de la distancia. La densidad del mercurio sería también ocho veces mayor, de modo tal que estos efectos se cancelarían mutuamente. Pero como la gravedad sería la cuarta parte de lo que era antes, la columna de mercurio ascendería a una altura cuatro veces mayor de lo que normalmente ascendería, lo cual en nuestros barómetros que miden el doble de lo que medían antes sería detectado como una altura <span style="font-style: italic;">al doble</span> de la altura que alcanzaban la noche anterior. De este modo, aquí no solo tenemos una manera de confirmar que hubo un incremento nocturno en el tamaño de todo, sino inclusive <span style="font-style: italic;">la magnitud</span> del del incremento.<br />
<br />
Aplicando el doblamiento nocturno a otras situaciones, Schlesinger llegó a conclusiones igualmente interesantes. Específicamente, demostró que un reloj de péndulo mediría cualquier tiempo a una cantidad mayor por un factor de 1.4142 (la raíz cuadrada de dos). Suponiendo que otras leyes fundamentales de la física permanecen inalteradas, el doblamiento nocturno manifestaría también allí sus efectos. Una de ellas es la <span style="font-weight: bold;">ley de la conservación del momento angular</span>. Suponiendo que tras el doblamiento nocturno sigue habiendo una conservación del momento angular, entonces la rotación de la Tierra disminuiría y los días serían más largos de lo que eran antes. Otra ley fundamental que hasta ahora permanece inalterada es la <span style="font-weight: bold;">ley de la conservación de la energía</span>, la cual podemos aplicar al Universo entero tanto antes como después de un doblamiento nocturno. En la teoría planetaria de Niels Bohr sobre el átomo, se considera que los electrones están girando alrededor del núcleo, siendo mantenidos en órbita por la atracción eléctrica que Bohr suponía que hay entre la carga negativa (-) de los electrones girando en torno al núcleo con carga positiva (+). Un doblamiento nocturno de todo lo que hay en el Universo requeriría que en los átomos de hidrógeno (el elemento más abundante del Universo) los electrones girando en torno al átomo estén ahora a una distancia mayor del núcleo atómico por un factor de 2. Llevar a un electrón de su órbita a una órbita nueva más alejada del núcleo requiere suministrar energía para llevar a cabo el proceso de separación (en la física de Bohr, esta energía es suministrada por un <span style="font-style: italic;">quantum</span> de energía luminosa que es absorbida por el átomo, lo cual permite al electrón "saltar" hacia una órbita más alejada). Para que todos los átomos de hidrógeno del Universo (así como los demás átomos de todos los demás elementos que están en los planetas, asteroides y galaxias) midan el doble de lo que medían ayer, se necesitará suministrar una cantidad prodigiosa de energía, la cual tiene que salir de algún lado para que se pueda seguir cumpliendo el principio de la conservación de la energía. Esto vendría a expensas de <span style="font-style: italic;">un enfriamiento del Universo</span>.<br />
<br />
El doblamiento nocturno del Universo traería tantas consecuencias sobre tantos fenómenos físicos, que sería imposible no poder detectarlo a través de nuestros sentidos. Sería el evento mejor confirmado en la historia del hombre.<br />
<br />
Volviendo a la geometría Euclideana y a las geometrías no-Euclideanas, aunque estas geometrías se pueden construír de manera completamente axiomática en un pizarrón, sin salir para nada fuera de casa, sin ver lo que ocurre afuera, como algo desconectado de la realidad física de la Naturaleza que nos rodea, el acertijo filosófico legado por Poincaré y la forma en que ha sido resuelto nos señala que la física, por mucho que les repugne a muchos matemáticos la idea, tal vez sea parte inseparable de lo que las matemáticas puedan ser capaces de describir en relación al mundo real. El mismo Einstein incurrió en un yerro cuando creyó que todo podía ser deducido sin llevar a cabo experimento alguno (una anécdota famosa nos relata que cuando alguien le preguntó a Einstein en dónde estaba su laboratorio, sacó la pluma de su solapa y señalando hacia ella dijo: “Aquí”). Al hacer tal cosa, al cerrar la puerta, Einstein se privó a sí mismo de muchas importantes contribuciones que podría haber llevado a cabo sobre todo en el área de la mecánica cuántica moderna, con la cual mantuvo un conflicto personal hasta el fin de sus días.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-59443371786472017982007-09-29T02:30:00.000-07:002011-04-07T11:13:02.474-07:00Capítulo VI: La Nueva Geometría Riemanniana<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<br />
Bernhard Riemann (1826-1866) estaba interesado no sólo en espacios planos de dos dimensiones en donde viven el triángulo y el círculo y en los espacios de tres dimensiones en donde viven el cubo y la esfera, e inclusive en los espacios matemáticos de <b>cuatro dimensiones</b> (difíciles de visualizar pero factibles de definir y manipular matemáticamente), sino además estaba interesado en la caracterización mucho más general de espacios n-dimensionales, lo cual hace la metodología Riemanniana mucho más universal que los trabajos previamente publicados.<br />
<br />
Su contribución principal está en su exposición “Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen” (Sobre las Hipótesis detrás de los Fundamentos de la Geometría), conferencia magistral impartida en 1854 a petición del mismo Gauss, en la cual abandona la metodología Euclideana de basar todas las demostraciones sobre las cuales se usa la regla y el compás, redefiniendo a la geometría como el estudio de <b>cartas</b> (<i>manifolds</i>), espacios acotados (<span style="font-style: italic;">bounded</span>) y no-acotados (<i>unbounded</i>) capaces de contener cualquier número de dimensiones, junto con un sistema de coordenadas, y una <b>métrica</b> que define la menor distancia entre dos puntos. En la geometría Euclideana tridimensional, la métrica, antes de que llegara Riemann, estaba inspirada en la definición de la longitud de un infinitésimo de línea <i>ds</i> mediante el sistema de coordenadas Cartesianas de línea de la manera siguiente:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">(ds)² = (dx)²+(dy)²+(dz)²</span></div><br />
que viene siendo el equivalente (infinitesimal) del Teorema de Pitágoras. Pero Riemann generaliza el concepto de longitud a través de sus cartas, y esas “cartas” son lo que define completamente al espacio, sin ningún marco externo de referencia. Podemos llamarlo “geometría diferencial <i>llevada al extremo</i>”.<br />
<br />
Antes de continuar hablando acerca de la geometría generalizada desarrollada por Riemann, es importante hacer una mención somera sobre esa rama de las matemáticas cuyos principios fueron tomados primero por Gauss y después por Riemann para ser ampliados de manera espectacular: la <span style="font-weight: bold;">geometría diferencial</span>. Cuando esta materia empezó a tomar forma, se tuvo que empezar con el estudio de algo más sencillo antes de que esta nueva materia de estudio fuera generalizada a cosas más elaboradas. Y en este caso, se tuvo que comenzar con el estudio de las curvas antes de escalar al estudio de las superficies.<br />
<br />
Previamente, en la geometría analítica inventada por Descartes combinando la geometría Euclideana y el álgebra, el concepto de una línea curva capaz de salir fuera del plano hacia tres dimensiones (conocida como <span style="font-style: italic;">curva alabeada</span>) era algo que a través de la geometría analítica se acostumbraba describir haciendo alguna referencia <span style="font-style: italic;">externa</span> a la curva, y al decir externa nos estamos refiriendo a un sistema de coordenadas (como las coordenadas rectangulares cartesianas con ejes <span style="font-weight: bold;">x</span>, <span style="font-weight: bold;">y</span> y <span style="font-weight: bold;">z</span>, o las coordenadas polares, siempre referidas a un punto de origen <span style="font-weight: bold;">O</span><span style="font-style: italic;"> externo</span> a la curva que se está describiendo). Por ejemplo, para describir una curva helicoidal (una curva en el espacio con forma de resorte) a través de un sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones, la imagen mental que se tiene de dicha descripción es la siguiente:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxU438-cne6do0mXQmoULj-K9p20JV9J3uLv5qi02n_X3zOTetjY-K1C9xQX2esZzLb_B_nPPUHSq8DiQdMM_f_icQW0RGvq1dpDnMbG9qSdd9VapE7foIW8kHJIw0zUnBHgB9uKkv3TY/s1600-h/helicoidal.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117684174187768530" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjxU438-cne6do0mXQmoULj-K9p20JV9J3uLv5qi02n_X3zOTetjY-K1C9xQX2esZzLb_B_nPPUHSq8DiQdMM_f_icQW0RGvq1dpDnMbG9qSdd9VapE7foIW8kHJIw0zUnBHgB9uKkv3TY/s400/helicoidal.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
cuyo trazo en tres dimensiones se obtiene mediante un sistema de ecuaciones como el siguiente conjunto de <span style="font-style: italic;">ecuaciones paramétricas</span>:<br />
<blockquote style="font-weight: bold;">y = Rcos(t)<br />
<br />
z = Rsen(t)<br />
<br />
x = t</blockquote>(Dando varios valores a la variable <span style="font-weight: bold;">t</span>, mis lectores pueden comprobar usando un sistema de coordenadas tridimensional (<span style="font-weight: bold;">x</span>, <span style="font-weight: bold;">y</span>, <span style="font-weight: bold;">z</span>) que estas ecuaciones efectivamente van trazando una curva helicoidal.)<br />
<br />
Pero al igual que Euclides que no necesitó de la geometría analítica para poder desarrollar su geometría plana (en sus tiempos no existía el álgebra y ni siquiera se había inventado el cero), no pasó mucho tiempo para que los matemáticos se dieran cuenta de que una curva podía describirse <span style="font-style: italic;">a sí misma</span> en base a las propiedades <span style="font-weight: bold;">locales</span> de la curva, sin tener que recurrir a una referencia externa. Ello supone que una hormiga, caminando a lo largo de la curva y midiendo cuidadosamente los cambios que va encontrando a lo largo de su recorrido, sin saber nada sobre la existencia de un sistema externo de coordenadas rectangulares, pueda descubrir ella sola las propiedades de la curva. Puesto que aquí lo que importa son los <span style="font-style: italic;">cambios</span> que vaya experimentando la curva, en especial sus cambios infinitesimales al ir avanzando la hormiga en incrementos diferenciales de arco <span style="font-style: italic;">ds</span> a lo largo de la curva, estamos hablando ya de los inicios de una geometría basada en las herramientas del cálculo diferencial (infinitesimal); en otras palabras, una <span style="font-weight: bold;">geometría diferencial</span>. De este modo, si al concepto de la <span style="font-style: italic;">curvatura de una línea curva</span> en un punto dado de dicha línea (definido como la inversa del radio de la curva en dicho punto) le agregamos el concepto de la <span style="font-weight: bold;">torsión</span> (con el cual admitimos curvas que pueden salir fuera del plano Euclideano saltando hacia el espacio tridimensional), e independizamos los conceptos de curvatura y torsión de la necesidad de tener que contar con una referencia externa, entonces la torsión y la curvatura nos pueden proporcionar toda la información necesaria para poder describir la curva sin necesidad de referencias externas. Esto fue descubierto independientemente por los matemáticos Jean Frédéric Frenet (en 1847) y Joseph Alfred Serret (en 1851), lo cual está inmortalizado en las <span style="font-style: italic;">relaciones Frenet-Serret</span>:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjV5J7hdsCjbV4JJUSIV-xwz3E9c63RsWPqNQxZgXAbB-DHFNdITy_7TrFzHjR02Iu_rWbSAg4x_jm-E234VJwgkdaeRqI2cQ7M1w50AVT05zQ21wHU12TOzXNOIc7U3XXgoYPnay13wS4/s1600-h/formulas_frenet_serret.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117686983096380130" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjV5J7hdsCjbV4JJUSIV-xwz3E9c63RsWPqNQxZgXAbB-DHFNdITy_7TrFzHjR02Iu_rWbSAg4x_jm-E234VJwgkdaeRqI2cQ7M1w50AVT05zQ21wHU12TOzXNOIc7U3XXgoYPnay13wS4/s400/formulas_frenet_serret.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
que nos permiten anexar a lo largo de una curva un trío (o <span style="font-style: italic;">tríada</span>) móvil de tres vectores (un vector <span style="font-style: italic;">tangencial</span> a la curva que siempre apunta a lo largo de la misma, el vector <span style="font-weight: bold;">T</span>; un vector <span style="font-style: italic;">normal</span> a la curva que siempre apunta hacia el centro hipotético hacia el cual se está desviando la curva, el vector <span style="font-weight: bold;">N</span>; y un vector <span style="font-weight: bold;">B</span> que siempre es perpendicular a los vectores <span style="font-weight: bold;">T</span> y <span style="font-weight: bold;">N</span>). De este modo, en la nueva descripción de la curva helicoidal:<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc5_55X5w3KgdiGKLZQrOaPD5_6a8B_4xoHcI6IlQ5Dh0LTDugHDGAYZJNb7nEasg1NGwyzyr5VFZxTXckYbPGWJwVC1Fa5sv0HcQz9D0QdAay4IhLiczDMRFTanhs_2TN82nlkVNAnT8/s1600-h/vectores_moviles.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117688602299050738" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhc5_55X5w3KgdiGKLZQrOaPD5_6a8B_4xoHcI6IlQ5Dh0LTDugHDGAYZJNb7nEasg1NGwyzyr5VFZxTXckYbPGWJwVC1Fa5sv0HcQz9D0QdAay4IhLiczDMRFTanhs_2TN82nlkVNAnT8/s400/vectores_moviles.png" style="cursor: pointer;" /></a></div>no necesitamos de ecuaciones algebraicas paramétricas para describir la curva. Todo lo que necesitamos es conocer la curvatura y la torsión de la curva, y esto es algo que se puede determinar <span style="font-style: italic;">localmente</span>, sin referencia a un sistema de coordenadas externas. Como podemos ver en las fórmulas de Frenet-Serret, la curvatura y la torsión determinan completamente la relación que guardan entre sí los tres vectores <span style="font-weight: bold;">T</span>, <span style="font-weight: bold;">N</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span>. Otra cosa que resalta de inmediato en las fórmulas de Frenet-Serret es que las tres derivadas en el lado izquierdo de las ecuaciones, d<span style="font-weight: bold;">T</span>/ds, d<span style="font-weight: bold;">N</span>/ds y d<span style="font-weight: bold;">B</span>/ds, (esto debe resultar familiar para quienes están familiarizados con el cálculo diferencial que se estudia en los últimos semestres de las escuelas preparatorias o los primeros semestres en una universidad) no están tomadas con respecto a un sistema de referencia externo sino con respecto a un elemento diferencial (infinitesimal) de arco <span style="font-style: italic;">ds</span> <span style="font-weight: bold;">de la misma curva</span>. Y otra cosa que resalta de inmediato es que para definir las tres ecuaciones Frenet-Serret necesitamos conocer únicamente dos parámetros: la curvatura y la torsión de la línea que se está describiendo, estos dos valores determinan <span style="font-style: italic;">localmente</span>, por sí solos, todas las propiedades de la curva. El contraste de los resultados obtenidos entre la geometría analítica y la geometría diferencial puede resultar instructivo, como se muestra a continuación:<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">La recta, según la geometría analítica</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">y = mx + b</div><br />
<span style="font-weight: bold;">La recta, según la geometría diferencial</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">Curvatura =<span style="font-weight: bold;"></span> 0<br />
<br />
Torsión = 0</div><br />
Esto nos dice simplemente que la recta es una línea <span style="font-style: italic;">sin curvatura ni torsión</span>, sin necesidad de tener que hacer referencia alguna a las variables <span style="font-weight: bold;">x</span> y <span style="font-weight: bold;">y</span> de las coordenadas cartesianas. (Otra forma de verlo, tomando en cuenta que la curvatura se define como el inverso del radio de curvatura, es suponiendo a una línea recta como un segmento de una circunferencia cuyo radio de curvatura es infinitamente grande, con lo cual efectivamente se transforma en una línea recta.)<br />
<br />
Ahora veamos la curva más sencilla de todas:<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">La circunferencia, según la geometría analítica</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">x² + y² = R²</div><br />
<span style="font-weight: bold;">La circunferencia, según la geometría diferencial</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">Curvatura = 1/R<br />
<br />
Torsión = 0</div><br />
Esto nos dice que una circunferencia es una figura geométrica cuya curvatura es constante y que está confinada al plano de dos dimensiones (ya que su torsión es cero y por lo tanto no es una curva alabeada).<br />
<br />
Veamos otro ejemplo:<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Una curva helicoidal, según la geometría analítica</span>:<br />
<blockquote>x = 5cos(t)<br />
<br />
y = 5sen(t)<br />
<br />
z = t</blockquote><span style="font-weight: bold;">Una curva helicoidal, según la geometría diferencial</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">Curvatura = 0.5<br />
<br />
Torsion = 2.5</div><br />
Como puede verse, la descripción de una curva helicoidal por medio de la geometría diferencial se lleva a cabo utilizando no un conjunto de tres ecuaciones algebraicas, sino simplemente dos números, los cuales nos dicen que se trata de una curva alabeada que se sale de un plano (por el hecho de tener una torsión diferente de cero), la cual de no poseer una torsión sería simplemente una circunferencia con una curvatura constante de 0.5 (o, lo que es lo mismo, un radio de curvatura de 2 unidades, al estar la curvatura definida como el inverso del radio de curvatura). Entre mayor sea la torsión de la curva helicoidal, más "estirado" estará el resorte que asemeja.<br />
<br />
Tanto la geometría analítica como la geometría diferencial describen lo mismo, pero de maneras diferentes; la primera siempre lo hace haciendo uso de una referencia externa (las coordenadas cartesianas o las coordenadas polares, ambas con un punto de origen) mientras que la segunda lo hace sin referencia alguna a una referencia externa.<br />
<br />
Naturalmente, no hay razón por la cual tengamos que limitar la geometría diferencial al estudio de las curvas espaciales. La podemos extender al estudio de las superficies. Y así como hablamos de la curvatura de una línea, también podemos hablar de la <span style="font-style: italic;">curvatura de una superficie</span>; la única dificultad estribaba en definirla de modo tal que la definición fuese precisa y útil. Es así como nació la idea central detrás del concepto de la <span style="font-weight: bold;">curvatura Gaussiana</span>. Riemann fue todavía más lejos que Gauss, y extendió el concepto de la curvatura Gaussiana de una superficie hacia un espacio matemático de <span style="font-style: italic;">cualquier número de dimensiones</span>, y lo hizo de modo tal que fuese posible adaptarlo no sólo a la geometría Euclideana sino inclusive a las geometrías no-Euclideanas.<br />
<br />
Usando como recurso intermedio la variable compleja<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-style: italic;">z</span> = <span style="font-style: italic;">x</span> +<span style="font-style: italic;"> iy</span></div><br />
