Un ser viviendo dentro de un universo hiperbólico sería totalmente incapaz de percibir, únicamente a través de sus sentidos, que vive en un espacio tan curioso visto desde fuera. Dentro del disco de Poincaré, al irse desplazando hacia el borde del disco, se irá achicando junto con todos sus instrumentos de medición. Todo, absolutamente todo, incluyéndolo a él mismo, se irá contrayendo en la misma proporción. Si al recorrer varios miles de kilómetros dicho ser, visto desde fuera del círculo de inversión por un ser superior capaz de vivir por encima de dicho universo, se ha vuelto diez veces más pequeño, no lo sabrá, porque todo alrededor de él se ha vuelto diez veces más chico. Sus reglas para medir serán diez veces más pequeñas, al igual que las casas, los automóviles y los árboles a su alrededor. Según él, cree que vive en un universo perfectamente plano, en el cual los habitantes se ven desde fuera como se muestra a continuación:
Pero nosotros, que en cierta forma somos seres superiores a él, capaces de ver lo que él no puede ver, nos damos cuenta exacta de lo que está sucediendo. Sin embargo, hay una forma en la cual él puede darse cuenta de que vive dentro de un universo cuyo espacio no es Euclideano sino hiperbólico, y esta forma le llega no a través de los sentidos sino a través de su intelecto. Dentro de un universo hiperbólico, la suma de los ángulos internos de un triángulo siempre será menor que dos ángulos rectos (180 grados). La confirmación experimental de este hecho es lo que le hará saber que vive en un universo hiperbólico. Y si la suma de los ángulos internos de un triángulo resulta ser mayor que 180 grados, entonces sabrá que vive en un universo elíptico. Una vieja anécdota no confirmada nos relata que Gauss, el príncipe de las matemáticas, trató de hacer precisamente esto, medir con la mayor precisión posible los ángulos internos de un enorme triángulo y sumarlos, aunque los resultados del experimento habrían sido inconclusos. Inclusive con un triángulo del tamaño de nuestro sistema solar, tal vez no se habría detectado una diferencia por su pequeñez. Este es precisamente uno de los dilemas que confrontan a la astronomía moderna. Si el Universo es un universo plano, Euclideano, entonces se extenderá en cualquier dirección hacia el infinito, lo que llamamos un universo abierto. Pero si el Universo, por la enorme cantidad de materia que sabemos que contiene, materia cuya tracción gravitacional puede distorsionar de manera significativa la curvatura espacial del Universo, es un universo elíptico, entonces será un universo finito, inmensamente grande pero al fin y al cabo finito, lo que llamamos un universo cerrado, en el cual no importando en qué dirección nos movamos siguiendo una línea recta en una nave intergaláctica capaz de mantener su curso inalterado hacia adelante, tarde o temprano regresaremos por detrás del punto de partida, al igual que como ocurre cuando nos desplazamos sobre la superficie de la Tierra siguiendo uno de sus meridianos.
La creación del disco de Poincaré, con los habitantes del universo hiperbólico incapaces de darse cuenta a través de sus sentidos de que viven en un universo tan curioso, seguramente tuvo algo que ver con una disquisición filosófica del mismo Poincaré que se convertiría en uno de los acertijos filosóficos más famosos de todos los tiempos: el doblamiento nocturno.
Supongamos que durante la noche anterior, mientras todos dormíamos, todo lo que hay en el Universo duplicó su tamaño, todo lo que hay en el Universo es hoy doblemente más grande que lo que era la noche anterior. Nos preguntamos ahora: ¿habrá alguna forma en la cual podamos enterarnos de lo que sucedió? Lo primero que se nos viene a la mente es que algo tan colosal ciertamente sería fácilmente detectable, dejaría alguna marca extremadamente obvia. Pero este razonamiento se nos viene abajo cuando nos damos cuenta de que todo, absolutamente todo ha doblado de tamaño, incluyendo las reglas y las cintas métricas que usamos para medir. No podríamos utilizar nada para medir el aumento de tamaño de todo, porque los instrumentos que usamos para medir también aumentaron de tamaño en la misma proporción. No podríamos recurrir al metro patrón, esa barra hecha de una aleación de platino-iridio que se conserva en un suburbio de París, porque también duplicó su tamaño. Y la nueva base para medir longitudes en el sistema métrico decimal, definida como 1,650,763.73 longitudes de onda de una luz naranja emitida en el vacío bajo una descarga eléctrica por el gas kriptón-86 (lo cual hace innecesario viajar hasta París para consultar al metro patrón) tampoco servirá de nada, porque los tubos fluorescentes que contienen al gas kriptón son el doble de grandes de lo que eran la noche anterior, al igual que los átomos del gas kriptón que contienen. Las órbitas de los electrones alrededor del núcleo de los átomos del gas kriptón han doblado de tamaño, razón por la cual la luz que emiten tiene una longitud de onda que es el doble de la que tenía la noche anterior, así que las retinas de nuestros ojos al doble de su tamaño normal seguirán viendo la luz emitida del mismo color naranja.
