Esta es la parte más difícil de todas.
Por años se nos ha enseñado que una afirmación no puede ser falsa y verdadera al mismo tiempo. No hay nada que sea medianamente falso y medianamente verdadero a la vez, o la proposición es totalmente falsa o es totalmente verdadera. Esta "verdad evidente" es conocida dentro de la lógica como "la ley del medio excluído".
La geometría Euclideana nos dice que por un punto exterior a una recta dada sólo es posible trazar una paralela a dicha recta.
Pero la geometría elíptica, de la cual la geometría esférica es un caso especial, nos dice que simple y sencillamente no es posible trazar ni siquiera una paralela a otra recta por un punto exterior a dicha recta.
Por su parte, la geometría hiperbólica nos dice que no sólo es posible trazar una paralela a una recta por un punto exterior a la misma, sino que inclusive es posible trazar más de una recta paralela a otra recta dada a través de un punto exterior a la misma.
Si en el universo en que vivimos solo una de las geometrías puede ser la correcta, lo cual haría a las demás geometrías falsas, entonces ¿cuál de todas es la geometría verdadera? ¿O será posible que todas sean igualmente ciertas en el universo en el que vivimos? ¿Será posible que tres enunciados contradictorios sean sin embargo verdaderos a la vez?
Desafortunadamente, nuestras experiencias cotidianas no nos sirven de nada para extender tranquilamente nuestros conocimientos hacia cosas que tienen que ver con el infinito. Una y otra vez, empezando por las ilusiones ópticas con las cuales nuestra vista puede ser engañada fácilmente, y pasando por los sofismas de la antigua Grecia (como la célebre paradoja de Aquiles y la tortuga) con los cuales partiendo de cosas ciertas se puede llegar a conclusiones erróneas, nuestra intuición ha demostrado ser muy mala consejera para descubrir la realidad de las cosas. Y si en algo nos puede fallar nuestra intuición es precisamente en tratar de sacar conclusiones precipitadas sobre algo que tenga que ver con geometrías no-Euclideanas. Un ejemplo comparativo de esto lo podemos exponer considerando una situación en la que dos pulgas caminando sobre una superficie empiezan a desplazarse al mismo tiempo siguiendo cada una de ellas una ruta perfectamente "paralela" con respecto a la otra. Supóngase que nuestras pulgas poseen instrumentos de medición increíblemente sofisticados con los cuales al comenzar a caminar lo hacen empezando sus recorridos al mismo tiempo y con una desviación inicial exacta de cero grados la una con respecto a la otra. Y supóngase que siempre marcharán hacia adelante siguiendo una trayectoria perfectamente "recta", lo más recta que se pueda concebir. Cada una de ellas jurará por lo que le sea más sagrado que se está moviendo "hacia adelante" sin desviarse ni siquiera una milésima de grado de lo que parece ser una trayectoria rectilínea. Si ambas inician su jornada en una superficie perfectamente plana, en una superficie Euclideana en la cual se cumple el quinto postulado de Euclides, entonces las pulgas al ir caminando y al ir manteniendo su trayectoria lo más derecha posible ni se acercarán ni se separarán sino que mantendrán todo el tiempo la misma distancia la una con respecto a la otra. Pero si la superficie sobre la que se mueven es una superficie curva, con una curvatura que ellas no alcanzan a percibir por tratarse de una curvatura en tercera dimensión, entonces se irán separando o se irán acercando según la superficie sea elíptica (como en el caso de una pelota de beisbol) o hiperbólica:
En un caso, terminarán con sus caminos cruzándose inevitablemente sin que puedan hacer nada por evitarlo, y ello no será porque sus increíblemente precisos instrumentos de medición sean defectuosos, sino por el hecho de que el espacio en el que se mueven está curvo. Y en el otro caso, terminarán separándose más y más sin que puedan hacer nada por evitarlo, también por el hecho de que el espacio en el que se desplazan está curvo. Lo mismo nos sucedería a nosotros tratándose de una curvatura que estando situada en la cuarta dimensión será completamente indetectable para nuestros sentidos físicos. Las pulgas de nuestro ejemplo pueden desplazarse de modo tal que, independientemente de la curvatura de la superficie, siempre se mantendrán alejadas la misma distancia la una de la otra. Pero en tal caso ya no se estarán moviendo en línea recta, tendrán que desviarse de su trayectoria ajustando continuamente sus instrumentos, los cuales en tal caso perderán por completo la utilidad para la cual habían sido diseñados. Entonces, ¿cómo podemos hablar ya de que una geometría sea menos válida o menos posible que la otra?
Sobre estas interrrogantes, un ensayo de A. S. Smogorzhevski titulado "Acerca de la Geometría de Lobachevski" dice lo siguiente: "La cuestión referente a la estructura del espacio real, pertenece a la competencia de la física y no puede ser resuelta con las fuerzas de la geometría pura. Su particularidad consiste, entre otras cosas, en que ninguna geometría refleja las relaciones de extensión con exactitud absoluta; así, por ejemplo, debido a la estructura molecular de la materia, no existen cuerpos accesibles a la apreciación de sus dimensiones que posean las propiedades geométricas de la esfera ideal. Precisamente por esto, la aplicación de reglas geométricas a la solución de problemas concretos conduce inevitablemente a resultados aproximados. De tal modo, nuestra noción respecto a la estructura geométrica del espacio real se reduce de hecho a la convicción científicaamente basada de que una geometría determinada describe mejor que otras las relaciones reales de la extensión".
Ampliando esto último, el desarrollo de la Teoría General de la Relatividad nos hace llegar a una interesante conclusión: las tres geometrías, tanto la Euclideana como la elíptica como la hiperbólica, pueden ser igualmente válidas. La Relatividad no descarta ninguna de estas posibilidades.
Esto, desde luego, marcha en contra de nuestra intuición, marcha en contra de todo lo que suponíamos como cierto. Pero si a una cosa nos ha acostumbrado a todos nosotros la física moderna, empezando por la mecánica cuántica que paró de cabeza al mismo Einstein que hasta el final de sus días no creyó en la visión probabilística del Universo dada por la mecánica cuántica aferrándose a su concepto de un Universo determinístico, es que eso que llamamos intuición es muy mal barómetro de lo que nosotros suponemos como "real". Una cosa es lo que nosotros queremos que sea real, de acuerdo con lo que nos indican nuestros sentidos y lo que nos indica nuestra lógica, y otra cosa muy diferente es lo que allá afuera pueda ser real más allá de nuestros sentidos.
Lo que hemos visto va más allá de simplemente ofrecer reemplazos alternos a la geometría Euclideana. Tomemos por ejemplo el curso de geometría analítica que se enseña en las escuelas preparatorias como paso preliminar al estudio del cálculo diferencial e integral, en la cual se lleva a cabo la gran síntesis que hizo el filósofo y matemático francés René Descartes combinando la geometría con el álgebra. Esa geometría analítica está basada en la geometría plana desarrollada por Euclides. Pero si nuestro campo de acción es, por ejemplo, una geometría hiperbólica, entonces tenemos que comenzar a estudiar todo de nuevo, con una materia que se vendría llamando geometría analítica hiperbólica. La cual por cierto se imparte en las universidades de prestigio alrededor del mundo.
¿Hay alguien por allí entre quienes están leyendo esto que quiera volver a comenzar a estudiar todo de nuevo, porque resulta que el punto de partida con el que se comenzó desde la escuela secundaria no era el único?