en donde <span style="font-style: italic;">x</span> y <span style="font-style: italic;">y</span> son variables de números reales y el número<span style="font-style: italic;"> i</span> es igual a la raíz cuadrada de -1, la <span style="font-weight: bold;">métrica de Reimann</span> para el disco de Poincaré que hemos visto previamente resulta ser (la demostración no es difícil pero requiere del uso de derivadas parciales cuyo uso tal vez sea desconocido por la mayoría de los lectores, razón por la cual es omitida):<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixEq7FbzBjwihGmFyJNnJYdeo1eCPDqXpB-Q41bZiXlb13KdoMgGmwBYC16pIQRPECY0PCFHLHShQo2_nsSpV2EBGC4tNjLPWsUuzNaXN0cfz99lj1CsByLkSQaQagTpYaEK7dc6HTWt8/s1600/metrica+de+Riemann+para+disco+de+Poincare.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixEq7FbzBjwihGmFyJNnJYdeo1eCPDqXpB-Q41bZiXlb13KdoMgGmwBYC16pIQRPECY0PCFHLHShQo2_nsSpV2EBGC4tNjLPWsUuzNaXN0cfz99lj1CsByLkSQaQagTpYaEK7dc6HTWt8/s1600/metrica+de+Riemann+para+disco+de+Poincare.png" /></a></div><br />
Obsérvese que para<br />
<br />
<div style="text-align: center;">x² + y² = 1</div><br />
que correspondería al borde del disco unitario (de radio = 1) de Poincaré, la métrica <span style="font-style: italic;">ds</span> se vuelve infinitamente grande (o, usando un término más agradable para los matemáticos, <span style="font-style: italic;">indefinida</span>), lo cual concuerda con el hecho de que el borde del círculo es la línea límite que representa el infinito dentro del disco de inversión.<br />
<br />
La métrica es lo que nos dice<i> todo </i>lo que queremos saber acerca del espacio que estamos estudiando. La métrica nos dice de inmediato si el espacio es Euclideano o no-Euclideano, todo lo que tenemos que hacer es calcular la curvatura de la superficie, y si la superficie tiene una curvatura de cero, el espacio es Euclideano. Ejemplos de ello son el espacio Euclideano tradicional de dos dimensiones:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">ds² = dx² + dy²</span></div><br />
o el espacio Euclideano de tres dimensiones<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">ds² = dx² + dy² + dz²</span></div><br />
o el espacio de cuatro dimensiones estudiado en la Teoría <span style="font-style: italic;">Especial</span> de la Relatividad:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">ds² = dx² + dy² + dz² - c²t²</span></div><br />
en donde el <i>espacio-tiempo</i> Einsteniano no exhibe curvatura superficial alguna. Es en la Teoría <span style="font-style: italic;">General</span> de la Relatividad en donde este espacio de cuatro dimensiones deja de tener una curvatura de cero debido a la presencia de masa-energía que introduce una curvatura que puede ser positiva o negativa, lo cual nos lo dice la métrica Riemanniana.<br />
<br />
En general, para un espacio de tres dimensiones, la <span style="font-weight: bold;">métrica de Riemann</span> para medir la distancia (infinitesimal) entre dos puntos es la siguiente:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX06J_FaZuJ8-ruZ7xXay7LoJEd2yQMF7gjuToq5-Jb4WZb2YTvQODLJuhU77vrNdQ9jXU2p-IqlcjC68YMeXbao_Qro-z2Ybyo_Sf0GHWbui0P4JjEYuC8iIzgf8QhVckrm8hRAT6C5Q/s1600/metrica+de+Riemann+tres+dimensiones.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX06J_FaZuJ8-ruZ7xXay7LoJEd2yQMF7gjuToq5-Jb4WZb2YTvQODLJuhU77vrNdQ9jXU2p-IqlcjC68YMeXbao_Qro-z2Ybyo_Sf0GHWbui0P4JjEYuC8iIzgf8QhVckrm8hRAT6C5Q/s1600/metrica+de+Riemann+tres+dimensiones.png" /></a></div><br />
en donde los diversos coeficientes <b><i>g</i></b> pueden constantes e inclusive funciones de las variables (<b>x</b>, <b>y</b>, <b>z)</b>. La extensión hacia espacios con un mayor número de dimensiones se lleva a cabo de la misma manera.<br />
<br />
Así, la curvatura del espacio, para la cual Riemann también dió una definición, queda definida por completo por las propiedades intrínsecas de las cartas en cualquier tipo de espacio. En esta nueva definición de la geometría, la geometría queda reducida a conjuntos de <b>n-plas</b> (<i>n-tuples</i>) ordenadas que se combinan de acuerdo con ciertas reglas. Más importante aún es el hecho de que con la <b>curvatura Riemanniana</b>, la geometría Euclideana tradicional es el espacio definido por una curvatura Riemanniana constante de cero, mientras que la geometría esférica está definida por una curvatura Riemanniana de +1, entanto que la geometría hiperbólica queda definida mediante una curvatura Riemanniana de -1. Esto marca el inicio de una nueva geometría mucho más general que la de Euclides, ya que incluye todas las geometrías posibles, razón por la cual a Riemann se le conoce como “el nuevo Euclides”.<br />
<br />
Si en la métrica de Riemanna para un espacio de tres dimensiones hacemos<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3YU5HAFsTw_qFF1wS_Puh5YrlfRhSO3D5N9O1DM6Ut4Si6L_FVuiWFE6egwJJ1Dlm0WKEsu6o7D6D9Zq2vtlFbYPwPIqEgBCW4z5VaBZ76lChRGZinq-kK6BQ9HATzxw8BCXg0inbBnI/s1600-h/condiciones.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117210014093257394" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3YU5HAFsTw_qFF1wS_Puh5YrlfRhSO3D5N9O1DM6Ut4Si6L_FVuiWFE6egwJJ1Dlm0WKEsu6o7D6D9Zq2vtlFbYPwPIqEgBCW4z5VaBZ76lChRGZinq-kK6BQ9HATzxw8BCXg0inbBnI/s400/condiciones.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
y todos los demás coeficientes cero, entonces dicha métrica se reduce a:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">(ds)² = (dx)²+(dy)²+(dz)²</span></div><br />
o sea, la fórmula para medir la distancia (infinitesimal) <i>ds</i> a lo largo de una línea en un espacio Euclideano (sin curvatura) tridimensional.<br />
<br />
La métrica de Riemann puede ser extendida cómodamente sin problema alguno hacia un espacio de <b>cuatro dimensiones</b>, en cuyo caso la expresión para (<i>ds</i>)² tendrá 16 términos en lugar de los nueve que vimos arriba. A continuación se presenta dicha métrica:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggWHdzKUF7y5J-9lncCV8Qzddzm8nCDKJNnOW3wOCT-i10AL7PAtke3MSu7c-tBJqJq1Gvr1eSU0omXHl6Xhim6cD2noYaTLaUArsCmInUGZ4uKF2-kjfMgSt3SnzUWy2b30O5LA4QyPw/s1600-h/metrica_generalizada_4_dimensiones.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116206928776243650" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEggWHdzKUF7y5J-9lncCV8Qzddzm8nCDKJNnOW3wOCT-i10AL7PAtke3MSu7c-tBJqJq1Gvr1eSU0omXHl6Xhim6cD2noYaTLaUArsCmInUGZ4uKF2-kjfMgSt3SnzUWy2b30O5LA4QyPw/s400/metrica_generalizada_4_dimensiones.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<i>Y resulta que es precisamente esta métrica Riemanniana en un espacio generalizado de cuatro dimensiones, el cual puede ser plano o curvo, la que Einstein utilizó para construír su Teoría General de la Relatividad</i>.<br />
<br />
En general, la métrica para cualquier número de dimensiones se representa de una manera mucho más compacta y más fácil de recordar, usando la convención Einsteniana de los <i>índices repetidos</i> de acuerdo con la cual, si en una expresión abreviada de esta manera, aparece un mismo índice repetido dos o más veces, entonces se sobreentiende que hay que llevar a cabo una sumación sobre dicho índice:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEo-DieLn0dKi6IJVRS-NuQnQ2fYI8L8Y9U_GW-VfVzhrBgEQPde2cgVgtNbemhYngheRiR8sAR0uraKpGSSEDBX32arOiswtl86Si_Nh-LHOr2GzaREVeQKlI1l1RlGcJyugCVrfVVu0/s1600-h/metrica_generalizada.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116207272373627346" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEo-DieLn0dKi6IJVRS-NuQnQ2fYI8L8Y9U_GW-VfVzhrBgEQPde2cgVgtNbemhYngheRiR8sAR0uraKpGSSEDBX32arOiswtl86Si_Nh-LHOr2GzaREVeQKlI1l1RlGcJyugCVrfVVu0/s400/metrica_generalizada.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
A manera de ejemplo, para un espacio de cuatro dimensiones, la expansión sobre el subíndice <b>a</b> que aparece repetido dos veces nos resulta en los siguientes cuatro términos:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH84uLcV_bbTqUvO5eppmUmu1UDjexIetWZjgkjOwkbW7Z6P_qshP2B4R-pqqjSDVN5Zc8I5gYej0Omm7pcTfG7AhnG9tQca89LtX5jvaHSNjRKMwwev3OtAQ2CSNvhZ3F_7LQELJLvnw/s1600-h/convencion_indices_repetidos.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5116207877964016098" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiH84uLcV_bbTqUvO5eppmUmu1UDjexIetWZjgkjOwkbW7Z6P_qshP2B4R-pqqjSDVN5Zc8I5gYej0Omm7pcTfG7AhnG9tQca89LtX5jvaHSNjRKMwwev3OtAQ2CSNvhZ3F_7LQELJLvnw/s400/convencion_indices_repetidos.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Lo que hizo Riemann fue algo extraordinario. Construyó una forma totalmente nueva de geometría generalizada, la cual incluye todas las geometrías posibles (Euclideana, elíptica, hiperbólica), y nos dejó una manera (su “métrica”) para medir distancias dentro de las variedades infinitas ofrecidas por su geometría que es consistente con las métricas utilizadas anteriormente, y nos dió la manera de saber, a través de su definición de curvatura (el <b>tensor de curvatura de Riemann</b>), sin necesidad de tener que andar construyendo figuras y diagramas, si una geometría especificada por ciertas relaciones es Euclideana, elíptica, o hiperbólica. El aspecto negativo es que, para lograr este triunfo de generalización, las matemáticas requeridas se vuelven necesariamente complejas (un estudio a fondo sobre este tema requeriría entrar en detalle a un tópico conocido como el <span style="font-style: italic;">cálculo tensorial</span>, aunque en el enfoque moderno se ha reemplazado al cálculo tensorial por algo más actual conocido como el <span style="font-weight: bold;">cálculo exterior</span> o el<span style="font-style: italic;"> cálculo de las formas diferenciales</span> a través de la definición del “producto cuña” o <span style="font-style: italic;">wedge product</span> que trae aparejada una colección de axiomas sobre los que se desarrolla dicho tópico). El incremento en la complejidad traída por la nueva geometría Riemanniana es inevitable. Este es el precio que hay que pagar cuando se dá un salto de esta naturaleza. Pero considerando el hecho de que la geometría Riemanniana sentó las bases para que Einstein, invocando el concepto de los espacios curvos en cuatro dimensiones, pudiera desarrollar su Teoría General de la Relatividad (frecuentemente llamada <i>geometrodinámica</i> por ser esencialmente una <span style="font-weight: bold;">teoría geométrica de la gravedad</span>), la cual ha predicho correctamente entre otras cosa la existencia de los hoyos negros, los “lentes gravitacionales”, y la expansión del Universo, el precio pagado por la complejidad de la geometría Riemanniana resulta más que justo.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-74668414100303310942007-09-29T02:00:00.000-07:002011-01-31T14:14:54.096-08:00Capítulo VII: ¿Cuál geometría es la correcta?<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<br />
Esta es la parte más difícil de todas.<br />
<br />
Por años se nos ha enseñado que una afirmación no puede ser falsa y verdadera al mismo tiempo. No hay nada que sea medianamente falso y medianamente verdadero a la vez, o la proposición es totalmente falsa o es totalmente verdadera. Esta "verdad evidente" es conocida dentro de la lógica como "la ley del medio excluído".<br />
<br />
La geometría Euclideana nos dice que por un punto exterior a una recta dada sólo es posible trazar una paralela a dicha recta.<br />
<br />
Pero la geometría elíptica, de la cual la geometría esférica es un caso especial, nos dice que simple y sencillamente no es posible trazar ni siquiera una paralela a otra recta por un punto exterior a dicha recta.<br />
<br />
Por su parte, la geometría hiperbólica nos dice que no sólo es posible trazar una paralela a una recta por un punto exterior a la misma, sino que inclusive es posible trazar más de una recta paralela a otra recta dada a través de un punto exterior a la misma.<br />
<br />
Si en el universo en que vivimos solo una de las geometrías puede ser la correcta, lo cual haría a las demás geometrías falsas, entonces ¿cuál de todas es la geometría verdadera? ¿O será posible que todas sean igualmente ciertas en el universo en el que vivimos? ¿Será posible que tres enunciados contradictorios sean sin embargo verdaderos a la vez?<br />
<br />
Desafortunadamente, nuestras experiencias cotidianas no nos sirven de nada para extender tranquilamente nuestros conocimientos hacia cosas que tienen que ver con el infinito. Una y otra vez, empezando por las ilusiones ópticas con las cuales nuestra vista puede ser engañada fácilmente, y pasando por los sofismas de la antigua Grecia (como la célebre paradoja de Aquiles y la tortuga) con los cuales partiendo de cosas ciertas se puede llegar a conclusiones erróneas, nuestra intuición ha demostrado ser muy mala consejera para descubrir la realidad de las cosas. Y si en algo nos puede fallar nuestra intuición es precisamente en tratar de sacar conclusiones precipitadas sobre algo que tenga que ver con geometrías no-Euclideanas. Un ejemplo comparativo de esto lo podemos exponer considerando una situación en la que dos pulgas caminando sobre una superficie empiezan a desplazarse al mismo tiempo siguiendo cada una de ellas una ruta perfectamente "paralela" con respecto a la otra. Supóngase que nuestras pulgas poseen instrumentos de medición increíblemente sofisticados con los cuales al comenzar a caminar lo hacen empezando sus recorridos al mismo tiempo y con una desviación inicial exacta de cero grados la una con respecto a la otra. Y supóngase que siempre marcharán hacia adelante siguiendo una trayectoria perfectamente "recta", lo más recta que se pueda concebir. Cada una de ellas jurará por lo que le sea más sagrado que se está moviendo "hacia adelante" sin desviarse ni siquiera una milésima de grado de lo que parece ser una trayectoria rectilínea. Si ambas inician su jornada en una superficie perfectamente plana, en una superficie <span style="font-style: italic;">Euclideana</span> en la cual se cumple el quinto postulado de Euclides, entonces las pulgas al ir caminando y al ir manteniendo su trayectoria lo más derecha posible ni se acercarán ni se separarán sino que mantendrán todo el tiempo la misma distancia la una con respecto a la otra. Pero si la superficie sobre la que se mueven es una superficie <span style="font-style: italic;">curva</span>, con una curvatura que ellas no alcanzan a percibir por tratarse de una curvatura <span style="font-style: italic;">en tercera dimensión</span>, entonces se irán separando o se irán acercando según la superficie sea elíptica (como en el caso de una pelota de beisbol) o hiperbólica:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyB1DwUbq1QW6umqd565w5QEO4MvAt9gqiNQd-trbeHNJfNn_chOp3uLGjFt6gBgWgN0coDEcGEoOPt1c4L0ux-vvyjVhVmawScFKvilONKVk_q2D28uctjaJolWN3bww2CG-b7F99_q0/s1600-h/geometrias_comparadas.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5133700982910970994" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgyB1DwUbq1QW6umqd565w5QEO4MvAt9gqiNQd-trbeHNJfNn_chOp3uLGjFt6gBgWgN0coDEcGEoOPt1c4L0ux-vvyjVhVmawScFKvilONKVk_q2D28uctjaJolWN3bww2CG-b7F99_q0/s400/geometrias_comparadas.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
En un caso, terminarán con sus caminos cruzándose inevitablemente sin que puedan hacer nada por evitarlo, y ello no será porque sus increíblemente precisos instrumentos de medición sean defectuosos, sino por el hecho de que el espacio en el que se mueven está <span style="font-style: italic;">curvo</span>. Y en el otro caso, terminarán separándose más y más sin que puedan hacer nada por evitarlo, también por el hecho de que el espacio en el que se desplazan está <span style="font-style: italic;">curvo</span>. Lo mismo nos sucedería a nosotros tratándose de una curvatura que estando situada <span style="font-weight: bold;">en la cuarta dimensión</span> será completamente indetectable para nuestros sentidos físicos. Las pulgas de nuestro ejemplo pueden desplazarse de modo tal que, independientemente de la curvatura de la superficie, siempre se mantendrán alejadas la misma distancia la una de la otra. Pero en tal caso ya no se estarán moviendo en línea recta, tendrán que desviarse de su trayectoria ajustando continuamente sus instrumentos, los cuales en tal caso perderán por completo la utilidad para la cual habían sido diseñados. Entonces, ¿cómo podemos hablar ya de que una geometría sea menos válida o menos posible que la otra?<br />
<br />
Sobre estas interrrogantes, un ensayo de A. S. Smogorzhevski titulado "Acerca de la Geometría de Lobachevski" dice lo siguiente: "La cuestión referente a la estructura del espacio real, pertenece a la competencia de la física y no puede ser resuelta con las fuerzas de la geometría pura. Su particularidad consiste, entre otras cosas, en que ninguna geometría refleja las relaciones de extensión con exactitud absoluta; así, por ejemplo, debido a la estructura molecular de la materia, no existen cuerpos accesibles a la apreciación de sus dimensiones que posean las propiedades geométricas de la esfera ideal. Precisamente por esto, la aplicación de reglas geométricas a la solución de problemas concretos conduce inevitablemente a resultados aproximados. De tal modo, nuestra noción respecto a la estructura geométrica del espacio real se reduce de hecho a la convicción científicaamente basada de que una geometría determinada describe mejor que otras las relaciones reales de la extensión".<br />
<br />
Ampliando esto último, el desarrollo de la Teoría General de la Relatividad nos hace llegar a una interesante conclusión: <i>las tres geometrías, tanto la Euclideana como la elíptica como la hiperbólica, pueden ser igualmente válidas</i>. La Relatividad no descarta ninguna de estas posibilidades.<br />
<br />
Esto, desde luego, marcha en contra de nuestra intuición, marcha en contra de todo lo que suponíamos como cierto. Pero si a una cosa nos ha acostumbrado a todos nosotros la física moderna, empezando por la mecánica cuántica que paró de cabeza al mismo Einstein que hasta el final de sus días no creyó en la visión probabilística del Universo dada por la mecánica cuántica aferrándose a su concepto de un Universo determinístico, es que eso que llamamos intuición es muy mal barómetro de lo que nosotros suponemos como "real". Una cosa es lo que nosotros queremos que sea real, de acuerdo con lo que nos indican nuestros sentidos y lo que nos indica nuestra lógica, y otra cosa muy diferente es lo que allá afuera pueda ser real más allá de nuestros sentidos.<br />
<br />
Lo que hemos visto va más allá de simplemente ofrecer reemplazos alternos a la geometría Euclideana. Tomemos por ejemplo el curso de geometría analítica que se enseña en las escuelas preparatorias como paso preliminar al estudio del cálculo diferencial e integral, en la cual se lleva a cabo la gran síntesis que hizo el filósofo y matemático francés René Descartes combinando la geometría con el álgebra. Esa geometría analítica está basada en la geometría plana desarrollada por Euclides. Pero si nuestro campo de acción es, por ejemplo, una geometría hiperbólica, entonces <i>tenemos que comenzar a estudiar todo de nuevo</i>, con una materia que se vendría llamando <b>geometría analítica hiperbólica</b>. La cual por cierto se imparte en las universidades de prestigio alrededor del mundo.<br />
<br />
¿Hay alguien por allí entre quienes están leyendo esto que quiera volver a comenzar a estudiar todo de nuevo, porque resulta que el punto de partida con el que se comenzó desde la escuela secundaria no era el único?Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-85406794113671504252007-09-29T01:45:00.000-07:002011-01-31T14:13:36.983-08:00Capítulo VIII: Fuentes adicionales de referencia<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<br />
Para quienes deseen obtener más información, Internet ofrece una amplia variedad de fuentes documentales que pueden proporcionar más datos sobre los descubridores de las geometrías no-Euclideanas así como sobre algunas de las conclusiones a las que se llegan mediante esas geometrías que ciertamente (y desfortunadamente) no se enseñan en ninguna escuela de enseñanza media (inclusive, ni siquiera se enseñan a nivel de licenciatura en la carrera de matemáticas en una gran cantidad de universidades).<br />
<br />
Wikipedia se está convirtiendo en estos momentos en la fuente más importante de una enorme cantidad de información, tanto por el hecho de que es una enciclopedia "en línea", accesible al instante, sin necesidad de tener que pagar por su uso una costosa subscripción, como por el hecho de que las contribuciones que son colocadas allí provienen del mundo entero por gente que sabe de lo que está hablando.<br />