Salimos afuera, y todo lo que hay alrededor ha duplicado también su tamaño. El carro en el que nos movemos es el doble de grande que la noche anterior, así que nos subimos al carro sin detectar lo que haya ocurrido. Las calles y las carreteras han duplicado su tamaño, así que seguiremos recorriendo las mismas distancias de siempre. Puesto que todo en el Universo ha duplicado su tamaño, se nos ocurre que al ver las estrellas del cielo durante la noche las veremos brillar con menor intensidad, puesto que ahora están mucho más alejadas de nosotros, al doble de la distancia que teníamos de ellas antes del doblamiento nocturno. Pero esto tampoco nos servirá de nada, porque nuestras retinas han aumentado de tamaño al doble y son dos veces más sensibles a la luz que nos llega de esas estrellas que ahora tienen el doble del tamaño que tenían ayer. Nada a nuestro alrededor, por lo visto, nos dará la menor pista de lo que sucedió mientras dormíamos.
Desde que Poincaré pronunció la hipótesis sobre lo que vendría siendo nuestra incapacidad absoluta de darnos cuenta de lo que sucedió mientras dormíamos, ese aumento al doble en el tamaño de todo, inclusive nuestra incapacidad para poder darnos cuenta de que todo pueda estar aumentando de tamaño en estos momentos mientras mis lectores están leyendo esta exposición, por varias décadas se dió por hecho de que algo tan monumental estaría por completo fuera de nuestras percepciones, inclusive el mismo Poincaré postuló que no podía hablarse de que tal cambio fuese real en el sentido de que, al estar fuera de nuestra capacidad para poder detectarlo, estaba fuera de la realidad de nuestras vidas.
Sin embargo, más recientemente, han surgido filósofos que han cuestionado la idea de que un doblamiento nocturno del Universo sea indetectable. Y lo han hecho recurriendo a algo que las matemáticas en su soberbia han dejado fuera: el recurso a la física como medio para comprobar o justificar experimentalmente la realidad y las consecuencias de aquellas ideas puramente teóricas. Según estos filósofos de vanguardia, un doblamiento nocturno tendría consecuencias severas que serían fácilmente detectables de varias maneras. Entre estos filósofos podemos citar a Brian Ellis y a George Schlesinger, los cuales en trabajos suyos publicados en 1962 y en 1964 exponen las razones por las cuales un doblamiento nocturno de todo no podría ocultarse mucho tiempo de nosotros. Schlesinger, recurriendo a la ley de la gravitación universal formulada por Isaac Newton (los cuerpos se atraen en razón directa del producto de sus masas y en razón inversa del cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad), afirma que tras un doblamiento nocturno la gravedad de la Tierra sería un cuarto de lo que era antes, porque el radio de la tierra habría duplicado su tamaño mientras que la masa seguiría siendo la misma. Duplicando el radio de la Tierra sin duplicar su masa nos lleva, en base a “la inversa del cuadrado de la distancia”, a que la atracción gravitacional caiga no a la mitad sino a la cuarta parte. De repente, todos nosotros nos sentiríamos mucho más ligeros que antes, como si estuviésemos caminando en la superficie de la Luna.