<br />
<i>Sobre las geometrías no-Euclideanas:</i><br />
<br />
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_No-Euclidiana<br />
<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-Euclidian_geometry<br />
<br />
<i>Sobre el Postulado de las Paralelas:</i><br />
<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate<br />
<br />
<i>Sobre Giovanni Girolamo Saccheri:</i><br />
<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Gerolamo_Saccheri<br />
<br />
<i>Sobre Nicolai Lobachevski:</i><br />
<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Nikolai_Ivanovich_Lobachevsky<br />
<br />
<i>Sobre la geometría hiperbólica:</i><br />
<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry<br />
<br />
<i>Sobre los</i> <span style="font-weight: bold;">axiomas de Peano</span> <i>para la <span style="color: blue; font-style: italic;">axiomatización de las matemáticas</span>:</i><br />
<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms<br />
<br />
<i>Sobre la obra <span style="color: blue; font-style: italic;">Principia Mathematica</span>, la cual se puede consultar en línea</i>:<br />
<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Principia_Mathematica<br />
<br />
<i>Sobre Carl Friedrich Gauss:</i><br />
<br />
http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss<br />
<br />
<i>Sobre el </i><i>Theorema Egregium de Gauss:</i><br />
<br />
http://en.wikipedia.org/wiki/Theorema_egregium<br />
<br />
<i>Sobre Bernhard Riemann:</i><br />
<br />
http://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann<br />
<br />
<i>Sobre la métrica de Riemann:</i><br />
<br />
http://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_m%C3%A9trico<br />
<br />
<i>Sobre geometría diferencial:</i><br />
<br />
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial<br />
<br />
<i>Sobre la geometría diferencial de las superficies:</i><br />
<br />
http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_superficies<br />
<br />
<i>Sobre la herramienta educativa </i><i><span style="color: blue;">Geometer's Sketchpad</span> para la enseñanza interactiva de geometría hiperbólica:</i><br />
<br />
http://www.dynamicgeometry.com/<br />
<br />
<i>Una demostración del disco hiperbólico de Poincaré generado con el programa Mathematica la podemos encontrar en el siguiente enlace:</i><br />
<br />
http://demonstrations.wolfram.com/PoincareHyperbolicDisk/<br />
<br />
Las funciones tres funciones trigonométricas hiperbólicas básicas, el seno hiperbólico, el coseno hiperbólico y la tangente hiperbólica, se pueden graficar de modo interactivo al gusto del usuario con un programa de uso inmediato a través de Internet que alguien puso en el siguiente enlace activado con <i>WebMathematica</i>:<br />
<br />
http://math.jccc.net:8180/webMathematica/MSP/mmartin/sinh<br />
<br />
http://math.jccc.net:8180/webMathematica/MSP/mmartin/cosh<br />
<br />
http://math.jccc.net:8180/webMathematica/MSP/mmartin/tanhArmando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-60925103790917337912007-09-29T01:30:00.000-07:002017-05-09T11:36:43.493-07:00Suplemento # 1<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"> <img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" /></a></div>
<br />
<br />
<i>En virtud de los muchos correos electrónicos que he recibido de estudiantes y maestros no sólo de México sino de muchos otros países de habla hispana (Argentina, Venezuela, España, Chile, etc.) que por su volumen me es imposible responder individualmente (motivo por lo cual aprovecho aquí para pedir mil disculpas por una falta de respuesta de parte mía), en los que se me pide que amplíe un poco más esta bitácora tratando sobre el tema de los rayos de luz usados como instrumento para obtener las rutas geométricas que representan la distancia geométrica más corta (la geodésica) entre dos puntos, así como hablar un poco sobre otros modelos de geometrías hiperbólicas además de las ya mencionados, así como entrar un poco más a fondo en el detalle de las rutas mínimas en una geometría hiperbólica, he decidido ampliar la bitácora con esta entrada adicional. Parte del material que será presentado aquí no fue incluído en el resto de las entradas por la sencilla razón de que requiere algunos conocimientos básicos del cálculo diferencial e integral (cálculo infinitesimal), lo cual no necesariamente está al alcance de muchos de mis lectores potenciales que no hayan completado sus estudios de enseñanza media, razón por la cual este material está siendo anexado como suplemento. De cualquier manera, si alguien que está leyendo esto dejó sus estudios superiores porque "eso no tiene ninguna aplicación práctica" (la geometría analítica, el cálculo diferencial, el cálculo integral), este suplemento le dará razones por las cuales es importante que continúe adelante con sus estudios, porque en el desarrollo de este suplemento se verá que esas materias sí tienen una aplicación práctica y directa para nuestro entendimiento del mundo que nos rodea</i><br />
<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Los rayos de luz siguen siempre la ruta que toma el menor tiempo posible</span><br />
<br />
<br />
Un conocido principio de la física, el <b>principio de Fermat</b> (del mismo físico-matemático francés cuyo último teorema que dejó sin demostración tuvo en jaque por varios siglos a los mejores matemáticos del mundo por varios siglos hasta que el británico Andrew Wiles finalmente lo resolvió en 1993), enunciado en 1679, nos dice que un rayo de luz al desplazarse siempre sigue la ruta que le tome el menor tiempo posible para llegar a su destino. Si el medio en el que se mueve el rayo de luz es homogéneo, de densidad constante, entonces al mantenerse igual su velocidad esto equivaldrá a que el rayo de luz tome la ruta más corta posible, la cual le tomará el menor tiempo posible. Al igual que el quinto postulado de Euclides, este principio de física no es demostrable, es un hecho de la Naturaleza, confirmable matemáticamente y confirmado por nuestra experiencia. Este principio sigue siendo tan válido hoy como desde el año en que se formuló. Inclusive en la Teoría General de la Relatividad en la cual Einstein elevó a la luz como una referencia absoluta e invariable (la velocidad de un rayo de luz es exactamente la misma para todos los observadores sin importar cómo se estén moviendo unos con respecto a otros) usándola como medio para establecer su <b>principio de equivalencia</b> (un observador encerrado en una caja sellada será incapaz de distinguir mediante experimento alguno si la caja se está moviendo con una aceleración constante en cierta dirección o si la caja está estática bajo la presencia de un campo gravitacional que induzca la misma aceleración) y usando rayos de luz para trazar las <b>geodésicas</b> (rutas mínimas) en el espacio, el principio de Fermat sigue siendo válido. Usando este principio y las herramientas del cálculo infinitesimal (máximos y mínimos), podemos derivar las conocidísimas leyes de reflexión y refracción de la luz, lo cual haremos a continuación.<br />
<br />
Para la <b>ley de la reflexión</b> (<i>el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión</i>), considérese la siguiente figura en la cual empezaremos suponiendo que el ángulo de incidencia de un rayo que parte del punto <b>A</b> y es reflejado en el punto <b>B</b> para llegar al punto <b>A</b> no es igual al ángulo de reflexión:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6XRKbGo6-2eyDF4COfD-AMZiNZ2QObu3n80PpoibqIsT22e3d7aPZpgU_EVr0mRpFPpINNv7NXY4e0b95WCRrycFKn1AY_OxLz4nPfModYA7Yfhuao9U1u4Hri07dXJXuwQXRzADrt6c/s1600-h/reflexion.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122422034216365474" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6XRKbGo6-2eyDF4COfD-AMZiNZ2QObu3n80PpoibqIsT22e3d7aPZpgU_EVr0mRpFPpINNv7NXY4e0b95WCRrycFKn1AY_OxLz4nPfModYA7Yfhuao9U1u4Hri07dXJXuwQXRzADrt6c/s400/reflexion.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Para simplificar la demostración, el punto <b>A</b> y el punto <b>C</b> serán puestos a la misma altura <i>h</i> de la superficie reflectora.Llamaremos <i>x</i> a la proyección horizontal del rayo de luz que viaja desde <b>A</b> hasta <b>B</b>, haciéndola una variable. Aplicando el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos, tenemos que las longitudes <b>AB</b> y <b>BC</b> estarán relacionadas con sus proyecciones horizontales sobre la superficie reflectora de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b>AB²</b> = x² + h²<br />
<br />
<b>BC²</b> = (l-x)² + h²</div>
<br />
La longitud del recorrido total del rayo de luz para llegar desde el punto <b>A</b> hasta el punto está dada por:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b>L</b> = <span style="font-weight: bold;">AB</span> + <span style="font-weight: bold;">BC</span></div>
<br />
Introduciendo las expresiones para <b>AB</b> y <b>BC</b> en función de la variable <i>x</i>, tenemos que el valor del recorrido total <span style="font-weight: bold;">L</span> en función de la variable <span style="font-style: italic;">x</span> es:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg2h27fsdWFb05CiL-7BrvLQ-EutFS5qZrc1TugZPQ9s1hgwMa9sybtOfYCsk1dHzkBd-3tPq5lF2p7Va-2VsFprutGSqhA2D-LteHZHo3k_8Ics33wTeWWcz6OFcAuleAd-G_Ba1qPgs/s1600/paso+01.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg2h27fsdWFb05CiL-7BrvLQ-EutFS5qZrc1TugZPQ9s1hgwMa9sybtOfYCsk1dHzkBd-3tPq5lF2p7Va-2VsFprutGSqhA2D-LteHZHo3k_8Ics33wTeWWcz6OFcAuleAd-G_Ba1qPgs/s1600/paso+01.png" /></a></div>
<br />
A continuación, tomamos la derivada de <b>L</b> con respecto a <i>x</i>:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGNULdfH_BPs1vG5yyR15g7RqPMX9NwCSJI95EKgcEjXTXKwdaWzxYQILXSlxpmGs5QogHOelH9N7UfTgnm9edNVZhvic8rj4_VFcSCMI9UUWPWumxJkGb4-Zg9wds8WHB6vd21XmA7Nk/s1600/paso+02.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGNULdfH_BPs1vG5yyR15g7RqPMX9NwCSJI95EKgcEjXTXKwdaWzxYQILXSlxpmGs5QogHOelH9N7UfTgnm9edNVZhvic8rj4_VFcSCMI9UUWPWumxJkGb4-Zg9wds8WHB6vd21XmA7Nk/s1600/paso+02.png" /></a></div>
<br />
y la fijamos a cero:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKtkAbKD7teRycZIYgbq31kUMdcIP5TRi2acQHEpLyc3W_3xP7YEv73ICMdJhsIgre6_ax9JNdmOKx0VpOpa-OdTeos_Qj0foZ4xSv3U6kGJEe0RKrm-m4L3sAhOw_fmBMZ5ropdy5ci0/s1600/paso+03.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKtkAbKD7teRycZIYgbq31kUMdcIP5TRi2acQHEpLyc3W_3xP7YEv73ICMdJhsIgre6_ax9JNdmOKx0VpOpa-OdTeos_Qj0foZ4xSv3U6kGJEe0RKrm-m4L3sAhOw_fmBMZ5ropdy5ci0/s1600/paso+03.png" /></a></div>
<br />
para obtener la condición que nos dá la ruta mínima después de un poco de álgebra:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0whGXOhkpuRv1ArWUC2mV7zeynmzBe5oHwVtUnHv4TU90w_ZlC8YkHH7iDlfU73SQx2zWvmqAYclOBsueEkyZ0rQ_rB8GY8PakTolGqeLdUNnjY-IAQdE4HkBeapARSlaZV7O8PBAzLc/s1600/simplificacion.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0whGXOhkpuRv1ArWUC2mV7zeynmzBe5oHwVtUnHv4TU90w_ZlC8YkHH7iDlfU73SQx2zWvmqAYclOBsueEkyZ0rQ_rB8GY8PakTolGqeLdUNnjY-IAQdE4HkBeapARSlaZV7O8PBAzLc/s1600/simplificacion.png" /></a></div>
<br />
Esto nos dice que los dos triángulos rectángulos que forma el rayo de luz con la superficie reflectora tanto al ir de A a B como al ir de B a C son iguales, puesto que el valor de x para la ruta mínima está situado justo a la mitad entre triángulos de la misma altura. Siendo los dos triángulos rectángulos formados por la ruta extrema iguales por tener sus tres lados iguales, los ángulos m y n deben ser también iguales. Se concluye que <span style="font-weight: bold;">el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión</span>.<br />
<br />
En el caso de la refracción de la luz, veamos primero las razones del por qué se debe postular la hipótesis de que se tenga que refractar en vez de seguir un camino recto desde su punto de origen hasta su destino final. Considérese la siguiente figura en la cual un rayo de luz parte de un punto de origen <span style="font-weight: bold;">A</span> y al llegar a la superficie de un medio como el agua en el punto <span style="font-weight: bold;">B</span> se refracta para llegar finalmente al punto <span style="font-weight: bold;">C</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg69bpTN48Tyrr4cHa6QpS0eefEhY-73uBD-gf4yVjk7cw-uHZUdBnZ8y8ssYmU0-gW9ljiU9y35v86p1R1fpjlyIwAsnZfVOlpW-qwqkp00Jw_UBmdJoW-U4Zf4OnRWM_1f-pp2lAYnik/s1600-h/refraccion.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5128432259572576162" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg69bpTN48Tyrr4cHa6QpS0eefEhY-73uBD-gf4yVjk7cw-uHZUdBnZ8y8ssYmU0-gW9ljiU9y35v86p1R1fpjlyIwAsnZfVOlpW-qwqkp00Jw_UBmdJoW-U4Zf4OnRWM_1f-pp2lAYnik/s400/refraccion.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Geométricamente hablando, la menor distancia (Euclideana) entre los dos puntos <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">C</span> es la recta que los une y no la línea "quebrada" <span style="font-weight: bold;">ABC</span>. Si el rayo de luz siguiera la línea recta desde <span style="font-weight: bold;">A</span> hasta <span style="font-weight: bold;">C</span> (pasando por el punto <span style="font-weight: bold;">B'</span>) en lugar de la ruta <span style="font-weight: bold;">ABC</span>, ciertamente viajaría una distancia más pequeña. Sin embargo, la distancia <span style="font-weight: bold;">B'C</span> en el agua es<span style="font-style: italic;"> mayor</span> que la distancia <span style="font-weight: bold;">BC</span>. Puesto que la velocidad de la luz es menor en el agua que en el aire, la luz puede perder más tiempo en recorrer la ruta <span style="font-weight: bold;">B'C</span> que el tiempo que ahorraría siguiendo la distancia más corta <span style="font-weight: bold;">AB'</span> que <span style="font-weight: bold;">AB</span> en el aire. Como no hay razones para escoger de antemano, tomando en cuenta estas consideraciones, cuál de las dos rutas le tomará a un rayo de luz el menor tiempo posible, es necesario llevar a cabo el análisis completo desde una perspectiva matemática.<br />
<br />
Asentado lo anterior, ahora procederemos a obtener la <b>ley de la refracción</b> (<i>para todo rayo refractado al pasar de un medio a otro, el seno del ángulo de incidencia entre el seno del ángulo de refracción es igual a una constante</i>. Para ello, primero definiremos el índice de refracción <i>n</i>, el cual dependerá del valor que tenga la velocidad de la luz en un medio en el cual su velocidad será menor que la velocidad de la luz en el vacío, asentándose aquí por lo tanto que la velocidad de la luz en el vacío es la velocidad <i>máxima</i> que puede tener un rayo de luz. El índice de refracción de la luz en un medio se define como el cociente de la velocidad de la luz <i>c</i> (aproximadamente 300 mil kilómetros por cada segundo de tiempo transcurrido) en el vacío entre la velocidad <i>v</i> que tenga en algún medio transparente (como el agua o el plástico claro): <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiA4bcyPi-xa4Q3q3Pfnf-jj1Qu9XhkkWF3jr8tIcsWXo-3aG868w6L9-wHUVGbUNbhae7m71S64wyNr7m0c6zwRjZ42sEiMGG434T9oEGkocnE2pYPt0QggfLIG_IAEvCqY2XUsgCjeRll/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+00.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiA4bcyPi-xa4Q3q3Pfnf-jj1Qu9XhkkWF3jr8tIcsWXo-3aG868w6L9-wHUVGbUNbhae7m71S64wyNr7m0c6zwRjZ42sEiMGG434T9oEGkocnE2pYPt0QggfLIG_IAEvCqY2XUsgCjeRll/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+00.png" /></a></div>
<br />
Por su propia definición, el índice de refracción siempre tendrá un valor mayor que la unidad.<br />
<br />
Considérese la siguiente figura, en la cual un rayo de luz viajando a partir del punto A en un medio con un índice de refracción <i>n</i><sub>1</sub> pasa a otro medio con un índice de refracción <i>n</i><sub>2</sub> hasta llegar al punto <span style="font-weight: bold;">B</span>, refractándose en el punto <span style="font-weight: bold;">D</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh95rEgd4OLVaoVJzux9WnRsjvYoLESw1HG_rUOW0VbMZjzJtfvQ7BVTbCBxwYyerRZqPExJ5-hf1fwEtOpxJ13D4AUoAimszJFGObSg7WNHnZDPb5ybEqDPCxpT9UfI_s68wYSaSvajv8/s1600-h/figura_refraccion.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5125086291070429666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh95rEgd4OLVaoVJzux9WnRsjvYoLESw1HG_rUOW0VbMZjzJtfvQ7BVTbCBxwYyerRZqPExJ5-hf1fwEtOpxJ13D4AUoAimszJFGObSg7WNHnZDPb5ybEqDPCxpT9UfI_s68wYSaSvajv8/s400/figura_refraccion.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Nuevamente, recurrimos al principio de Fermat tratando de obtener las condiciones para que la trayectoria que tome el rayo de luz sea al ir de <span style="font-weight: bold;">A</span> a <span style="font-weight: bold;">B</span> sea la que le tome el menor tiempo posible <i>t</i>. Dentro de un medio homogéneo, el tiempo requerido para recorrer una distancia <i>l </i>se obtiene dividiendo dicha distancia entre la velocidad <i>v</i>: <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh7BcgqxGwbI5O5luycZGZr8n-6O2EW6YWGKE1IFz57hyphenhyphenVY_tKG9X98jPWZlVLn2WhXbRj6d80Rjr89chTvZkoM-bEjmf4WYisi8vD0pe4dsdO1z_f56lNrPyPIxaHDGsCzo0WYa6SuzUf/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+01.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjh7BcgqxGwbI5O5luycZGZr8n-6O2EW6YWGKE1IFz57hyphenhyphenVY_tKG9X98jPWZlVLn2WhXbRj6d80Rjr89chTvZkoM-bEjmf4WYisi8vD0pe4dsdO1z_f56lNrPyPIxaHDGsCzo0WYa6SuzUf/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+01.png" /></a></div>
<br />
Pero como dentro de un medio con índice de refracción <i>n</i> la velocidad <i>v</i> estará dada por la relación arriba señalada, el tiempo de recorrido será:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgncVVu8rmA_1p-R1hg9Oe9z7AdCzsyXAlAaARHQexOAFCfEpG_O5s0sLYAp2JgaYHJw4OZAPu-1zP9EZYW-gFmUU2MfaLhFP3pSjyoH8di1Uhwrj9aIU3LXlogxzI4X2fg35mRRqy0wmNh/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+02.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgncVVu8rmA_1p-R1hg9Oe9z7AdCzsyXAlAaARHQexOAFCfEpG_O5s0sLYAp2JgaYHJw4OZAPu-1zP9EZYW-gFmUU2MfaLhFP3pSjyoH8di1Uhwrj9aIU3LXlogxzI4X2fg35mRRqy0wmNh/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+02.png" /></a></div>
<br />
El tiempo total de recorrido del rayo de luz será el tiempo que le tarde ir primero desde <span style="font-weight: bold;">A</span> hasta <span style="font-weight: bold;">D</span> y luego desde <span style="font-weight: bold;">D</span> hasta <span style="font-weight: bold;">B</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<i>t</i> = <i>t</i><sub>1</sub> + <i>t</i><sub>2</sub><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTgBCHXFAfLpIHx8ekamgvkurGkjoNWSjNv6zFzLoOqaeyXayzggkaNbSs7ME8H_LlhFVDz5GCN-9hVzS38mOEN6GSKMUZb8s8b2Z9SY7Os3C61LIFvb-N8ypoVgnJ6awQ9T24_4ReZsjs/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+03.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTgBCHXFAfLpIHx8ekamgvkurGkjoNWSjNv6zFzLoOqaeyXayzggkaNbSs7ME8H_LlhFVDz5GCN-9hVzS38mOEN6GSKMUZb8s8b2Z9SY7Os3C61LIFvb-N8ypoVgnJ6awQ9T24_4ReZsjs/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+03.png" /></a></div>
</div>
<br />
Como <i>c</i> es una constante universal, y <i>t </i>es el tiempo total de recorrido, el lado izquierdo es lo que comúnmente se conoce como el <span style="font-style: italic;">camino óptico</span> del rayo de luz. El camino óptico del rayo ADB será igual a:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwqZVfFhjyNIydbaZbb0lHz6OOb5vp68rLoHFQ5ch-izQOHnjuGg-L6rtrf4erG0HOYSiOsNt-yI2kMz8AV67z7aPjoV0wk8SCeaGgwEgzRdavsG10uEoRkOkbhYlitHNtVNwnMqHdL8Pi/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+04.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwqZVfFhjyNIydbaZbb0lHz6OOb5vp68rLoHFQ5ch-izQOHnjuGg-L6rtrf4erG0HOYSiOsNt-yI2kMz8AV67z7aPjoV0wk8SCeaGgwEgzRdavsG10uEoRkOkbhYlitHNtVNwnMqHdL8Pi/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+04.png" /></a></div>
<br />
Inspeccionando la figura, es claro por el teorema de Pitágoras que las rectas <b>AD</b> y <b>DB</b> están dadas por:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijluMBkOpNCIgt0_0tlezysMHNiSAHy84Kqdg66xkD3Zz_7Dh9yXFD3VOTD-FF9dBJ5anUFbOFDTW6cYGKlPlbl-gPfTrZTtbuNENfpIv5Za5TrxkGjLUWbknG1urOqRHKIp_g7tKxBta4/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+05.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijluMBkOpNCIgt0_0tlezysMHNiSAHy84Kqdg66xkD3Zz_7Dh9yXFD3VOTD-FF9dBJ5anUFbOFDTW6cYGKlPlbl-gPfTrZTtbuNENfpIv5Za5TrxkGjLUWbknG1urOqRHKIp_g7tKxBta4/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+05.png" /></a></div>
<br />
Entonces la longitud de la ruta total del recorrido de <b>A</b> a <b>B</b> será: <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnsZn3IZ_KjcZKtwZ2Uf2s1lC18ugwwFQmRrh_BqYOQOBKXedn7lDKOezl8E-cO0a6jPCW6sWQvPlurGrqh6nFAzWi4UcFQe5c3eaccA2PmPNe28B00DaY4WlO2v8IB9US1OSETUEz-_9o/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+06.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnsZn3IZ_KjcZKtwZ2Uf2s1lC18ugwwFQmRrh_BqYOQOBKXedn7lDKOezl8E-cO0a6jPCW6sWQvPlurGrqh6nFAzWi4UcFQe5c3eaccA2PmPNe28B00DaY4WlO2v8IB9US1OSETUEz-_9o/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+06.png" /></a></div>
<br />
La condición necesaria para que el camino óptico sea extemo (mínimo) se reduce nuevamente a que <i>dl</i>/<i>dx</i><span style="color: white;">.</span>=<span style="color: white;">.</span>0. A continuación, tal y como lo hicimos al derivar la ley geométrica de la reflexión, tomamos la derivada de <i>l</i> con respecto a <i>x</i> e igualamos a cero: <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhogUDvdH-xnRFt9e-no4iZfShv3oJtIjiIkizeILqAW3dFGCn_XwSufWELrDOhgnX3NOuxQiaoGgBo_S2BKKo0IrqNHxrDNogJQIroXojeF9zwH1lTZTyAvmH-6DKZB_b7tMXIx1XVFOgn/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+07.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhogUDvdH-xnRFt9e-no4iZfShv3oJtIjiIkizeILqAW3dFGCn_XwSufWELrDOhgnX3NOuxQiaoGgBo_S2BKKo0IrqNHxrDNogJQIroXojeF9zwH1lTZTyAvmH-6DKZB_b7tMXIx1XVFOgn/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+07.png" /></a></div>
<br />
Pero en la figura vemos que, por trigonometría elemental:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCZ0psYApwiEH7fgI2Wjl3vSEJ-SEwj5pzegvPCUnmwxSr2PPVwWAyVnRiLL1VxxdptZK9PQSePPkqs4rtlymeHCekMVwyxPYQbaK7c_0-WgSAV4jExbYaJ1uYdFOQLQXJw-peQIlT3CQ3/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+08.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCZ0psYApwiEH7fgI2Wjl3vSEJ-SEwj5pzegvPCUnmwxSr2PPVwWAyVnRiLL1VxxdptZK9PQSePPkqs4rtlymeHCekMVwyxPYQbaK7c_0-WgSAV4jExbYaJ1uYdFOQLQXJw-peQIlT3CQ3/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+08.png" /></a></div>
<br />
siendo <i>i</i><sub>1</sub> el ángulo de incidencia e <i>i<sub>2</sub></i> el ángulo de refracción, de donde se concluye que:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN5Xw6gzPbOy1TrKTQfKDtftklH9Fzh-o_WHT_2lJ7UYBSds8nxlLD9SD_8XCjAasRmOcpf8rq1GHLzdUUfW_0dkBVazAVBOweFXnJdDgkxAm4QW9LcPl9BZr_HHmLURnMFUMNG7Ru-hLX/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+09.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN5Xw6gzPbOy1TrKTQfKDtftklH9Fzh-o_WHT_2lJ7UYBSds8nxlLD9SD_8XCjAasRmOcpf8rq1GHLzdUUfW_0dkBVazAVBOweFXnJdDgkxAm4QW9LcPl9BZr_HHmLURnMFUMNG7Ru-hLX/s1600/derivacion+de+la+ley+de+Snell+09.png" /></a></div>
<br />
Esta es la ley de refracción de Snell, la cual nos dice que <i>el seno del ángulo de incidencia entre el seno del ángulo de refracción es igual a una constante</i>. El signo de la segunda derivada se puede utilizar para confirmar que esta ruta es realmente el mínimo matemático.<br />
<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">El Plano-Medio de Poincaré<br />
<br />
</span><br />
<br />
Además del disco de inversión, podemos construír otro tipo de representaciones gráficas para implementar una geometría hiperbólica. A continuación se verá una que es extremadamente útil para poder derivar algunas conclusiones y resultados importantes.<br />
<br />
Para mayor comodidad y claridad, empezaremos montando un sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares (x,y) como las que se estudian en geometría analítica. El eje horizontal <i>x</i> dividirá al plano bidimensional en dos partes. Para nuestros propósitos, usaremos únicamente el plano superior que corresponde a valores positivos medidos a lo largo de la coordenada <i>y</i>. Imaginemos ahora que en ese semiplano las cosas se comportan de una manera muy curiosa. Imaginemos que todos los objetos que están situados en dicho semiplano se irán achicando cada vez más y más conforme nos acercamos a la <b>línea límite</b>. Así, un objeto (o una persona) al moverse de arriba hacia abajo hasta la mitad de la distancia que lo separa de la línea límite tendrá un tamaño la mitad de su tamaño original. Y si continúa moviéndose hacia abajo recorriendo otra vez la mitad de la distancia que lo separa de la línea límite, entonces se achicará nuevamente a la mitad, terminando con un tamaño que será la cuarta parte del tamaño original con el cual había empezado antes de irse achicando. Si se trata de una persona, esa persona no se dará cuenta de ello, porque todas sus reglas, sus compases, su ropa, su reloj, sus manos, todo, se habrá contraído en la misma proporción. En el siguiente dibujo:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie7dAjZF0-ijElLvxnM83fcTOFH4HYvpdVJ1MUh0gxKGdJjDV7j4MjOBARTqAKgirB0MaLCe_FmKmN3ubM1xeF4rs6ep-V63aU725h2ld_CE4CtzYJfhV1J4qAKzaQxYOMam6qDQ-GJQ0/s1600-h/plano_medio_Poincare.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122422360633879986" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie7dAjZF0-ijElLvxnM83fcTOFH4HYvpdVJ1MUh0gxKGdJjDV7j4MjOBARTqAKgirB0MaLCe_FmKmN3ubM1xeF4rs6ep-V63aU725h2ld_CE4CtzYJfhV1J4qAKzaQxYOMam6qDQ-GJQ0/s400/plano_medio_Poincare.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
podemos ver que si una persona camina horizontalmente desde el punto <b>E</b> hasta el punto <b>F</b> cubriendo una distancia de un kilómetro (su recorrido está representado por una flecha verde), entonces si hace ese mismo recorrido horizontal no partiendo del punto del punto <b>E</b> sino partiendo del punto <b>C</b> para llegar al punto <b>D</b>, como dicha persona se ha contraído a la mitad tendrá que recorrer lo que para ella es una distancia dos veces mayor a la distancia que había entre el punto <b>E</b> y el punto <b>F</b>. Se llevará el doble del tiempo caminar desde <b>C</b> a <b>D</b> que caminar desde <b>E</b> a <b>F</b>. Y llevará diez veces más tiempo llegar del punto <b>A</b> al punto <b>B</b> que llegar del punto <b>E</b> al punto <b>F</b>.<br />
<br />
La naturaleza del eje <i>x</i> para un valor en la coordenada <i>y</i> de cero (<span style="font-style: italic;">y</span> = 0) es tal que es imposible una comunicación entre el plano medio superior y el plano medio inferior, por lo cual restringiremos nuestra atención al plano medio superior, al cual se le conoce como el <b>plano-medio superior de Poincaré</b>. o simplemente el <span style="font-weight: bold;">plano-medio de Poincaré</span>.<br />
<br />
Supondremos que las distancias que mide una persona que vive dentro de este plano-medio serán Euclideanas. La distancia entre <b>E</b> y <b>F</b> será de una unidad, pero la distancia a recorrer entre <b>A</b> y <b>B</b> habrá <i>aumentado</i> por un factor de diez. Tomando esto en cuenta, un primer intento de definir una distancia hiperbólica, limitado a trayectorias horizontales en el plano-medio de Poincaré, nos conduce a usar la siguiente definición:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
Espacio hiperbólico = (Espacio Euclideano)/y</div>
<br />
Esta relación nos explica satisfactoriamente lo que nosotros vemos que está ocurriendo en el plano medio. Así, el espacio en el que cabe una regla que mide un metro puesta a lo largo de la recta <b>EF</b>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
Espacio hiperbólico horizontal = (1 metro)/1 = 1 metro</div>
<br />
parecerá haber aumentado al doble para un habitante del plano-medio, al haberse achicado la regla a la mitad de su tamaño original:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
Espacio hiperbólico horizontal = (1 metro)/(0.5) = 2 metros</div>
<br />
Y al ir caminando con la regla midiendo el espacio entre los puntos <b>A</b> y <b>B</b>, el espacio parecerá haber aumentado diez veces:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
Espacio hiperbólico horizontal = (1 metro)/(0.1) = 10 metros</div>
<br />
Así pues, esta definición preliminar parece satisfactoria. Sin embargo, no nos proporciona recurso alguno para medir la espacio hiperbólico entre los puntos <i>verticales</i> <b>A</b> y <b>E</b> o los puntos <b>C</b> y <b>E</b>. Para ello, tenemos que modificar la definición de distancia (Euclideana) entre dos puntos cualesquiera en el plano Cartesiano (x,y) usando incrementos infinitesimales de distancia (dx,dy) en lugar de incrementos finitos. En la geometría Euclideana, la distancia infinitesimal entre dos puntos cualesquiera, en función de su proyección infinitesimal sobre los ejes <i>x</i> y <i>y</i>, está dada por:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
(ds)<sup>2</sup> = (dx)<sup>2</sup> + (dy)<sup>2</sup></div>
<br />
Esto nos permite definir la longitud de un segmento infinitesimal de recta hiperbólica extendiendo la definición original de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
(ds)<sup>2</sup> = [(dx)<sup>2</sup> + (dy)<sup>2</sup>]/y</div>
<br />
Una definición matemática un poco más consistente con el uso de términos cuadráticos que la anterior emplearía el <i>cuadrado</i> del denominador. El efecto final de producir un acortamiento relativo de longitud en el elemento <i>ds</i> a medida que nos alejamos del nivel de referencia sigue siendo parecido, con lo cual se tiene entonces la siguiente definición:
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
(ds)<sup>2</sup> = [(dx)<sup>2</sup> + (dy)<sup>2</sup>]/y<sup>2</sup></div>
<br />
Cuando se entiende que los elementos infinitesimales de longitud son los que están siendo elevados al cuadrado, la anterior expresión se escribe simplemente como:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
ds<sup>2</sup> = (dx<sup>2</sup> + dy<sup>2</sup>)/y<sup>2</sup></div>
<br />
Esto nos conduce a la siguiente definición para un elemento infinitesimal de longitud hiperbólica:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2ney6ZYa6tjmbS-V1JoPlfcSf5MCVTlfzspmIsUh6adSw2OZbnn0mAzMUAbCmhCWbOxX2_qi_Rl440bdGV7OCsQZ9JpySxd08QjK5USwJGBacAPgGtW0zyZZEPGqDPfK-3QqQI1HHkKM/s1600/definicion+basica+elemento+infinitesimal+de+longitud+hiperbolica.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2ney6ZYa6tjmbS-V1JoPlfcSf5MCVTlfzspmIsUh6adSw2OZbnn0mAzMUAbCmhCWbOxX2_qi_Rl440bdGV7OCsQZ9JpySxd08QjK5USwJGBacAPgGtW0zyZZEPGqDPfK-3QqQI1HHkKM/s1600/definicion+basica+elemento+infinitesimal+de+longitud+hiperbolica.png" /></a></div>
<br />
La longitud total de un segmento de línea hiperbólica desde un punto P hasta un punto Q se obtiene integrando los segmentos infinitesimales de línea usando la relación anterior. Esto se representa simbólicamente de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZP3FQXAtd6xLRyA0RW50EW33q6XAr6aKkmCs3MZDtfxR_9d_UXAvxHzazsDVqF5Naxsfyjw3D-Wwz3b5MdI6wfAL5fMZPLmOxuE07ef0FapZ7JLjdJsbiJeUsoAKNA-NHsf2A1QgSPUU/s1600-h/integracion_hiperbolica.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122521419759594962" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZP3FQXAtd6xLRyA0RW50EW33q6XAr6aKkmCs3MZDtfxR_9d_UXAvxHzazsDVqF5Naxsfyjw3D-Wwz3b5MdI6wfAL5fMZPLmOxuE07ef0FapZ7JLjdJsbiJeUsoAKNA-NHsf2A1QgSPUU/s400/integracion_hiperbolica.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Usaremos esta relación para calcular, en la figura de arriba, las longitudes <i>hiperbólicas</i> de las rectas <span style="font-weight: bold;">AE</span>, <span style="font-weight: bold;">EF</span> y<span style="font-weight: bold;"> AF</span>. Empezaremos primero con la recta <span style="font-weight: bold;">EF</span>:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4zKqaram_4KGM4EQzmVFeKbbgzyTo_hbp9bYR5KFRypBFXLZq35JmjfZPWPG1lVuuwpdPe8UbiKrU1tn6N_-etU6xOnO_fY1bYIQZIfuyawjxndDJl8sYiT-UuY0Rvh8tRNs6NOe5QPs/s1600/evaluacion_integral+E+a+F.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4zKqaram_4KGM4EQzmVFeKbbgzyTo_hbp9bYR5KFRypBFXLZq35JmjfZPWPG1lVuuwpdPe8UbiKrU1tn6N_-etU6xOnO_fY1bYIQZIfuyawjxndDJl8sYiT-UuY0Rvh8tRNs6NOe5QPs/s1600/evaluacion_integral+E+a+F.png" /></a></div>
<br />
A continuación, calculamos la longitud hiperbólica de la recta <b>AE</b>:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbKXkSiyBQj2F_mjoREg7TjygIuzQ2miNKoRr9ubW-AmL56spXsuecOqIEkmNk8cMXaU6ryvY1BykduyOvUr6WxtqNGmBOGgizFtacrxvEZUA8Jxw39FxWGb8PSCz41WuVXB3T2HEQ4N8/s1600/evaluacion+integral+AE.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhbKXkSiyBQj2F_mjoREg7TjygIuzQ2miNKoRr9ubW-AmL56spXsuecOqIEkmNk8cMXaU6ryvY1BykduyOvUr6WxtqNGmBOGgizFtacrxvEZUA8Jxw39FxWGb8PSCz41WuVXB3T2HEQ4N8/s1600/evaluacion+integral+AE.png" /></a></div>
<br />
Por último, calculamos la longitud hiperbólica de la línea recta entre los puntos <b>A</b> y <b>F</b>, para lo cual obtenemos primero por geometría analítica usual la ecuación de la recta que une dichos puntos:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<i>y</i> = m<span style="font-style: italic;">x</span> + <i>b</i><br />
<br />
<i>y</i> = 0.9<i>x</i> + .1</div>
<br />
cuya derivada con respecto a <i>x</i> es:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<i>dy</i>/<i>dx</i> = 0.9<br />
<br />
<i>dy</i> = 0.9<i>dx</i></div>
<br />
con lo cual el cálculo de la longitud hiperbólica de la recta <b>AF</b> resulta ser:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfdH1ABLgNh5ZJFU_Dp5bFLJhHWd5PnQ9mpPn_IC58fhZ5bVLqTEwJb-ptV0xt-CIgiV3MgoTGwOutRQYA8x4rHnQOJbq_yS670EsG-120_lsA-oug5igMaRMwEN6Eqe978nx5GftdSQY/s1600/evaluacion+integral+AF.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfdH1ABLgNh5ZJFU_Dp5bFLJhHWd5PnQ9mpPn_IC58fhZ5bVLqTEwJb-ptV0xt-CIgiV3MgoTGwOutRQYA8x4rHnQOJbq_yS670EsG-120_lsA-oug5igMaRMwEN6Eqe978nx5GftdSQY/s1600/evaluacion+integral+AF.png" /></a></div>
<br />
El recorrido desde el punto <span style="font-weight: bold;">A</span> hasta el punto <span style="font-weight: bold;">F</span> yéndonos primero desde <span style="font-weight: bold;">A</span> hasta <span style="font-weight: bold;">E</span> (verticalmente) y después desde <span style="font-weight: bold;">E</span> hasta <span style="font-weight: bold;">F</span> (horizontalmente) requiere 3.03 unidades, mientras que el recorrido desde <span style="font-weight: bold;">A</span> hasta <span style="font-weight: bold;">F</span> siguiendo la diagonal recta requiere 0.959 unidades. Obviamente, la distancia más corta entre dos puntos es la recta que las une. Sin embargo, la recta diagonal entre los puntos <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">F</span> <span style="font-style: italic;">no es la distancia más corta entre dichos puntos</span>. En el plano-medio de Poincaré, <span style="font-weight: bold;">la distancia más corta entre dos puntos es el arco de una circunferencia entre dichos puntos que tenga como centro el eje </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">x</span>. Para convencernos de ello, considérese el siguiente dibujo:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3UvAnpjIiBcnNTUQc3ibsFCdw-dfXXdVp7mag5qAaZl2MjaX3NCrdG8nAdeBpklJpljhli8iW3D_qM-Xumrpu6K8N8ZA1JIOUNZDaHxoS7ZEZr2Jm5RmxG_iGWYrZIB9PrJDeXNci2HU/s1600-h/distancia_eulideana_minima.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5124012894397771554" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj3UvAnpjIiBcnNTUQc3ibsFCdw-dfXXdVp7mag5qAaZl2MjaX3NCrdG8nAdeBpklJpljhli8iW3D_qM-Xumrpu6K8N8ZA1JIOUNZDaHxoS7ZEZr2Jm5RmxG_iGWYrZIB9PrJDeXNci2HU/s400/distancia_eulideana_minima.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
en el cual tenemos una coordenada Cartesiana <i>y</i> trazada perpendicularmente sobre el eje <i>x</i>, con lo cual podemos especificar un círculo con la siguiente ecuación:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
x² + y² = 2</div>
<br />
Este es un círculo cuya circunferencia pasa por los puntos <b>A</b>(-1,1) y <b>B</b>(1,1). La distancia, tanto Euclideana como hiperbólica, del punto <b>A</b> al punto <b>B</b> siguiendo la recta de color azul, es 2. Calculemos la distancia hperbólica siguiendo el arco de color verde, el cual corresponde a la ecuación dada arriba. Tomando en cuenta de que para dicho círculo:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjLqDL5ynPSs3dPJPt5_r6sJsxK6F2XRzCN9eBDrOFJyn-wMTAERZxPuqyvsiuAQSAa7EOtGI_aL_hfk_riT9202Ab57yWNqr11IpStfsbW2mPBLcjREiVkgLrnzJZxXOjZ7V-zEvxQus/s1600/diferenciacion.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjLqDL5ynPSs3dPJPt5_r6sJsxK6F2XRzCN9eBDrOFJyn-wMTAERZxPuqyvsiuAQSAa7EOtGI_aL_hfk_riT9202Ab57yWNqr11IpStfsbW2mPBLcjREiVkgLrnzJZxXOjZ7V-zEvxQus/s1600/diferenciacion.png" /></a></div>
<br />
entonces los cálculos para la longitud hiperbólica del arco <b>AB</b> son los siguientes:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUwJnkVGF4JrC0h6FZGgOmQVHYDCKzjJon6VIB_qqne2J1QKcbtfnH2eJuEz02n1aoQgMDf7f2bAX3GN6M3Eu86uEFa1E5rfITGLhS34D8fuhVOlAbWnerR83DGizMo-5wdiYnsNBeZTs/s1600/segmento_arco_hiperbolico_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhUwJnkVGF4JrC0h6FZGgOmQVHYDCKzjJon6VIB_qqne2J1QKcbtfnH2eJuEz02n1aoQgMDf7f2bAX3GN6M3Eu86uEFa1E5rfITGLhS34D8fuhVOlAbWnerR83DGizMo-5wdiYnsNBeZTs/s1600/segmento_arco_hiperbolico_2.png" /></a></div>
<br />
Como puede verse, la longitud a lo largo del arco <b>AB</b> es de 1.76 unidades hiperbólicas, lo cual ciertamente es menor que la recta Euclideana que va de <b>A</b> a <b>B</b> y que mide 2 unidades. ¡La ruta más larga presenta la longitud más corta! Este es un resultado que seguramente habría dejado perplejos a los geómetras de la antigua Grecia. Y de hecho, esta es la distancia más corta que puede haber entre <b>A</b> y <b>B</b>. La longitud <i>Euclideana</i> del arco <b>AB</b> sigue siendo, desde luego, mayor que la longitud de la recta Euclideana <b>AB</b>, lo cual verificamos con el siguiente cálculo:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZnyOMEGFOmdwn_u62Qh8sb-shnxtnb7FroKGv-BpYt7rdZQb3YUHs4l7ZUN1j58MJlna65vsbDuHqHAov3eWBY_pMpUJs5o5GF_hOgyKQ3zhaD25rSNdUm6Ea0K-bAcHjNual2ibq0EU/s1600/desarrollo.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjZnyOMEGFOmdwn_u62Qh8sb-shnxtnb7FroKGv-BpYt7rdZQb3YUHs4l7ZUN1j58MJlna65vsbDuHqHAov3eWBY_pMpUJs5o5GF_hOgyKQ3zhaD25rSNdUm6Ea0K-bAcHjNual2ibq0EU/s1600/desarrollo.png" /></a></div>
<br />
El cálculo para determinar la longitud hiperbólica en general de un segmento de recta <b>PQ</b> en el cual el punto <b>P</b> está situado a una distancia <b>a</b> del eje <i>x</i> y el punto <b>Q</b> está situado a una distancia <b>b</b> del eje <i>x</i> procede de manera semejante, considerando un segmento infinitesimal de recta vertical dy situado a una distancia y del eje x, y llevando a cabo la integración usando la relación general que define a una línea hiperbólica:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0R7iP7QlbpA7DEZ1zJEDKOiZlcTIWzsH2jjuy6aMP80suzZE-BYZ9GwMS37EdBoiwMhNokEDjWXW9Tz1BegF89M6xGKuZZqP2l7tzuliXvUFlJnie8ZzkFzanA3E6uWiGpJrPsphcYIk/s1600-h/segmento_recta_hiperbolica.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5126434704642944130" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0R7iP7QlbpA7DEZ1zJEDKOiZlcTIWzsH2jjuy6aMP80suzZE-BYZ9GwMS37EdBoiwMhNokEDjWXW9Tz1BegF89M6xGKuZZqP2l7tzuliXvUFlJnie8ZzkFzanA3E6uWiGpJrPsphcYIk/s400/segmento_recta_hiperbolica.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
con lo cual obtenemos que la distancia (hiperbólica) entre los puntos <b>P</b> y <b>Q</b> es:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b>PQ<sub>h</sub></b> = ln(b) - ln(a)<br />
<br />
<b>PQ<sub>h</sub></b> = ln(b/a)</div>
<br />