Y habría otras formas de medir el doblamiento nocturno. Aunque el cambio no sería detectable mediante el uso de una balanza, ya que la tracción gravitacional en ambos brazos de la balanza disminuiría idénticamente, el cambio sería detectable usando barómetros de mercurio como los que se usaban en otros tiempos para medir la presión atmosférica. En dichos barómetros, la altura del mercurio en la columna es lo que nos mide la presión, por eso cuando decimos que al nivel del mar la presión atmosférica es de 760 milímetros de mercurio lo que en realidad estamos diciendo es que en una columna de mercurio éste llegará hasta una altura de 760 milímetros. Esta altura depende de tres factores: la presión del aire, la densidad del mercurio, y la fuerza de la gravedad. En condiciones normales la presión atmosférica varía muy poco. La presión atmosférica sería ocho veces menor después del doblamiento nocturno, puesto que todos los volúmenes aumentan en razón al cubo de la distancia. La densidad del mercurio sería también ocho veces mayor, de modo tal que estos efectos se cancelarían mutuamente. Pero como la gravedad sería la cuarta parte de lo que era antes, la columna de mercurio ascendería a una altura cuatro veces mayor de lo que normalmente ascendería, lo cual en nuestros barómetros que miden el doble de lo que medían antes sería detectado como una altura al doble de la altura que alcanzaban la noche anterior. De este modo, aquí no solo tenemos una manera de confirmar que hubo un incremento nocturno en el tamaño de todo, sino inclusive la magnitud del del incremento.
Aplicando el doblamiento nocturno a otras situaciones, Schlesinger llegó a conclusiones igualmente interesantes. Específicamente, demostró que un reloj de péndulo mediría cualquier tiempo a una cantidad mayor por un factor de 1.4142 (la raíz cuadrada de dos). Suponiendo que otras leyes fundamentales de la física permanecen inalteradas, el doblamiento nocturno manifestaría también allí sus efectos. Una de ellas es la ley de la conservación del momento angular. Suponiendo que tras el doblamiento nocturno sigue habiendo una conservación del momento angular, entonces la rotación de la Tierra disminuiría y los días serían más largos de lo que eran antes. Otra ley fundamental que hasta ahora permanece inalterada es la ley de la conservación de la energía, la cual podemos aplicar al Universo entero tanto antes como después de un doblamiento nocturno. En la teoría planetaria de Niels Bohr sobre el átomo, se considera que los electrones están girando alrededor del núcleo, siendo mantenidos en órbita por la atracción eléctrica que Bohr suponía que hay entre la carga negativa (-) de los electrones girando en torno al núcleo con carga positiva (+). Un doblamiento nocturno de todo lo que hay en el Universo requeriría que en los átomos de hidrógeno (el elemento más abundante del Universo) los electrones girando en torno al átomo estén ahora a una distancia mayor del núcleo atómico por un factor de 2. Llevar a un electrón de su órbita a una órbita nueva más alejada del núcleo requiere suministrar energía para llevar a cabo el proceso de separación (en la física de Bohr, esta energía es suministrada por un quantum de energía luminosa que es absorbida por el átomo, lo cual permite al electrón "saltar" hacia una órbita más alejada). Para que todos los átomos de hidrógeno del Universo (así como los demás átomos de todos los demás elementos que están en los planetas, asteroides y galaxias) midan el doble de lo que medían ayer, se necesitará suministrar una cantidad prodigiosa de energía, la cual tiene que salir de algún lado para que se pueda seguir cumpliendo el principio de la conservación de la energía. Esto vendría a expensas de un enfriamiento del Universo.
El doblamiento nocturno del Universo traería tantas consecuencias sobre tantos fenómenos físicos, que sería imposible no poder detectarlo a través de nuestros sentidos. Sería el evento mejor confirmado en la historia del hombre.
Volviendo a la geometría Euclideana y a las geometrías no-Euclideanas, aunque estas geometrías se pueden construír de manera completamente axiomática en un pizarrón, sin salir para nada fuera de casa, sin ver lo que ocurre afuera, como algo desconectado de la realidad física de la Naturaleza que nos rodea, el acertijo filosófico legado por Poincaré y la forma en que ha sido resuelto nos señala que la física, por mucho que les repugne a muchos matemáticos la idea, tal vez sea parte inseparable de lo que las matemáticas puedan ser capaces de describir en relación al mundo real. El mismo Einstein incurrió en un yerro cuando creyó que todo podía ser deducido sin llevar a cabo experimento alguno (una anécdota famosa nos relata que cuando alguien le preguntó a Einstein en dónde estaba su laboratorio, sacó la pluma de su solapa y señalando hacia ella dijo: “Aquí”). Al hacer tal cosa, al cerrar la puerta, Einstein se privó a sí mismo de muchas importantes contribuciones que podría haber llevado a cabo sobre todo en el área de la mecánica cuántica moderna, con la cual mantuvo un conflicto personal hasta el fin de sus días.