Considérese ahora dos segmentos de línea, <span style="font-weight: bold;">PQ</span> y <span style="font-weight: bold;">QR</span>, situados uno tras otro en el mismo eje vertical de la siguiente manera:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9ojoe6yYH7u8LtPy37AulsAdyAyudANLuE3ePChz6pRLfWboSTjngcnFA0goDKmNa4Fs88xmarVwcjtpJ2pfsYHV8a54GfDxFODtb6_o0oINKZN9Bz_TowbRXFc0PXzQbYjQu3b3CSQM/s1600-h/adicion_segmentos_hiperbolicos.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5126437552206261394" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9ojoe6yYH7u8LtPy37AulsAdyAyudANLuE3ePChz6pRLfWboSTjngcnFA0goDKmNa4Fs88xmarVwcjtpJ2pfsYHV8a54GfDxFODtb6_o0oINKZN9Bz_TowbRXFc0PXzQbYjQu3b3CSQM/s400/adicion_segmentos_hiperbolicos.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Aplicando la fórmula obtenida arriba, tenemos que en el plano-medio de Poincaré las longitudes de cada uno de los segmentos es:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b>PQ<sub>h</sub></b> = ln(b/a)<br />
<br />
<b>QR<sub>h</sub></b> = ln(c/b)</div>
<br />
Sumando ambas expresiones miembro a miembro:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b>PQ<sub>h</sub></b> + <b>QR<sub>h</sub></b> = ln(b/a) + ln(c/b)<br />
<div style="text-align: left;">
<br />
y usando las propiedades de los logaritmos naturales:<br />
<br /></div>
<b>PQ<sub>h</sub></b> + <b>QR<sub>h</sub></b> = ln[(b/a)•(c/b)]<br />
<br />
<b>PQ<sub>h</sub></b> + <b>QR<sub>h</sub></b> = ln(c/a)<br />
<br />
<b>PQ<sub>h</sub></b> + <b>QR<sub>h</sub></b> = <b>PR<sub>h</sub></b></div>
<br />
Este resultado, tan sencillo como se ve, es un asunto muy importante, porque <i>concuerda con el mismo resultado relacionado con la</i> <b>suma de segmentos</b> <i>en la geometría Euclideana</i>, algo que se deriva en dicha geometría sin necesidad de apelar al quinto postulado (el postulado de las paralelas). De haber obtenido aquí un resultado diferente, nos habríamos topado con la primera contradicción seria en nuestra geometría no-Euclideana hiperbólica. Hasta el momento, no hemos encontrado contradicción alguna.<br />
<br />
Antes de continuar, trataremos de derivar una relación que nos permita la localización del punto medio de un segmento de recta hiperbólica vertical. En la siguiente figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuGcGQ4yiMufJVbs-OKPBPzzwAnUPMjR7OdcdT1DEixkHg7X2us5m0M_TrhTlk2AdtO0qLg2ZMQ1gGCpESwoH6PaEGmi9zmwlaSJfQaHNfZqz1AIKkFwABE3WbpLcI8GSJlyeWFuMd6U8/s1600-h/punto_medio_recta_hiperbolica.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5127612689618185794" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjuGcGQ4yiMufJVbs-OKPBPzzwAnUPMjR7OdcdT1DEixkHg7X2us5m0M_TrhTlk2AdtO0qLg2ZMQ1gGCpESwoH6PaEGmi9zmwlaSJfQaHNfZqz1AIKkFwABE3WbpLcI8GSJlyeWFuMd6U8/s400/punto_medio_recta_hiperbolica.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
si <b>M</b> es el punto medio del segmento hiperbólico <b>AB</b>, entonces la longitud hiperbólica del segmento <b>AM</b> deberá ser igual a la longitud hiperbólica del segmento <b>MB</b>. O sea:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b>AM<sub>h</sub> = MB<sub>h</sub></b><br />
<br />
ln(<span style="font-weight: bold;">m/a</span>) = ln(<span style="font-weight: bold;">b/m</span>)<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">m/a = b/m</span><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">m² = ab</span></div>
<br />
Así pues, la media en una recta hiperbólica vertical se obtiene mediante la <i>media geométrica</i> de los valores <b>a</b> y <b>b</b>. Si <b>a</b><span style="color: white;">.</span>=<span style="color: white;">.</span>4 y <b>b</b><span style="color: white;">.</span>=<span style="color: white;">.</span>9, en el plano Euclideano el punto medio estaría situado a:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
(4+9)/2 = 6.5 unidades</div>
<br />
de la línea límite <i>x</i>, o sea la <i>media aritmética</i>. Sin embargo, de acuerdo con la relación que acabamos de obtener, el punto medio <b>M</b> <i>hiperbólico</i> estará situado para estos mismos valores a una distancia de 6 unidades, la <i>media geométrica</i>.<br />
<br />
El procedimiento arriba mostrado para calcular longitudes hiperbólicas es completamente general, no hay razón alguna para que nos limitemos a líneas rectas y arcos de círculo. Podemos superimponer una parábola ordinaria <span style="font-style: italic; font-weight: bold;">y=x²</span> en el plano-medio superior haciendo coincidir su eje horizontal de coordenadas Cartesianas con la línea límite <span style="font-style: italic;">x</span> del plano-medio, tras lo cual podemos llevar a cabo la determinación de la longitud hiperbólica entre los puntos que queramos escoger de la parábola. Por ejemplo, la longitud hiperbólica del segmento de parábola comprendido entre los puntos <span style="font-weight: bold;">A</span>(2,4) y <span style="font-weight: bold;">B</span>(3,9) se determina de la manera siguiente:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioU1tm_GYwpqy7uwb0szNeMGBHg06A9PH_lVVdZHzgI2MOfHrLQLfCUanTFIlHMqGD1dXW6BS9PRhaLGA5iWxD9OOv-57FXampEv7skfL7dydSxyAQOWPbRHxINq-KKjwlHOzoNQPeSl8/s1600/evaluacion+integral.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioU1tm_GYwpqy7uwb0szNeMGBHg06A9PH_lVVdZHzgI2MOfHrLQLfCUanTFIlHMqGD1dXW6BS9PRhaLGA5iWxD9OOv-57FXampEv7skfL7dydSxyAQOWPbRHxINq-KKjwlHOzoNQPeSl8/s1600/evaluacion+integral.png" /></a></div>
<br />
Se puede demostrar, mediante el <i>cálculo de variaciones</i>, que todas las geodésicas en el plano-medio de Poincaré serán necesariamente arcos de circulos centrados en la línea límite (el eje <i>x</i>), de modo tal que esto nos permite definir las únicas dos “rectas” hiperbólicas posibles que puede haber en este plano-medio:<br />
<br />
(1) arcos de círculo centrados en el eje <i>x</i> en donde <i>y</i><span style="color: white;">.</span>=<span style="color: white;">.</span>0<br />
<br />
(2) líneas verticales, perpendiculares al eje <i>x</i>; aunque hay algunos autores que consideran a las líneas verticales como el caso límite de arcos de círculo con un radio infinitamente grande, con lo cual efectivamente todas las geodésicas en el plano medio quedan definidas como arcos de círculos centrados en el eje <i>x</i>. En base a este resultado, en la siguiente figura:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-tWn3dYb3jkOf7frlrDSyMIvTTHF-a1zAKBgOmtU9RymAYIZnh2wJj7KIRhWvmzdiPfdWwh-ivFPyPemJWWmaaz3_G7ekM4XcPeHCK9x-nU4D3qJIk79d-gQrYBTut7sfzg-3nfre7rg/s1600-h/lineas_hiperbolicas.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122518232893861314" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-tWn3dYb3jkOf7frlrDSyMIvTTHF-a1zAKBgOmtU9RymAYIZnh2wJj7KIRhWvmzdiPfdWwh-ivFPyPemJWWmaaz3_G7ekM4XcPeHCK9x-nU4D3qJIk79d-gQrYBTut7sfzg-3nfre7rg/s400/lineas_hiperbolicas.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
todas las líneas <i>k</i>, <i>l</i>, <i>m</i>, <i>n</i> y <i>p</i> son geodésicas (rectas hiperbólicas). Las líneas <i>k</i> y <i>l</i> no son paralelas porque se cruzan. Tampoco lo son las líneas <i>l</i> y <i>m</i> por la misma razón. En cambio, las líneas <i>l</i> y <i>n</i> son paralelas, como también lo son las líneas <i>p</i> y <i>n</i>, como también lo son las líneas <i>m</i> y <i>n</i>. Las líneas hiperbólicas <span style="font-style: italic;">k</span>, <span style="font-style: italic;">m</span> y<span style="font-style: italic;"> n</span> son designadas como <b>divergentemente paralelas</b>, mientras que las líneas <span style="font-style: italic;">p</span> y <span style="font-style: italic;">n</span> son llamadas <b>asintóticamente paralelas</b>. Dados dos puntos <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span> cualesquiera en el plano-medio de Poincaré, este conocimiento nos permite encontrar la geodésica entre los puntos <span style="font-weight: bold;">A</span> y <span style="font-weight: bold;">B</span>; todo lo que tenemos que hacer es trazar un arco de círculo que pase por dichos puntos y que tenga su centro en la línea límite (<span style="font-style: italic;">y</span><span style="color: white;">.</span>=<span style="color: white;">.</span>0). Sabiendo esto, no debe ser ya ningún problema construír un triángulo hiperbólico en el plano-medio de Poincaré cuyos vértices estén situados en los puntos <span style="font-weight: bold;">A</span>, <span style="font-weight: bold;">B</span> y <span style="font-weight: bold;">C</span>, como el que se muestra a continuación:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqmMzcQUQ5BJZJKwcPQ3zSwcqy6KVCI5oLOIu7uLnjjTKtkqbFdRQ0V6xI3veQdMx65PtmWiL1BoGGA6g3Sl-bvYJO3q7MMiRx1NHGwS_VXV1ymLIierADK8yASkPOKIzk-DoIpe6wZ70/s1600-h/triangulo_plano_medio.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5122531929544568290" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqmMzcQUQ5BJZJKwcPQ3zSwcqy6KVCI5oLOIu7uLnjjTKtkqbFdRQ0V6xI3veQdMx65PtmWiL1BoGGA6g3Sl-bvYJO3q7MMiRx1NHGwS_VXV1ymLIierADK8yASkPOKIzk-DoIpe6wZ70/s400/triangulo_plano_medio.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Puesto que los tres círculos sobre los cuales se basó la construcción del triángulo hiperbólico mostrado se pueden recorrer juntos horizontalmente a lo largo de<span style="font-style: italic;"> distancias iguales</span>, tanto a la izquierda como a la derecha, tenemos aquí el equivalente del movimiento de traslación Euclideano de una figura que deja a la figura geométrica inalterada, cambiándola únicamente de lugar. Sin embargo, si el triángulo hiperbólico es desplazado verticalmente, queda claro que el tamaño del triángulo necesariamente cambiará.<br />
<br />
El plano-medio de Poincaré nos es de particular importancia porque<span style="font-style: italic;"> es precisamente lo que se adapta a la geometría desarrollada axiomáticamente por Lobachevski</span>, las matemáticas que se aplican dentro de este modelo y la demostración de los teoremas que se puedan llevar a cabo aquí corresponden a las relaciones hiperbólicas descubiertas por Nicolai Ivanovich Lobachevski.<br />
<br />
Quienes ya leyeron las entradas anteriores puestas en esta bitácora, están familiarizados con el concepto de la <b>perpendicular común</b> que dos rectas paralelas comparten tanto en una geometría esférica como en la geometría Saccheriana. Entonces, al contemplar las líneas "paralelas" en la figura de arriba, tal vez se estén preguntando ya ¿en dónde está la perpendicular común a cada par de rectas paralelas en el plano-medio de Poincaré? La respuesta es: todas las rectas (hiperbólicas) trazadas dentro del plano-medio de Poincaré tienen una perpendicular común con cualquiera de las otras rectas, y esta perpendicular común, siendo también una recta hiperbólica, será también un arco de circunferencia trazado de una paralela a otra, de modo tal que al tocar las dos paralelas formará ángulos rectos con cada una de ellas. A continuación se muestra la perpendicular común <i>pc</i> a las rectas paralelas <i>k</i> y l:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZrbD7Ue2m97EzO8eGKSAuveaHylxDRCgJl3UZFWwTgoIHweWgPzsAmptMwa2kyxEEK4lZzA5ATuqWjSPALw_ve3BQ8wlvN2azaA4Gz2XSblN_0OpGrzpmoXgnUEsZgp8uNUTBppFOClE/s1600-h/perpendicular_comun_1.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123234311316286962" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZrbD7Ue2m97EzO8eGKSAuveaHylxDRCgJl3UZFWwTgoIHweWgPzsAmptMwa2kyxEEK4lZzA5ATuqWjSPALw_ve3BQ8wlvN2azaA4Gz2XSblN_0OpGrzpmoXgnUEsZgp8uNUTBppFOClE/s400/perpendicular_comun_1.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Esta es la única perpendicular común que se muestra, porque en el plano-medio de Poincaré <b>dos rectas hiperbólicas paralelas divergentes pueden tener una y solamente una perpendicular común</b>. Recordemos que tampoco en el cuadrilátero de Saccheri había más de una perpendicular común. Contrástese esto con la geometría Euclideana, en donde dos rectas paralelas tienen una cantidad infinitamente grande de perpendiculares comunes que se pueden trazar de una paralela a la otra. Y como tampoco en la geometría esférica se puede trazar más que una perpendicular común entre dos paralelas (círculos máximos), se concluye que <b>la geometría Euclideana es la única geometría en la cual se puede trazar más de una perpendicular común a dos rectas paralelas</b>.<br />
<br />
A continuación se llevará a cabo la demostración de que en el plano-medio de Poincaré solo es posible trazar una perpendicular común a dos paralelas divergentes. Para simplificar la demostración de este hecho importante, vamos a considerar dos rectas hiperbólicas, una de las cuales es una línea vertical perpendicular al eje <i>x</i> (la cual, como ya se dijo, puede ser considerada como el caso límite de una circunferencia en el plano-medio centrada en el eje <i>x</i> con un radio infinitamente grande). En la siguiente figura se muestran las dos paralelas divergentes <i>k</i> y <i>l</i>, habiéndose trazado también la tangente a la semicircunferencia <b>AB</b> que pasa por el punto de tangencia <b>T</b> y por el punto <b>P</b> en el cual la recta <b>PQ</b> toca al eje <i>x</i>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZ5U1RXMvANLW7jgRN3Uk3VpNJ0UfvbqS5W6jLE-gRU2nHSoKdPhErPyf8TYIH0e25jH5tmtqyVuYwcnHQS8F0Do-NbA7g8lQJgCXV_438QKYbKeD_Je4Tq8J3EAs01HPeHsSpNzbs_eg/s1600-h/perpendicular_comun_2.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123234663503605250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZ5U1RXMvANLW7jgRN3Uk3VpNJ0UfvbqS5W6jLE-gRU2nHSoKdPhErPyf8TYIH0e25jH5tmtqyVuYwcnHQS8F0Do-NbA7g8lQJgCXV_438QKYbKeD_Je4Tq8J3EAs01HPeHsSpNzbs_eg/s400/perpendicular_comun_2.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Entonces, como se muestra en la figura, haciendo centro con un compás en el punto <b>P</b> y trazando un arco de circunferencia que vaya desde la recta <i>k</i> hasta la recta <i>l</i>, tenemos en dicho arco una perpendicular común a las dos rectas hiperbólicas <i>k</i> y <i>l</i>, ya que por ser una perpendicular a la tangente y por ser también una perpendicular a la recta vertical <b>PQ</b>, forma ángulos rectos con ambas líneas <b>AB</b> y <b>PQ</b>. Y como la tangente mostrada es la única que se puede trazar a la recta <b>AB</b> que pase por el punto <b>P</b> (cualquier otra tangente pasará por otro punto que no sea <b>P</b>), se concluye que esta es la única perpendicular común que se puede trazar entre las dos paralelas.<br />
<br />
En relación a la geometría esférica (elíptica), ya habíamos visto que levantando perpendiculares a una recta trazada a lo largo del Ecuador terrestre y marcando distancias iguales en ellas para unirlas, formando así una línea equidistante del Ecuador terrestre, tal línea no podía considerarse como una recta por no ser parte de un círculo máximo. Las rectas paralelas equidistantes no existen sobre la superficie de una esfera. Veremos ahora que lo mismo ocurre en el plano-medio de Poincaré. Empezaremos con la siguiente figura, en la cual se ha trazado una línea <b>OB</b> equidistante de la línea <b>OA</b>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSNUfJHCOQDP-SdUQ_PQRvyrMPaUyedH6SrElvNkik19t0w5JmDj52dOUeZCN3iuR8sVGqmKnPhfH4SWP5vbVJ_GJRUhkj0gKj93QslrM2ZXNqj8btsfYb8aVduhntwZPG3-EZ5toHQDg/s1600-h/equidistantes_hiperbolicas.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123470581762207362" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSNUfJHCOQDP-SdUQ_PQRvyrMPaUyedH6SrElvNkik19t0w5JmDj52dOUeZCN3iuR8sVGqmKnPhfH4SWP5vbVJ_GJRUhkj0gKj93QslrM2ZXNqj8btsfYb8aVduhntwZPG3-EZ5toHQDg/s400/equidistantes_hiperbolicas.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
<b>PQ</b> y <b>RS</b> son rectas hiperbólicas de la misma longitud (medidas hiperbólicamente con la relación matemática dada para definir la longitud hiperbólica). Por lo tanto, los puntos <b>Q</b> y <b>S</b> son equidistantes de la recta hiperbólica <b>OA</b>. Pero la línea <b>OB</b> no es un arco de círculo y por lo tanto no es una recta hiperbólica. Se deduce que una equidistante trazada a una recta hiperbólica en el plano medio de Poincaré no será hiperbólicamente recta. Así pues, ocurre lo mismo que en la geometría esférica. Por lo tanto, <b>la única geometría posible en donde una línea equidistante a una recta dada también será una recta es la geometría Euclideana</b>.<br />
<br />
Podemos utilizar el plano-medio de Poincaré para llevar a cabo la demostración del siguiente<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Teorema</span>: <span style="font-style: italic;">La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo hiperbólico es menor que 180 grados (dos ángulos rectos)</span>.<br />
<br />
Para llevar a cabo esta demostración, considérese la siguiente figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLBOgPUiapOsKOnHIUVkwaHzA522dH-KtmP42WSjSH5JJNnWAm-1bd92ks5UF49bDGESBSNovTl3dNYZlDYTlbedPHliZ6SK7TClWdVe6xhFl-N4D2KcAeiqaBGtvqF4jqiAWpfDMmLIQ/s1600-h/demostracion_suma_angulos.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5125130490578873122" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLBOgPUiapOsKOnHIUVkwaHzA522dH-KtmP42WSjSH5JJNnWAm-1bd92ks5UF49bDGESBSNovTl3dNYZlDYTlbedPHliZ6SK7TClWdVe6xhFl-N4D2KcAeiqaBGtvqF4jqiAWpfDMmLIQ/s400/demostracion_suma_angulos.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Empecemos por examinar el triángulo hiperbólico <b>ABC</b>, el cual dentro del plano-medio de Poincaré es un triángulo rectángulo (el ángulo recto está en el punto <span style="font-weight: bold;">C</span>). Sus lados <span style="font-weight: bold;">a</span>, <span style="font-weight: bold;">b</span> y <span style="font-weight: bold;">c</span> son, respectivamente, un segmento de la perpendicular Euclideana a la línea límite <span style="font-style: italic;">x</span> (<span style="font-weight: bold;">BC</span>), un arco de la circunferencia Euclideana con centro en M (<span style="font-weight: bold;">CA</span>), y un arco de la circunferencia Euclideana con centro en N (<span style="font-weight: bold;">BA</span>). El ángulo en el vértice <span style="font-weight: bold;">A</span> es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias <span style="font-weight: bold;">b</span> y <span style="font-weight: bold;">c</span> en el punto <span style="font-weight: bold;">A</span>, o bien, el ángulo entre los radios <span style="font-weight: bold;">NA</span> y <span style="font-weight: bold;">MA</span> de estas circunferencias. Además, por construcción, el ángulo en el vértice <span style="font-weight: bold;">B</span> es igual al ángulo <span style="font-weight: bold;">BNM.</span><br />
<br />
Se ha construído en el segmento <span style="font-weight: bold;">BN</span>, usándolo a manera de diámetro, la circunferencia Euclideana <span style="font-weight: bold;">q</span>, la cual solo tiene un punto común <span style="font-weight: bold;">B</span> con la circunferencia Euclideana <span style="font-weight: bold;">c</span> en virtud de que su diámetro es el radio de dicha circunferencia <span style="font-weight: bold;">c</span>. Por esta razón el punto <span style="font-weight: bold;">A</span> se encuentra fuera del círculo limitado por la circunferencia <span style="font-weight: bold;">q</span>, y por lo tanto el ángulo en el vértice <span style="font-weight: bold;">A</span> que es igual al ángulo <span style="font-weight: bold;">MAN</span> es menor que el ángulo <span style="font-weight: bold;">MBN</span>. Entonces, en virtud de que, en la figura:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
ángulo(<span style="font-weight: bold;">MBN</span>) + ángulo(<span style="font-weight: bold;">B</span>) = un ángulo recto (90 grados)<span style="font-weight: bold;"></span></div>
<br />
tenemos que:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
La suma de ángulo(<span style="font-weight: bold;">A</span>) + ángulo(<span style="font-weight: bold;">B</span>) <span style="font-weight: bold;">es menor que</span> un ángulo recto (90 grados)</div>
<br />
y por lo tanto, siendo el ángulo en el vértice <span style="font-weight: bold;">C</span> un ángulo recto:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
ángulo(<span style="font-weight: bold;">A</span>) + ángulo(<span style="font-weight: bold;">B</span>) + ángulo(<span style="font-weight: bold;">C</span>) <span style="font-weight: bold;">es menor que</span> dos ángulos rectos (180 grados)</div>
<br />
Demostrado este teorema fundamental en la geometría hiperbólica del plano-medio superior, resulta fácil la demostración del siguiente<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Teorema</span>: <span style="font-style: italic;">La suma de los ángulos del cuadrilátero hiperbólico es menor que 360 grados (cuatro ángulos rectos)</span>.<br />
<br />
Para la demostración basta con dividir el cuadrilátero en dos triángulos.<br />
<span style="font-weight: bold;"><br />
<br />
La trigonometría del triángulo hiperbólico</span><br />
<br />
<br />
La <i>Ley de los Senos</i> y la <i>Ley de los Cosenos</i> (de la cual hay dos versiones, una para los lados y otra para los ángulos) para triángulos hiperbólicos fueron derivadas simultáneamente y de modo independiente por el húngaro Janos Bolyai (1802-1860) y por el ruso Nicolai Lobachevski (1793-1856). Este desarrollo es lo que marca un avance importante sobre la geometría desarrollada por Saccheri basada en su cuadrilátero, la cual era más bien un intento futil de demostrar el postulado de las paralelas de Euclides a partir de los otros postulados. De hecho tanto Bolyai como Lobachevski también estaban buscando demostrar el quinto postulado de Euclides reduciéndolo a la categoría de teorema, pero al ver que tal cosa no era posible tuvieron el coraje intelectual de investigar las consecuencias que derivarían de la negación del quinto postulado de Euclides, descubriendo nuevas fórmulas entre las cuales no era posible hallar ninguna contradicción. Y esto, a fin de cuentas, es lo que pone a prueba cualquier teoría matemática: si partiendo de ciertos principios se incurre en contradicciones, entonces algo en los principios es fallo, pero si por más que se le busque se van derivando una cantidad creciente de teoremas entre los cuales no hay contradicción alguna, entonces se debe aceptar el hecho de que los principios forman parte de un sistema consistente. Naturalmente, si alguien obtuviera alguna contradicción partiendo de los axiomas de la geometría esférica o de la geometría hiperbólica, ello bastaría para enviar abajo toda la estructura. Pero a siglo y medio de los descubrimientos hechos por Bolyai y Lobachevski, nadie ha podido encontrar contradicción alguna, y existe casi la certeza total entre los matemáticos contemporáneos de que tal contradicción no será encontrada. En relación a las fórmulas encontradas por Bolyai y Lobachevski, fue la enorme semejanza de las fórmulas que descubrieron con su contraparte en la geometría Euclideana que esto fue lo que terminó por convencer a ambos de la justeza de la geometría hiperbólica así como de la independencia total de la misma del quinto postulado de Euclides. Otra cosa que también habrá terminado por convencerlos a ambos es que las fórmulas de la geometría hiperbólica se reducen a las mismas fórmulas de la geometría Euclideana cuando las distancias relativas dentro de la geometría hiperbólica se vuelven extremadamente grandes, lo cual tiene el efecto de "aplanar" la hoja hiperbólica. Veamos a continuación algunas de las semejanzas, tomando en cuenta las definiciones aceptadas para las tres funciones básicas de la trigonometría hiperbólica que son definidas de modo similar a las funciones trigonométricas Euclideanas:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGKAwfQMHtWIPUzqBfuHxExo17RmLThLrmmsL14hDDR_PQNo-zdQI5iUuiv6TZRbRUklo1y3saG79sgD84Yy7W1pkYJ8hjynOaH5X9MF9Ft_Ftfze2_F-VgdC3JRfTgmQzHtmNGVqG3PY/s1600-h/seno_hiperbolico.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5126550011629939954" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiGKAwfQMHtWIPUzqBfuHxExo17RmLThLrmmsL14hDDR_PQNo-zdQI5iUuiv6TZRbRUklo1y3saG79sgD84Yy7W1pkYJ8hjynOaH5X9MF9Ft_Ftfze2_F-VgdC3JRfTgmQzHtmNGVqG3PY/s400/seno_hiperbolico.png" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt3C4ksGEJ8SF-amisGtHlyX8z94XdNjeGib0yiNW2npFruAvtkUzUhA1LzL0tYOGMjZ06ert8j0UUemhuLJFolw_QqmhH6WVb-6iDnnP5UIV_X9FK61gGM2dU_Y6vq9g3i4j9F9YJ_Ac/s1600-h/coseno_hiperbolico.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5126550368112225538" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt3C4ksGEJ8SF-amisGtHlyX8z94XdNjeGib0yiNW2npFruAvtkUzUhA1LzL0tYOGMjZ06ert8j0UUemhuLJFolw_QqmhH6WVb-6iDnnP5UIV_X9FK61gGM2dU_Y6vq9g3i4j9F9YJ_Ac/s400/coseno_hiperbolico.png" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZ6hU22JM75cDEpDzqgL5oYHTvhv9ONxtOqtxO7cHMSz6kpNljjKoY2VWk6LE4w7MgQiX_5n64qbdodK0Z0yJrISNbktzYKHsnS82zcbFfbEPnpSB6kjd1crBJsr1NT-Pu3Imkz8rerqI/s1600-h/tangente_hiperbolica.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5126550780429085970" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZ6hU22JM75cDEpDzqgL5oYHTvhv9ONxtOqtxO7cHMSz6kpNljjKoY2VWk6LE4w7MgQiX_5n64qbdodK0Z0yJrISNbktzYKHsnS82zcbFfbEPnpSB6kjd1crBJsr1NT-Pu3Imkz8rerqI/s400/tangente_hiperbolica.png" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
En primer lugar, tenemos la conocida <b>Ley de los Senos</b> de la geometría Euclideana:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6-cY3K6XDPJynCqg34s6PNA47EAmyshfuAcB4up2IWpNmLWZd3N7fOG9KEQJJZz8NzpwmX93ng0HEjukEitgVq1m-cvgoo4BIVgtDwMpeyNI6NWJQ1HisNX5SyYqv4d_e34IwPrs4rmk/s1600-h/ley_de_los_senos.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123252904229711394" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6-cY3K6XDPJynCqg34s6PNA47EAmyshfuAcB4up2IWpNmLWZd3N7fOG9KEQJJZz8NzpwmX93ng0HEjukEitgVq1m-cvgoo4BIVgtDwMpeyNI6NWJQ1HisNX5SyYqv4d_e34IwPrs4rmk/s400/ley_de_los_senos.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
A continuación, tenemos la <b>Ley de los Senos Hiperbólica</b>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_jNvKLF7U3dc8AbxC_ZiUN4UAce3JtCj3ZVDYfnhSMiVllM7eiVJwQZUSogPGbS3XxEdtlqCqwxKczJEQrujjTPd_oBmB9ZNNY-jsRHiZ9IOYLsULStoxv80mEr6CAhJnaAOQT7nZ1Jo/s1600-h/ley_de_los_senos_hiperbolica.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123253423920754226" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_jNvKLF7U3dc8AbxC_ZiUN4UAce3JtCj3ZVDYfnhSMiVllM7eiVJwQZUSogPGbS3XxEdtlqCqwxKczJEQrujjTPd_oBmB9ZNNY-jsRHiZ9IOYLsULStoxv80mEr6CAhJnaAOQT7nZ1Jo/s400/ley_de_los_senos_hiperbolica.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
En la geometría Euclideana, una importante identidad trigonométrica nos dice que, para todo triángulo rectángulo, el cuadrado del seno de un ángulo sumado al cuadrado del coseno de dicho ángulo es igual a la unidad, o sea:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 130%;">sen²(x) + cos²(x) = 1</span></div>
<br />
Comparemos esta fórmula con su contraparte hiperbólica:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 130%;">cosh²(x) - senh²(x) = 1</span></div>
<br />
Como una muestra de la verificación de fórmulas trigonométricas hiperbólicas, a continuación tenemos el procedimiento para comprobar la validez de esta última fórmula:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIxaRDUGqjGEuweK6fk-GHc86LwB1hhUwpdEJ-njFb32rJYaLawrchS38v-C0J0RAstBKPlvrOFZflodpx84PlH5IyJat43CIaBEKtuLkkk6Kv1NxueMgJL8I0XqIUYFFBizxy7shToBo/s1600/verificacion_identidad_hiperbolica.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIxaRDUGqjGEuweK6fk-GHc86LwB1hhUwpdEJ-njFb32rJYaLawrchS38v-C0J0RAstBKPlvrOFZflodpx84PlH5IyJat43CIaBEKtuLkkk6Kv1NxueMgJL8I0XqIUYFFBizxy7shToBo/s1600/verificacion_identidad_hiperbolica.png" /></a></div>
<br />
Como otra muestra de la verificación de fórmulas trigonométricas hiperbólicas, a continuación tenemos el procedimiento para comprobar que <span style="font-style: italic;">el coseno hiperbólico de la suma de dos ángulos hiperbólicos </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">x</span><span style="font-style: italic;"> y </span><span style="font-style: italic; font-weight: bold;">y</span><span style="font-style: italic;"> es igual al producto del coseno hiperbólico de cada uno de dichos ángulos sumado al producto del seno hiperbólico de dichos ángulos</span>:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikWuw4xj0tFFrSYnvCTzJ3ZkRqgtCScpQdmJ2DSPN_YAUK9CC0hjrC8vADMd2o7VER3lBuDSyM_TSZzgMNb0NRXHVg1V9mgTBoBU4nOJaIj5_N7aUDSIoisrmJK3Lzh7tQnzavyg6fstg/s1600/desarrollo_formula_hiperbolica_adicion_cosenos.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEikWuw4xj0tFFrSYnvCTzJ3ZkRqgtCScpQdmJ2DSPN_YAUK9CC0hjrC8vADMd2o7VER3lBuDSyM_TSZzgMNb0NRXHVg1V9mgTBoBU4nOJaIj5_N7aUDSIoisrmJK3Lzh7tQnzavyg6fstg/s1600/desarrollo_formula_hiperbolica_adicion_cosenos.png" /></a></div>
<br />
Comparemos esta fórmula hiperbólica con su contraparte Euclideana:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-size: 130%;">cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)</span></div>
<br />
Veamos ahora la fórmula para la tangente hiperbólica de la suma de dos ángulos <i>x</i> y <i>y</i>:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpuv8fnjFno0j-E4pq2NHMEgRSJcUr3UYWkBQ8_DzCoCV2-jeAQupWj3AGyMcFEyqGtfsTHaGNieb0rj7TFRV5GoLuWVKDVrFt62pBm6uXdtdSjVuBUdUdQGPphx9l23lzO1YCcrthwx8/s1600-h/suma_tangentes_hiperbolicas.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123254111115521602" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpuv8fnjFno0j-E4pq2NHMEgRSJcUr3UYWkBQ8_DzCoCV2-jeAQupWj3AGyMcFEyqGtfsTHaGNieb0rj7TFRV5GoLuWVKDVrFt62pBm6uXdtdSjVuBUdUdQGPphx9l23lzO1YCcrthwx8/s400/suma_tangentes_hiperbolicas.png" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
<br />
Comparemos esta fórmula con su contraparte Euclideana:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHF99Ty3iYZAi4P6wUP8x1XBbmy-AtKG_er14xUZ0V-TNaoO2lfp07bWd1Glo5P1scvRV4mtebIKaRgBfuoZ_PU1kIeu6HMhFl6FOmhYcyULOoYZ_XoMBnZ8v9-Rgw8Ww5XR2hotz-Yuk/s1600-h/suma_tangentes_euclideana.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123272356136595058" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHF99Ty3iYZAi4P6wUP8x1XBbmy-AtKG_er14xUZ0V-TNaoO2lfp07bWd1Glo5P1scvRV4mtebIKaRgBfuoZ_PU1kIeu6HMhFl6FOmhYcyULOoYZ_XoMBnZ8v9-Rgw8Ww5XR2hotz-Yuk/s400/suma_tangentes_euclideana.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Hay de hecho una regla, conocida como la <span style="font-style: italic;">regla de Osborne</span>, que nos dice que uno puede convertir cualquier identidad trigonométrica en una identidad hiperbólica, expandiéndola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando el <span style="font-weight: bold;">seno</span> (<span style="font-style: italic;">sen</span>) a seno hiperbólico (<span style="font-style: italic;">senh</span>) y el coseno (<span style="font-style: italic;">cos</span>) a coseno hiperbólico <span style="font-style: italic;">(cosh</span>), cambiando el signo de cada término que contenga el producto de dos senos hiperbólicos.<br />
<br />
Resulta instructivo hacer algunos cálculos dentro del entorno de la geometría hiperbólica, razón por la cual haremos eso a continuación.<br />
<br />
El primer problema que resolveremos es el siguiente:<br />
<br />
Si tenemos un triángulo hiperbólico cuyos ángulos internos son <span style="font-weight: bold;">A</span>=10°, <span style="font-weight: bold;">B</span>=20° y <span style="font-weight: bold;">C</span>=40°, ¿cuáles son las longitudes (hiperbólicas) de sus tres lados <span style="font-weight: bold;">a</span>, <span style="font-weight: bold;">b</span> y <span style="font-weight: bold;">c</span>?<br />
<br />
Para resolver este problema utilizaremos la <span style="font-weight: bold;">Ley Hiperbólica de los Cosenos para los Angulos</span> en la determinación de la longitud hiperbólica del lado <span style="font-weight: bold;">a</span>, con expresiones similares para obtener las longitudes hiperbólicas de los lados restantes:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
cos(<span style="font-weight: bold;">A</span>) = -cos(<span style="font-weight: bold;">B</span>)•cos(<span style="font-weight: bold;">C</span>) + sen(<span style="font-weight: bold;">B</span>)•sen(<span style="font-weight: bold;">C</span>)•cosh(<span style="font-weight: bold;">a</span>)</div>
<br />
La solución procede de la siguiente manera:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZCHpvG2_rGCWwiartBWLyfYQVitoOPQ_9XIx-qALAnP8AMs3QCH4F_kASokNc0p52aO1Occ88Jncds2rGiMuNKgthror2lBUFK8z0ANqm3g-bgbZwBl0v2oPEGq4O7lwJ05dTZrNkQ8I/s1600/problema_trigonometria_hiperbolica_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZCHpvG2_rGCWwiartBWLyfYQVitoOPQ_9XIx-qALAnP8AMs3QCH4F_kASokNc0p52aO1Occ88Jncds2rGiMuNKgthror2lBUFK8z0ANqm3g-bgbZwBl0v2oPEGq4O7lwJ05dTZrNkQ8I/s1600/problema_trigonometria_hiperbolica_1.png" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
El segundo problema que resolveremos es el siguiente:<br />
<br />
Si tenemos un triángulo cuyos lados son <span style="font-weight: bold;">a</span>=3, <span style="font-weight: bold;">b</span>=4 y <span style="font-weight: bold;">c</span>=5, ¿cuáles son los ángulos internos en los vértices de este triángulo? ¿Cuál es el área (hiperbólica) de dicho triángulo?<br />
<br />
Para resolver este problema utilizaremos la <span style="font-weight: bold;">Ley Hiperbólica de los Cosenos para los Lados</span> en la determinación del ángulo en el vértice <span style="font-weight: bold;">A</span>, con expresiones similares para obtener los ángulos correspondientes a los vértices restantes:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
cosh(<span style="font-weight: bold;">a</span>) = cosh(<span style="font-weight: bold;">b</span>)•cosh(<span style="font-weight: bold;">c</span>) - senh(<span style="font-weight: bold;">b</span>)•senh(<span style="font-weight: bold;">c</span>)•cos(<span style="font-weight: bold;">A</span>)</div>
<br />
La solución procede de la siguiente manera:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi49fnVa3sdMD7S9jG04_H1dekWZDUrCSO1TC80IfkRTN27siwKKf2DHcAKwReqYnD5z6LZwO-SPaXCmPnuZiyDIz9j_hk6WSzpSZ2sx057B0FVUSmOyoTs5cY_HJimwU3tSS0zHuJN4-U/s1600/problema_trigonometria_hiperbolica_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi49fnVa3sdMD7S9jG04_H1dekWZDUrCSO1TC80IfkRTN27siwKKf2DHcAKwReqYnD5z6LZwO-SPaXCmPnuZiyDIz9j_hk6WSzpSZ2sx057B0FVUSmOyoTs5cY_HJimwU3tSS0zHuJN4-U/s1600/problema_trigonometria_hiperbolica_2.png" /></a></div>
<br />
En lo que respecta al área del <i>triángulo hiperbólico</i>, el concepto se nos dificulta algo porque estrella directamente en contra de nuestra intuición ordinaria a la que estamos acostumbrados. En el espacio Euclideano que nos es familiar, un triángulo cuyos tres lados sean respectivamente <span style="font-weight: bold;">a</span>=3, <span style="font-weight: bold;">b</span>=4 y <span style="font-weight: bold;">c</span>=5, es un triángulo rectángulo, de hecho un triángulo en el que se cumple el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras">Teorema de Pitágoras</a> y en el cual uno de cuyos ángulos internos es un ángulo recto de 90 grados. Pero en el espacio hiperbólico, esto ya no es así, y un primer resultado que suele dejar perplejo a quienes estudian el tema por vez primera es que la suma de los ángulos internos de un triángulo hiperbólico, a diferencia de cualquier triángulo en el espacio Euclideano en el cual la suma de los ángulos internos siempre suma 180 grados (lo cual es un teorema que suele demostrarse por procedimientos de construcción geométrica), siempre es menor a 180 grados. Hay, desde luego, un “Teorema de Pitágoras” análogo para triángulos en el espacio hiperbólico, pero el curioso tiene que estar preparado para sorpresas tales como el hecho de que en la geometría hiperbólica, en contraste con la geometría Euclideana, la longitud de la hipotenusa <i>no</i> es substancialmente más corta que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Y tal vez la definición más sorprendente en torno a ésto es que el área de un triángulo cualquiera en el espacio hiperbólico llamada el <i>defecto del triángulo</i> se define mediante los valores de sus tres ángulos internos. Conociendo los valores de los tres ángulos internos del triángulo hiperbólico expresados en radianes, resulta fácil a través del defecto <span style="font-weight: bold;">δ</span> del triángulo obtener el área del mismo cuando sus ángulos internos son <span style="font-weight: bold;">A</span>, <span style="font-weight: bold;">B</span> y <span style="font-weight: bold;">C</span> mediante la siguiente fórmula definitoria del área de un triángulo hiperbólico:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-weight: bold;">δ</span> = <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> - (<span style="font-weight: bold;">A</span> + <span style="font-weight: bold;">B</span> + <span style="font-weight: bold;">C</span>)</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-weight: bold;">δ</span> = <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> - (0.09178919299 + 0.2523642536 + 0.7463119988)<br />
<span style="font-weight: bold;"></span><span style="font-weight: bold;"></span></div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<span style="font-weight: bold;">δ</span> = 2.051127211</div>
<br />
Por increíble que esto pueda parecer al principio, ésta es el <i>área del triángulo hiperbólico</i> del segundo problema que hemos considerado. La demostración de identidades trigonométricas hiperbólicas procede de forma muy parecida a como se lleva a cabo en la trigonometría Euclideana. Por ejemplo, para demostrar la siguiente relación, válida para todo triángulo rectángulo (hiperbólico) con ángulos internos <span style="font-weight: bold;">A</span>, <span style="font-weight: bold;">B</span> y <span style="font-weight: bold;">C</span> y con un ángulo recto en el vértice opuesto al lado <span style="font-weight: bold;">c</span>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
cos(<span style="font-weight: bold;">A</span>) = cosh(<span style="font-weight: bold;">a</span>)•sen(<span style="font-weight: bold;">B</span>)</div>
<br />
el procedimiento de demostración es el siguiente (en el segundo paso se utiliza el equivalente hiperbólico del <span style="font-style: italic;">teorema de Pitágoras</span>):<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF4qHfW5bTf8gmDQxs7i_ZulkDSSlufUjPqn1cyKdCMX7IB6i7Y2Dkfb6YFapFdgVMno5iv-9JsnUlphh_8iCEPf9G8YnQShKME8HKFQrkxA87R5ZwfsvzK2Y3rt5nK06m1ZjCaPF1pFM/s1600-h/demostracion_1.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5126533716524018914" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgF4qHfW5bTf8gmDQxs7i_ZulkDSSlufUjPqn1cyKdCMX7IB6i7Y2Dkfb6YFapFdgVMno5iv-9JsnUlphh_8iCEPf9G8YnQShKME8HKFQrkxA87R5ZwfsvzK2Y3rt5nK06m1ZjCaPF1pFM/s400/demostracion_1.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
Y para obtener la siguiente relación para el mismo triángulo hiperbólico trigonométrico:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
cot(<span style="font-weight: bold;">A</span>)•cot(<span style="font-weight: bold;">B</span>) = cosh(<span style="font-weight: bold;">c</span>)</div>
<br />
el procedimiento de demostración es el siguiente:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKELzdQkMGScH7DYh1qfj1mY6Bl0UJ9mgLsKPN2sJFhuzMNU8z2i3fXBXEB2f0aX1YUUbN7iwJpAfxXnFEOJnn1o_mPK5NriN0kbKhyxYCqkEZhAIqD1KYvdyNRj0eqhDZZnBtYc6-Mw/s1600-h/demostracion_2.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5126532037191806162" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiqKELzdQkMGScH7DYh1qfj1mY6Bl0UJ9mgLsKPN2sJFhuzMNU8z2i3fXBXEB2f0aX1YUUbN7iwJpAfxXnFEOJnn1o_mPK5NriN0kbKhyxYCqkEZhAIqD1KYvdyNRj0eqhDZZnBtYc6-Mw/s400/demostracion_2.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
De este modo, podemos desarrollar un curso completo de <span style="font-style: italic;">trigonometría hiperbólica</span>, el cual puede ser llevado aún más lejos extendiéndolo hacia una <i>geometría analítica hiperbólica</i>. Para el cual, desafortunadamente, ya no hay espacio disponible ni siquiera en muchos de los programas universitarios de licenciatura en matemáticas. Los lectores observadores habrán notado que, por la forma en la que están definidas las funciones hiperbólicas, podemos obtener de inmediato las derivadas de las mismas. E inclusive en lugar de la variable real <i>x</i> que utilizamos como argumento en las funciones trigonométricas hiperbólicas, podemos utilizar una <b>variable compleja <i>z</i></b> definida como:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b><i>z</i></b> = <b><i>x</i></b> + <b>i<i>y</i></b></div>
<br />
en donde <b>i</b> es la representación simbólica de la raíz cuadrada de -1, con lo cual podemos desarrollar muchas relaciones nuevas. Como puede verse, el campo por cubrir es amplio, y aquí apenas hemos tocado la superficie.<br />
<br />
<br />
<b>Sobre los signos de las curvaturas de las superficies</b><br />
<br />
<br />
Al hablar sobre superficies en geometrías no-Euclideanas, es común asignarles un signo positivo o negativo a las áreas representadas en alguna hoja que aquí designaremos como <b>carta</b> (<i>manifold</i>), usándose aquí el concepto de carta suponiendo una hoja (Euclideana o no-Euclideana) infinitamente grande en la cual se monta la región bajo estudio, trátese de un triángulo, un cuadrilátero, un polígono, o cualquier otra figura geométrica. <i>Por convención</i>, una superficie tiene una curvatura positiva si es "cóncava-cóncava" o "convexa-convexa", mientras que una superficie tiene una curvatura negativa si es "cóncava-convexa" o "convexa-cóncava". Como esta jerigonza matemática en sí no es muy ilustrativa aunque sea muy precisa, las definiciones de los signos se aclararán mejor de la siguiente manera: Tomemos la región bajo estudio y tracemos dos <i>rectas</i> sobre la misma de modo tal que se crucen <i>a ángulos rectos</i>. Si las dos rectas se tuercen <i>en la misma dirección</i>, decimos que una superficie delimitada en dicha región tiene una <b>curvatura positiva</b>. Claramente, esto es lo que ocurre sobre la superficie de una esfera, razón por la cual a una región localizada dentro la geometría esférica se le asigna una curvatura <b>positiva</b>. Sin embargo, si las dos rectas se tuercen <i>en direcciones opuestas</i> (como ocurriría sobre la superficie de una "silla de montar" como la carta -hoja- del paraboloide hiperbólico que está entre lo más cercano que tenemos para representar una superficie hiperbólica en tres dimensiones) decimos que una región localizada dentro de la geometría hiperbólica tiene una curvatura <b>negativa</b>. Y una curvatura de <b>cero</b> significa que por lo menos una de las rectas trazadas sobre tal superficie realmente es una línea recta en el sentido Euclideano, sin curvatura de ningún tipo, como ocurre en la superficie de un cilindro en la cual, dicho sea de paso, permite el trazado de rectas paralelas Euclideanas que nunca se cruzarán. La geometría Euclideana, el plano sobre el cual Euclides realizó todas sus demostraciones, obviamente tiene una curvatura cero. A continuación tenemos una comparación de los tres tipos de curvatura (positiva, negativa, cero) en tres figuras distintas:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<b>Curvatura positiva</b>:<br />
<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBND6Ko0y1ysw3QxrMgTt9iLWnFKDTrfFXMlo8Cx2ATfMXlaV4RGielvfweZ6MOssGJFeadjHwRtiNfNnh5232OTT_LCWZWKiYYub7lnzEnawJ_rSO1tiUopf9Tah9j8RYF8_Ue04VtMk/s1600-h/esfera.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123500942886022882" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBND6Ko0y1ysw3QxrMgTt9iLWnFKDTrfFXMlo8Cx2ATfMXlaV4RGielvfweZ6MOssGJFeadjHwRtiNfNnh5232OTT_LCWZWKiYYub7lnzEnawJ_rSO1tiUopf9Tah9j8RYF8_Ue04VtMk/s400/esfera.gif" style="cursor: pointer;" /></a><br />
<br />
<br />
<b>Curvatura negativa</b>:<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzk8mDTre-2_JfSSQyg0vOshCi-WEsfTKB0A_RFj0uL0D4h5e_OyWoGS8VdK-ZOaDIbRCVeXbM5QXsfGjXgdp49xpTzNG7TxZGpawpwf3HZ2jWcmXMSrMTMMPmHg1og5lNjPbIIDbmbog/s1600-h/seudoesfera.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123501449692163826" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgzk8mDTre-2_JfSSQyg0vOshCi-WEsfTKB0A_RFj0uL0D4h5e_OyWoGS8VdK-ZOaDIbRCVeXbM5QXsfGjXgdp49xpTzNG7TxZGpawpwf3HZ2jWcmXMSrMTMMPmHg1og5lNjPbIIDbmbog/s400/seudoesfera.gif" style="cursor: pointer;" /></a><br />
<br />
<br />
<b>Curvatura cero</b>:<br />
<br />
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQyZKn08a3BibdC-hdoWMrP3n128GmrttEXU0YAIAAN_UhnJObNPskrKsf69N_sYG0Le3YVDTPMMvAFt-hZK7OE1vzX78SyvKbHawjvdDe790EPKKouUpX28lijCqie5x81-K2WKSFHB4/s1600-h/cilindro_parabolico.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123501995153010434" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQyZKn08a3BibdC-hdoWMrP3n128GmrttEXU0YAIAAN_UhnJObNPskrKsf69N_sYG0Le3YVDTPMMvAFt-hZK7OE1vzX78SyvKbHawjvdDe790EPKKouUpX28lijCqie5x81-K2WKSFHB4/s400/cilindro_parabolico.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
La última superficie, con curvatura cero, es conocida como un <b>cilindro parabólico</b>. Sin embargo, no es en realidad un cilindro, porque en un cilindro las líneas trazadas sobre su superficie que son perpendiculares a su eje de simetría se vuelven a encontrar al darle la vuelta al círculo que encierran, mientras que en el "cilindro" parabólico estas líneas se separan indefinidamente sin volverse a encontrar. Esta curva es obtenida desplazando una curva parabólica del tipo <span style="font-style: italic;">y=ax²</span> a lo largo de un eje perpendicular al plano en el que se encuentra la parábola.<br />
<br />
La superficie que exhibe una curvatura negativa merece atención especial. Esta superficie es generada por una curva plana conocida como la <i>tractriz</i>:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjkvWYqnNZH4YXizXEemOg5vq811wymWsHTk85bPVGVu9Xh-JCG1H2INrTsSiFCWUVM3SVoFzsBP-i2HdwdzWo5W1v2BRks1o86A5UnmDTI5if185lVr6NAUkHO7YBU5-4w31qDQ0q__8/s1600-h/curva_tractriz.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123472020576251570" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjjkvWYqnNZH4YXizXEemOg5vq811wymWsHTk85bPVGVu9Xh-JCG1H2INrTsSiFCWUVM3SVoFzsBP-i2HdwdzWo5W1v2BRks1o86A5UnmDTI5if185lVr6NAUkHO7YBU5-4w31qDQ0q__8/s400/curva_tractriz.png" style="cursor: pointer;" /></a></div>
<br />
<br />
En el plano Cartesiano, la curva es trazada por las siguientes fórmulas paramétricas:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<i>x</i> = 1/cosh(<i>t</i>)<br />
<br />
<i>y</i> = <i>t</i> - tanh(<i>t</i>)</div>
<br />
La presencia de funciones trigonométricas hiperbólicas en la generación de la tractriz sugiere que esta curva puede ser importante en el estudio de la geometría hiperbólica. Y de hecho, lo es. Si se hace girar a la tractriz alrededor del eje horizontal <i>x</i>, se generará una superficie conocida como la <b>seudoesfera</b>, de la cual se muestra otra vista diferente:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<i><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEivoQnyXTLMfoHEyUZyYMCD-o7If6DHsVIiE7S8I12kpjSR2wgXqkBWn_F0GysJKb70jbsfKvNQ6xZisQSMfRvqsxO5E4MKeK7RvhkplMDBu-3TYAMCEj2Rqd2bJVVKwtYaZagDvwQ_xGM/s1600-h/seudoesfera_ampliada.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123472707771018946" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEivoQnyXTLMfoHEyUZyYMCD-o7If6DHsVIiE7S8I12kpjSR2wgXqkBWn_F0GysJKb70jbsfKvNQ6xZisQSMfRvqsxO5E4MKeK7RvhkplMDBu-3TYAMCEj2Rqd2bJVVKwtYaZagDvwQ_xGM/s400/seudoesfera_ampliada.png" style="cursor: pointer;" /></a></i></div>
<br />
La seudoesfera es también conocida como la <b>tractoide</b> precisamente por derivar de una tractriz. Esta superficie comparte con la esfera la propiedad de que cualquier parte de la misma exhibe <i>la misma curvatura</i> (estamos hablando de la curvatura de una superficie, no de la curvatura de una línea), una curvatura constante. Mientras que para la esfera su curvatura constante es positiva, para la seudoesfera (tractoide) su curvatura constante es negativa. Por esta ventajosa propiedad, la seudoesfera <i>fue precisamente la superficie utilizada por Beltrami para zanjar de una vez por todas el asunto sobre si la geometría hiperbólica descubierta simultáneamente por Janos Bolyai y Nicolai Lobachevski podía ser considerada una geometría tan consistente como la geometría Euclidana, clásica</i> (la palabra empleada es <span style="font-weight: bold;">equiconsistencia</span>), lo cual logró demostrar. Esto no significa que Beltrami haya logrado demostrar la consistencia total de ambas geometrías, dándonos la garantía absoluta de que tarde o temprano no surgirán contradicciones internas al penetrar en la demostración de nuevos teoremas. Lo que demostró Beltrami es que si la geometría hiperbólica es inconsistente, entonces la geometría Euclideana también lo será, y viceversa.Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-2296882799467075375.post-32454730011789380042007-09-29T01:00:00.000-07:002011-04-13T12:23:52.660-07:00Suplemento # 2<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s1600-h/introduccion.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"> <img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5117217040659753666" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRi0j7Mp6WSK_MPjTi-gHZZP3e1W7PaZxQqNPzHDkJarYYGYEdIF7F0Sc7bQQ3WkqeXPRpLTlX7KGfrZW6pd7M4GLtVeR_cMlYr1zPj77OIWAt9pYsJeWZ_YPrMnlCGDUNZr0MiDSjz10/s400/introduccion.gif" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
<span style="font-weight: bold;">Las áreas dentro de la geometría del plano-medio</span><br />
<br />
<br />
Esta sección es una continuación de lo tratado en el <i>Suplemento # 1</i>, en donde las nociones de longitudes en el plano-medio superior de Poincaré son extendidas al concepto de <i>superficies</i> en ese mismo plano hiperbólico.<br />
<br />
Habiendo encontrado la manera de poder asignarle un número a las longitudes medidas en el plano-medio superior, el siguiente paso es tratar de encontrar una manera para poder medir las áreas hiperbólicas limitadas dentro de cierta región del espacio. Para ello, considérese el siguiente dibujo en el cual se han levantado dos perpendiculares al eje <span style="font-style: italic;">x</span>, con la perpendicular izquierda coincidiendo con lo que vendría siendo el eje <span style="font-style: italic;">y</span> de un plano Cartesiano, y con tres regiones rectangulares identificadas entre dichas líneas verticales (la región 1 de color ciano, la región 2 de color rosa, y la región 3 de color amarillo, esta última extendiéndose arriba hasta el infinito):<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiF9RXhoaX49tLaMX6YxUbzktS24QhOoarVrGJtVnTR3SjLsGIBpzfPCLvNtawzExy2dcjGe7RlMF_sMogdNLV560xJQhCUclLB-cErW-O23eZZFZG_CX9ewDd9V6WJO2yJ0RUWY05Dfgc/s1600-h/superficies_hiperbolicas_rectangulares.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5124022712693010226" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiF9RXhoaX49tLaMX6YxUbzktS24QhOoarVrGJtVnTR3SjLsGIBpzfPCLvNtawzExy2dcjGe7RlMF_sMogdNLV560xJQhCUclLB-cErW-O23eZZFZG_CX9ewDd9V6WJO2yJ0RUWY05Dfgc/s400/superficies_hiperbolicas_rectangulares.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Si estuviéramos en la geometría Euclideana, la región 1 indudablemente tendría una área de 1 metro cuadrado (o 1 centímetro cuadrado, o lo que sea según la unidad que se use para medir distancias), la región 2 también tendría una área igual al área de la región 1, mientras que la región 3, extendiéndose hacia arriba ilimitadamente, tendría una área infinitamente grande. Pero no estamos ya en el plano Euclideano, estamos en el plano hiperbólico, en donde las cosas actúan de modo distinto.<br />
<br />
Primero obtendremos el área de la región 1 situada entre los vértices <span style="font-weight: bold;">A</span>, <span style="font-weight: bold;">B</span>, <span style="font-weight: bold;">C</span> y <span style="font-weight: bold;">D</span>, después obtendremos el área entre los vértices <span style="font-weight: bold;">C</span>, <span style="font-weight: bold;">D</span>, <span style="font-weight: bold;">E</span> y <span style="font-weight: bold;">F</span>, y por último veremos que podemos hacer con la región amarilla. Pero antes de hacer tal cosa, tenemos que encontrar alguna definición para nuestra área hiperbólica. Una extensión natural a la definición de área en la geometría plana Euclideana dentro de una región <b><i>R</i></b>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4BgaEpi9X9U-q-l51DV2UPq-MmaFz8HmPCPCVAfiGlpeAFsJaLDoDsv3yHf6eN9SdAmw4CuMk9TfufYQ1upMoNiQFfNeBpwhG58XFW69rr7sphff2uRiQLdonYbHXty8jc2eqs4Yvjpk/s1600-h/formula_superficie_Euclideana.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5185425162193534882" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4BgaEpi9X9U-q-l51DV2UPq-MmaFz8HmPCPCVAfiGlpeAFsJaLDoDsv3yHf6eN9SdAmw4CuMk9TfufYQ1upMoNiQFfNeBpwhG58XFW69rr7sphff2uRiQLdonYbHXty8jc2eqs4Yvjpk/s400/formula_superficie_Euclideana.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
inspirada en la redefinición que se había dado en el plano-medio de Poincaré para la <i>longitud</i> hiperbólica sería la siguiente al tratarse de una superficie limitada en una región <b><i>R</i></b>:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJiGrSzXJtZdFCeo4cSlnvjW4vhP9wFEoOWzDSFgHRMYONphe34-_xyYAYBAL0whb9q3qUb1M2x2zmwopMnDqjv8SnvQMT3RekdT4LIO6UbkNwYfQ3RPGrUiUDdGk8yhhreZjja3rI94A/s1600-h/formula_superficie_no-Euclideana.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5185425613165100978" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJiGrSzXJtZdFCeo4cSlnvjW4vhP9wFEoOWzDSFgHRMYONphe34-_xyYAYBAL0whb9q3qUb1M2x2zmwopMnDqjv8SnvQMT3RekdT4LIO6UbkNwYfQ3RPGrUiUDdGk8yhhreZjja3rI94A/s400/formula_superficie_no-Euclideana.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Usemos esta definición para calcular las áreas de las tres regiones señaladas en la figura de arriba. Empezaremos con el cálculo de la <span style="font-style: italic;">superficie hiperbólica</span> <span style="font-size: 130%;">S<sub style="font-weight: bold;">h</sub></span> para la región 2:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsRy7_a-Bc7nOe9MUu4te5RYbxVCPqAHroUHq3XO0Q-LBVRpXXLwhA0dAEyqWn8lbRsXAKTn5vCGj-L0Lqvgk6xgKmXJHg_jDbT69k5bVx1pJPxw6EtSZhmki56iSaTi6gmsuVc4pbnRM/s1600/integral_1_Sh.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsRy7_a-Bc7nOe9MUu4te5RYbxVCPqAHroUHq3XO0Q-LBVRpXXLwhA0dAEyqWn8lbRsXAKTn5vCGj-L0Lqvgk6xgKmXJHg_jDbT69k5bVx1pJPxw6EtSZhmki56iSaTi6gmsuVc4pbnRM/s1600/integral_1_Sh.png" /></a></div><br />
A continuación, se calculará la superficie hiperbólica de la región 1:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgO7pGNf65chVvJ_uHgtjjnYBgVbEej5Y8j5-X1757my1ReDNsVzlaOyLZukSOOmoMzxnbhq0cf6k4jngpAwhAbaKNsZ0pOvvM4eL79qyiQQdmw6VQ9kKsCzkLh5WiBnHX_jfrMctD_GY8/s1600/integral_2_Sh.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgO7pGNf65chVvJ_uHgtjjnYBgVbEej5Y8j5-X1757my1ReDNsVzlaOyLZukSOOmoMzxnbhq0cf6k4jngpAwhAbaKNsZ0pOvvM4eL79qyiQQdmw6VQ9kKsCzkLh5WiBnHX_jfrMctD_GY8/s1600/integral_2_Sh.png" /></a></div><br />
Por último, se llevará a cabo el cálculo de la superficie hiperbólica de la región 3:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRxtIBBdp9sZXaQy9Po83e2EdXiCnpG5ZJZUo2s4TopjQ_Bj4WiRjw6bmyQZsXJS4XDp3T8Q6WST4zn7z6MZH-vIKnWnxDzD8HvZ0rf_fB1_7BNhL8ea4MABwZHhmGYtMoCeOfwKlmVQA/s1600/integral_3.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRxtIBBdp9sZXaQy9Po83e2EdXiCnpG5ZJZUo2s4TopjQ_Bj4WiRjw6bmyQZsXJS4XDp3T8Q6WST4zn7z6MZH-vIKnWnxDzD8HvZ0rf_fB1_7BNhL8ea4MABwZHhmGYtMoCeOfwKlmVQA/s1600/integral_3.PNG" /></a></div><br />
Las tres regiones mostradas en el ejemplo anterior no forman cada una de ellas un rectángulo en el plano-medio de Poincaré, puesto que para tener tal cosa se requiere que los dos pares de rectas paralelas que determinan a un rectángulo sean rectas <i>hiperbólicas</i>, las cuales deben ser líneas verticales perpendiculares al eje<span style="font-style: italic;"> x</span> o arcos de círculos centrados en el eje <i>x</i>, y claramente las líneas horizontales delimitando cada región no son arcos de círculo. A continuación tenemos un verdadero cuadrilátero en el plano-medio superior, con una línea media <b>EF</b> trazada entre las dos rectas hiperbólicas verticales:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHGjuO282_7ay3HEjLhtACC9qCDekfg18PZNQVTyDHdxzHsBPiBiJr_DkJkNQu5exVZehK56s2QvYHCEKYMItpYzTuNw3tMmwLHMLiHN5Jt0r_ui_KmQ2A-2spq1UwgdOjc4DeT9ULDJ4/s1600-h/cuadrilatero_plano_medio.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5124702764929757090" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgHGjuO282_7ay3HEjLhtACC9qCDekfg18PZNQVTyDHdxzHsBPiBiJr_DkJkNQu5exVZehK56s2QvYHCEKYMItpYzTuNw3tMmwLHMLiHN5Jt0r_ui_KmQ2A-2spq1UwgdOjc4DeT9ULDJ4/s400/cuadrilatero_plano_medio.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
La línea media <b>EF</b> es perpendicular tanto a la recta hiperbólica <b>AB</b> como a la recta hiperbólica <b>CD</b> por ser perpendicular a las tangentes que pasan por los puntos <b>E</b> y <b>F</b>. Es, en efecto, la <b>perpendicular común</b> a ambas paralelas <b>AB</b> y <b>CD</b>, de la cual solo puede haber una entre dos rectas paralelas hiperbólicas. Levantando la curva <b>AB</b> hacia arriba manteniendo el centro del círculo que la produce en el eje <i>x</i>, se confundirá con una recta Euclideana, y los ángulos internos en los vértices <b>A</b> y <b>B</b> serán de 90 grados, serán ángulos rectos. Será un cuadrilátero en cuya base <b>AB</b> (viéndolo invertido) los ángulos internos serán rectos, y en cuya cumbre los ángulos internos serán agudos. Ya hemos visto ese cuadrilátero con anterioridad. Es el <i>cuadrilátero de Saccheri</i>. Esto fue precisamente lo que descubrió Saccheri sin saberlo al rechazar el postulado de las paralelas de Euclides, el famoso quinto postulado.<br />
<br />
Ahora veamos algo sobre el área de un triángulo hiperbólico en el plano-medio superior.<br />
<br />
Ya habíamos visto anteriormente que en la geometría hiperbólica el área dentro de un triángulo se mide no en base a lo que midan los lados de un triángulo sino en base a lo que miden sus ángulos internos, en base a lo que le falta a la suma de dichos ángulos para ser 180 grados, lo que llamamos defecto del triángulo. Ahora veamos cuál es el triángulo de la mayor área posible que podamos trazar en una geometría hiperbólica. Ya habíamos visto que en la geometría hiperbólica el área de un triángulo depende no de las longitudes de los lados que definen al triángulo sino de las magnitudes de los ángulos internos del triángulo, y habíamos visto que dicha área estaba dada por el <span style="font-style: italic;">defecto del triángulo</span> <span style="font-weight: bold;">δ</span>, definido como lo que le falta a la suma de los ángulos internos del triángulo hiperbólico para dar 180 grados (medidos en radianes). Entonces el triángulo con la mayor área posible será aquél con el mayor defecto posible, lo cual ocurrirá <i>cuando la suma de los ángulos internos del triángulo sea cero</i>. Esto a primera vista podrá parecerle a algunos como una afirmación temeraria, dado que si la suma de los ángulos internos se vuelve cero entonces más que tener un triángulo conteniendo la mayor cantidad posible de área tendremos un triángulo que habrá desaparecido de nuestra vista. Sin embargo, esto no es así, y hay que recordar nuevamente que tenemos que ajustar nuestro modo de pensar a lo que ocurre en una geometría radicalmente diferente a la geometría Euclideana. A continuación se muestra un triángulo hiperbólico <b>ABC</b> en el medio-plano de Poincaré delimitado por las rectas <i>k</i>, <i>l</i> y <i>m</i>, cuyos tres ángulos internos tienen un valor de cero (el ángulo se mide trazando tangentes a las rectas hiperbólicas en cada punto de contacto):<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2MVUKCPv91r8TLCVhaGpPq3-AUMfrH7ST6YzW9jyE5k23MHGi0udD19bBbEfrO5zBViG6UHFJcKo3gfQqENQYNU_ZTELEeFafbHBdhl42tN2mspJZA0Li_xKrratWdepyl-q6M0uE-TU/s1600-h/triangulo_hiperbolico_maximo.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123471067093511826" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2MVUKCPv91r8TLCVhaGpPq3-AUMfrH7ST6YzW9jyE5k23MHGi0udD19bBbEfrO5zBViG6UHFJcKo3gfQqENQYNU_ZTELEeFafbHBdhl42tN2mspJZA0Li_xKrratWdepyl-q6M0uE-TU/s400/triangulo_hiperbolico_maximo.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
No nos debe quedar ninguna duda de que este es un triángulo hiperbólico válido. Sus tres lados son rectas hiperbólicas, son arcos de circunferencia obtenidas haciendo centro en el eje <i>x</i>.<br />
<br />
Aquí no terminan las sorpresas. Si trazamos un triángulo hiperbólico de modo tal que dos de sus lados sean líneas verticales sobre el plano-medio de Poincaré (esto lo podemos obtener empezando con un triángulo hiperbólico "típico", aumentando enormemente los radios de definen a dos de sus rectas de modo tal que terminen confundiéndose con dos líneas verticales levantadas en el plano-medio), tendremos lo que se llama un <i>triángulo asintótico</i> como el que se muestra a continuación:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMflKVUArhjSEnzuRPYx7U7tl-Ll-zG-QBMG3pWndUuPHEoMRcyMZ5HOSGKlrPqkuqOtAYC1is5Jf66cVbA9pTC8HYLGx-j0TpqOPEcU70pLfNTzQNpDLP76K2sjPLnRPxBuk4jIdw2S0/s1600-h/triangulo_asintotico.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123471436460699298" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMflKVUArhjSEnzuRPYx7U7tl-Ll-zG-QBMG3pWndUuPHEoMRcyMZ5HOSGKlrPqkuqOtAYC1is5Jf66cVbA9pTC8HYLGx-j0TpqOPEcU70pLfNTzQNpDLP76K2sjPLnRPxBuk4jIdw2S0/s400/triangulo_asintotico.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Y resulta que este triángulo ¡tiene un área finita! Nuevamente, tenemos que adecuar nuestra manera de pensar para poder entender esto. El ángulo en el vértice <b>A</b> será de 90 grados (pi/2 radianes), mientras que el ángulo en el vértice <b>B</b> será de cero grados. Y el tercer vértice, el que no podemos ver porque está arriba, muy arriba, en "el infinito", tendrá un valor de cero grados (esto lo podemos ver trazando un arco de círculo centrado en el eje <i>x</i> que pase por el vértice <b>A</b> y se cruce con la recta vertical que pasa por el punto <b>B</b>, con lo cual tendremos el tercer lado de un triángulo "usual". Al ir aumentando el radio que corresponde a este tercer lado el ángulo del vértice que forma dicho arco con la recta vertical que pasa por el punto <b>B</b> irá disminuyendo hasta que, en la cercanía del infinito, el ángulo será de cero grados, y tendremos justo lo que muestra la figura de arriba. Puesto que el área de un triángulo hiperbólico está definida por el defecto del triángulo <span style="font-weight: bold;">δ</span>, el área de este triángulo asintótico será:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><span style="font-weight: bold;">δ</span> = <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span> - (<span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span>/2 + 0 + 0)<br />
<br />
<b>δ</b> = área del triángulo asintótico = <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span>/2</div><br />
Entonces el triángulo asintótico mostrado arriba tiene un área finita de <span style="font-size: 130%; font-weight: bold;">π</span>/2 unidades hiperbólicas.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;"><br />
Movimiento de figuras en el plano hiperbólico<br />
<br />
<br />
</span>En la geometría Euclideana, se supone que los cuerpos ideales son completamente rígidos y que el espacio "plano" es homogéneo e isotrópico (conservando igual todas sus características) en cualquier dirección, razón por la cual el desplazamiento de una figura geométrica de una región a otra deja dicha figura intacta, inalterada en sus dimensiones. Sin embargo, esto no es lo que ocurre en el plano-medio superior de Poincaré, en donde conforme una figura se va alejando verticalmente de la línea límite x la figura se va haciendo cada vez más grande sin límite, y en donde conforme una figura se va aproximando verticalmente a la línea límite la figura se va haciendo cada vez más pequeña.<br />
<br />
Un movimiento de una figura en el plano puede visualizarse de dos maneras completamente equivalentes (las dos versiones son conocidas como<span style="font-style: italic;"> alias</span> y <span style="font-style: italic;">alibi</span>), ya sea manteniendo todo el plano fijo y moviendo la figura en un sentido, o manteniendo la figura fija y moviendo todo el plano en el sentido opuesto. Supóngase que todos los puntos del plano-medio superior se desplazan de tal manera que la longitud hiperbólica de cualquier arco perteneciente a este plano-medio (<span style="font-style: italic;">semiplano</span>) es igual a la longitud hiperbólica del mismo arco en su nueva posición. Semejante desplazamiento de los puntos lo llamaremos <span style="font-weight: bold;">movimiento hiperbólico</span>. Este concepto es análogo al concepto del movimiento del plano Euclideano, por ejemplo, al giro del plano Euclideano en cierto ángulo alrededor de cualquier punto de dicho plano. Si el movimiento hiperbólico transforma a la figura <span style="font-weight: bold;">F</span> en <span style="font-weight: bold;">F'</span>, entonces las figuras <span style="font-weight: bold;">F</span> y <span style="font-weight: bold;">F'</span> se denominan <span style="font-weight: bold;">figuras hiperbólicamente iguales</span>. Veamos a continuación los dos tipos más simples de movimiento hiperbólico.<br />
<br />
En el primer tipo de movimiento, si se traspasa cada punto del plano-medio superior en una misma distancia y en una misma dirección paralelamente a la línea límite <span style="font-style: italic;">x</span>, resulta que cada figura se transforma en otra hiperbólicamente igual a ella. Pues no varía ni su magnitud Euclideana ni la distancia de sus puntos a <span style="font-style: italic;">x</span>. Este tipo de movimiento lo tenemos representado en el siguiente dibujo en donde el objeto es desplazado hacia la derecha (o lo que es lo mismo, el plano-medio superior es desplazado completo hacia la izquierda):<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4qQvVdgLvNhYCxvMx6boVqBVTGq9OLVlBaHUTWZlhmR0pCGxp6LHuyJrSeg6qr_MstQL6zUYaCYO6G6nEOKABNl8mr1w62bC4RYZ2MpmvDyfUctf5Fqa4zWHXHTfzuJbspDFS7OsHanU/s1600-h/desplazamiento_hiperbolico_horizontal.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5127625282462297682" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4qQvVdgLvNhYCxvMx6boVqBVTGq9OLVlBaHUTWZlhmR0pCGxp6LHuyJrSeg6qr_MstQL6zUYaCYO6G6nEOKABNl8mr1w62bC4RYZ2MpmvDyfUctf5Fqa4zWHXHTfzuJbspDFS7OsHanU/s400/desplazamiento_hiperbolico_horizontal.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Así pues, si el objeto recibe un movimiento de traslación estrictamente horizontal, entonces en virtud de que la relación definida en el <span style="font-style: italic;">Suplemento # 1</span> aplicada para cada segmento infinitesimal los segmentos de los que consta en el objeto se mantendrán a la misma distancia <span style="font-style: italic;">y</span> de la línea límite <span style="font-style: italic;">x</span>, entonces la integración se volverá trivial manteniendo el mismo valor para cada segmento infinitesimal del objeto.<br />
<br />
En el segundo tipo de movimiento, el objeto es desplazado no sólo horizontalmente sino también verticalmente, manteniéndose una relación de similitud que en la siguiente figura:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4G_XG95XhT_Mpb_vnBRgkjpehPklFWQ4EmtK5CQRq1I52KXEZUZ2-YPYPbAfOY6PfKD7CKHGC7cnh2krVLlaatHhVtwpPu7IKRZSytsP_SzlU6OZlKKFAyLflWXoRBzPjVXIaHps3xyI/s1600-h/desplazamiento_hiperbolico_general.JPG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5127627773543329378" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4G_XG95XhT_Mpb_vnBRgkjpehPklFWQ4EmtK5CQRq1I52KXEZUZ2-YPYPbAfOY6PfKD7CKHGC7cnh2krVLlaatHhVtwpPu7IKRZSytsP_SzlU6OZlKKFAyLflWXoRBzPjVXIaHps3xyI/s400/desplazamiento_hiperbolico_general.JPG" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
transforma el segmento <span style="font-weight: bold;">PQ</span> en el segmento <span style="font-weight: bold;">P'Q'</span>. Designemos como se muestra arriba <span style="font-weight: bold;">y</span> e <span style="font-weight: bold;">y'</span>, respectivamente, las distancias de los puntos <span style="font-weight: bold;">Q</span> y <span style="font-weight: bold;">Q'</span> a la línea límite <span style="font-style: italic;">x</span>. Entonces por la semejanza de los triángulos <span style="font-weight: bold;">OAQ'</span> y <span style="font-weight: bold;">OBQ</span>, tendremos:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYR2uEmTWCTBy0mTbNTNcILDHiYcZMrPO4ygp-20jiCb3D10MUgku4WnYe__y1l3pvyZnICqqgbzQaGL8a4Tx5FVnjopt_h3NUsC9bTRXQL7Gp6l1HHpQdwaoOHQwUnDKSKa1RHwj-HYM/s1600/relacion+1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYR2uEmTWCTBy0mTbNTNcILDHiYcZMrPO4ygp-20jiCb3D10MUgku4WnYe__y1l3pvyZnICqqgbzQaGL8a4Tx5FVnjopt_h3NUsC9bTRXQL7Gp6l1HHpQdwaoOHQwUnDKSKa1RHwj-HYM/s1600/relacion+1.png" /></a></div><br />
Por otro lado, por la semejanza de los triángulos <span style="font-weight: bold;">OP'Q</span> y <span style="font-weight: bold;">OPQ</span>, tenemos:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2ehLliPeqPNhKvDLHkNcQ-q-xDNiu0a2EKxkqs98sH8sX7LnPb6BV9VtCRQOdkzH_ccUphz9zH3aSWm9pCbkV2WeAMK0slvdkA9ZFVgrCVCRAY5ndEAXyJvFPSgem1dy7d50YNKS8b3I/s1600/relacion+2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2ehLliPeqPNhKvDLHkNcQ-q-xDNiu0a2EKxkqs98sH8sX7LnPb6BV9VtCRQOdkzH_ccUphz9zH3aSWm9pCbkV2WeAMK0slvdkA9ZFVgrCVCRAY5ndEAXyJvFPSgem1dy7d50YNKS8b3I/s1600/relacion+2.png" /></a></div><br />
Se deduce que durante dicha transformación no varía la longitud hiperbólica de una línea cualesquiera cuando se lleva a cabo en la forma arriba mostrada.<br />
<br />
<span style="font-weight: bold;"><br />
El modelo Beltrami-Klein</span><br />
<br />
<br />
La geometría basada en el modelo Beltrami-Klein (conocido también como el <b>modelo Klein, </b> el <span style="font-weight: bold;">modelo proyectivo</span>, el modelo <span style="font-weight: bold;">Cayley-Klein</span>, el <span style="font-weight: bold;">disco de Klein</span>, etc.) se obtiene deformando la geometría hiperbólica del disco de Poincaré de modo tal que las rectas hiperbólicas en el disco de Poincaré (arcos de circunferencia) terminan convertidos en cuerdas, en una manera como se muestra a continuación:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilqyjVPGj9q4WPg8cl1SjiVvkA5j5pOGjzmL_oVcwO62IuOVW67pbQfbHZzitcpm0DHfroFbZPF6LdyO3R4LkTuiJST4wW4iZ-qtT4j8vhP0r5iQJOkTl_AbzOnPm4T-Ulu0UiVDaIQ9s/s1600-h/modelo_de_Klein.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5123489629942165202" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilqyjVPGj9q4WPg8cl1SjiVvkA5j5pOGjzmL_oVcwO62IuOVW67pbQfbHZzitcpm0DHfroFbZPF6LdyO3R4LkTuiJST4wW4iZ-qtT4j8vhP0r5iQJOkTl_AbzOnPm4T-Ulu0UiVDaIQ9s/s400/modelo_de_Klein.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
De este modo, el <i>arco</i> <b>AB</b> se convierte en la <i>cuerda</i> <b>AB</b>, y el <i>arco</i> <span style="font-weight: bold;">CD</span> se convierte en la <span style="font-style: italic;">cuerda</span> <b>CD</b>. Al igual que el disco de inversión y el medio-plano de Poincaré, el modelo de Klein también es un modelo de espacio hiperbólico.<br />
<br />
A primera vista, el modelo de Klein parece similar al disco de Poincaré, pero no lo es, ya que los habitantes de un modelo de Klein ven las líneas rectas en su espacio <i>tal y como las vemos nosotros desde fuera</i>. Las geodésicas dentro del modelo de Klein son <i>cuerdas Euclideanas</i> de un disco unitario. Sin embargo, <b>sus mediciones angulares serán diferentes a las nuestras</b>. Un modelo de este tipo en el que la forma de medir los ángulos internos es diferente a como lo hacemos nosotros es llamado <b>no-conformal</b>. Una forma simplista pero válida de ver el modelo de Klein es considerando que, en cierta forma, las geodésicas del disco de Poincaré, las cuales son todas ellas arcos de circunferencia, son "enderezadas" proyectándolas hacia las cuerdas que tocan los puntos extremos de las geodésicas.<br />
<br />
A continuación tenemos la comparación de varias rectas trazadas en los tres modelos que hemos visto, el modelo de Klein, el disco de Poincaré, y el plano-medio superior:<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEil234AaH1Z1qYqsOLi-SKSdOEDvpEsFE4bH9lfUAwvptg6GWSNgFdY5TdToTRiZC1Zaqt_ku43WHmVqs2SBXMbmTPCCrqUoT8TKg4IfXtN0ASxLCEUpJ289HZeo8DwlSZDDnxsobcEQ3I/s1600-h/modelos_comparados.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5124011120576278290" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEil234AaH1Z1qYqsOLi-SKSdOEDvpEsFE4bH9lfUAwvptg6GWSNgFdY5TdToTRiZC1Zaqt_ku43WHmVqs2SBXMbmTPCCrqUoT8TKg4IfXtN0ASxLCEUpJ289HZeo8DwlSZDDnxsobcEQ3I/s400/modelos_comparados.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
Dado un disco de Poincaré que contenga figuras geométricas, dichas figuras pueden ser proyectadas hacia sus equivalentes en un disco de Klein y viceversa, pero esto involucra varios pasos que deben ser comprendidos antes de que se lleve a cabo dicha transformación. Para tener una idea sobre cómo es posible el poder llevar a cabo una transformación de este tipo, se hará un bosquejo que, aunque no exacto y sobresimplificado, demostrará como tal cosa puede ser posible.<br />
<br />
Primero que nada, podemos empezar tomando un disco de Klein, el cual se supone de radio unitario, y empezar ampliando dicho radio hasta hacerlo infinitamente grande, manteniéndonos en todo momento en el "centro" del disco. Esto tendrá el efecto de convertir al disco de Klein en lo que para nosotros parecerá un plano infinitamente grande sin "borde" circular exterior. Hecho esto, podemos tomar un hemisferio, de radio unitario, reposando su polo sobre el centro del "plano de Klein". Por último, tomamos el disco de Poincaré y lo alineamos por encima del área transveral del hemisferio, y como el disco de Poincaré es también unitario, podemos llevar a cabo una alineación matemáticamente perfecta como se muestra a continuación:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSbnsW53w9yTNHiYdOfxacV2jv3nVKNreytfT6-JceOCPHoF2YzSDuMt0h10BKRu6JgUYbw6zWX4nvQAUAU0u_M0NwzGNpEgn3eknwZzq1BQ8Qgj_LwKwjtkl6ay21ECuHEYWsVelvexs/s1600-h/conversion_modelos_1.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5124335497981308738" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSbnsW53w9yTNHiYdOfxacV2jv3nVKNreytfT6-JceOCPHoF2YzSDuMt0h10BKRu6JgUYbw6zWX4nvQAUAU0u_M0NwzGNpEgn3eknwZzq1BQ8Qgj_LwKwjtkl6ay21ECuHEYWsVelvexs/s400/conversion_modelos_1.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
<br />
El disco # 1 mostrado arriba puede tomarse como el disco de Poincaré, y el disco # 2 puede tomarse como el disco de Klein en el momento en que empieza a ser "estirado" radialmente hacia el infinito. Hecho esto, podemos trazar una recta Euclideana sobre el "plano Klein", y a continuación podemos ir trazando rayos desde dicha recta hacia el centro de simetría del hemisferio, marcando los puntos de dichos rayos que tocan la superficie esférica del hemisferio:<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSHRe60nVX_-K_pegQu1oL1uECjmh6-Yk9a1GPvweYl3yhEJ_n-T0gkklOB3OfdyzqyKMzYV6DyOw0VkJE6kMQCYOnO8NC8aUE_HczpnFe9WPuGyM4pyUrIKNZo2IPNSazbSEvGQVeM2I/s1600-h/conversion_modelos_3.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5124336554543263586" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSHRe60nVX_-K_pegQu1oL1uECjmh6-Yk9a1GPvweYl3yhEJ_n-T0gkklOB3OfdyzqyKMzYV6DyOw0VkJE6kMQCYOnO8NC8aUE_HczpnFe9WPuGyM4pyUrIKNZo2IPNSazbSEvGQVeM2I/s400/conversion_modelos_3.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Ahora se demostrará que toda recta <span style="font-style: italic;">l</span> como la que se muestra arriba al ser proyectada sobre la superficie de un hemisferio <span style="font-weight: bold;">H</span> se convertirá en un arco de círculo. Considérense varios puntos de la recta l hacia la superficie del hemisferio. Los rayos de la proyección de la recta que van hacia el centro de simetría <b>O</b> del hemisferio <b>H</b> forman parte todos ellos de un plano que atraviesa al hemisferio. Y como un plano que atraviesa una esfera pasando por su centro de simetría divide a la esfera en dos partes iguales, formará entonces un <i>círculo máximo</i> en la superficie de la esfera, o en este caso del hemisferio. Entonces la línea <i>k</i> será un arco de círculo. Por último, podemos proyectar hacia arriba, hacia la tapa del hemisferio, <span style="font-style: italic;">hacia el disco de Poincaré</span>, cada uno de los puntos que forman al arco k. En la siguiente figura, que representa un corte transversal lateral del hemisferio, podemos ver varios puntos llegados originalmente del disco # 2 proyectados hacia el disco # 1 (se ha destacado el punto <b>P</b> cuya imagen termina siendo el punto <b>P'</b>):<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9JWIc_4o563bhqTTg5i-1MO3HGdMp5ViGtWtGb537G3LMukyzUzK6XgXZOdsbhDPGncWiTJzgMhqOXdValGAqlfzpAwOyWC25vNvUia-Fnjf1Jo84_gcMsTW8ZsiYQSUveqGv1Za4qQ8/s1600-h/conversion_modelos_2.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5124336322615029586" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9JWIc_4o563bhqTTg5i-1MO3HGdMp5ViGtWtGb537G3LMukyzUzK6XgXZOdsbhDPGncWiTJzgMhqOXdValGAqlfzpAwOyWC25vNvUia-Fnjf1Jo84_gcMsTW8ZsiYQSUveqGv1Za4qQ8/s400/conversion_modelos_2.jpg" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
Así, al proyectar cada uno de los puntos que forman parte del arco <i>k</i> hacia arriba sobre el disco que forma la tapa del hemisferio se obtendrá un segmento de línea en el disco de Poincaré que corresponde a la recta Euclideana que le fue proyectada desde el modelo Klein. Este tipo de transformaciones constituyen lo que en matemáticas llamamos un <span style="font-weight: bold;">isomorfismo</span>, a cada punto en el disco # 1 corresponde un punto en el disco # 2, y viceversa; hay una correspondencia de uno a uno, una <span style="font-weight: bold;">correspondencia biunívoca</span>.<br />
<br />
Sin embargo, como ya se dijo, lo que se ha llevado a cabo arriba es una sobresimplificación del asunto con fines pedagógicos. Entendiblemente, no hay muchos textos de matemáticas, inclusive a nivel de licenciatura universitaria, que entren a fondo en los detalles sobre la demostración requerida para poder obtener las imágenes en el disco hiperbólico de Poincaré el equivalente de las rectas Euclideanas de un disco de Klein. Sin embargo, el resultado matemático final, las fórmulas necesarias para llevar a cabo las transformaciones, es fácil de digerir. El uso de las fórmulas que serán presentadas aquí está basado en el uso de las coordenadas polares (r,θ):<br />
<br />
<div style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhwSipevEkiPuj7DBuqFxiXJxX0LM0YBpMYcd4-vrA5kdMIuggS0uuekQfn_SR0jbcZ51iwYYox0sTyHQKlTxImiS4va9Jr1Ixt4vIHa40Ww9WnbUmf0PVC6fC-HT06GPSnTUvwhoqRWI/s1600-h/coordenadas_polares.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5124345509550075794" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhwSipevEkiPuj7DBuqFxiXJxX0LM0YBpMYcd4-vrA5kdMIuggS0uuekQfn_SR0jbcZ51iwYYox0sTyHQKlTxImiS4va9Jr1Ixt4vIHa40Ww9WnbUmf0PVC6fC-HT06GPSnTUvwhoqRWI/s400/coordenadas_polares.png" style="cursor: pointer;" /></a></div><br />
en lugar de coordenadas Cartesianas (<span style="font-style: italic;">x</span>,<span style="font-style: italic;">y</span>). Con esto, podemos llevar a cabo la conversión punto por punto de una figura geométrica de un disco a otro mediante las siguientes fórmulas para la conversión Klein-Poincaré:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ91ylJAp2DDM-gJMYHWrYFbX2qqSPGzToeVpBFsIYY62B_CZLevoiSzUdNYJb_oUGmoMM0GeOsuDZy1MXrYERDGs62ChloGkWfe14LPjnCOcTEy6Uii0fbb446tjidHgfshkEVlDqjs8/s1600/conversion+1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ91ylJAp2DDM-gJMYHWrYFbX2qqSPGzToeVpBFsIYY62B_CZLevoiSzUdNYJb_oUGmoMM0GeOsuDZy1MXrYERDGs62ChloGkWfe14LPjnCOcTEy6Uii0fbb446tjidHgfshkEVlDqjs8/s1600/conversion+1.png" /></a></div><br />
mientras que para la conversión Poincaré-Klein utilizamos las siguientes fórmulas:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqMVQ1cvvPNSGd0rh4xU3zYvqqSmEDnqTj-Ke77bIU2Sg2Nm4SBCVwqi3sxCKItJH9IWhFjPR_Z9SreT6dhS3EpOgdARmvRVyEZAInggLoBGiKxEHwAaIrMLDN67XrIMfAm6XQD2aIxfY/s1600/conversion+2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqMVQ1cvvPNSGd0rh4xU3zYvqqSmEDnqTj-Ke77bIU2Sg2Nm4SBCVwqi3sxCKItJH9IWhFjPR_Z9SreT6dhS3EpOgdARmvRVyEZAInggLoBGiKxEHwAaIrMLDN67XrIMfAm6XQD2aIxfY/s1600/conversion+2.png" /></a></div>Armando Martínez Téllezhttp://www.blogger.com/profile/07308360350870542056noreply@blogger.com