Capítulo II: La Primera Geometría no-Euclideana

La naturaleza no tan obvia del quinto postulado de Euclides hizo sospechar a algunas personas de la veracidad del mismo.

Uno de los primeros casos notables es el del matemático Jesuita Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733), el cual al ver que no había forma obvia de obtener el quinto postulado de los otros nueve postulados, optó por cambiar de estrategia y empezó intentando demostrar la validez del quinto postulado de Euclides usando el truco más viejo en el costal de trucos de los matemáticos: dada una proposición que se supone como verdadera, se empieza suponiendo que la proposición es falsa y se empieza a trabajar con tal suposición en mente, hasta que invariablemente vamos llegar a un punto en el cual obtenemos un absurdo (entendiblemente este método es conocido en lógica como el método de reducción al absurdo), con lo cual queda demostrado que la proposición no era falsa sino verdadera, ya que por lógica elemental (desarrollada por un contemporáneo de Euclides, Aristóteles) no es posible obtener una conclusión falsa partiendo de una proposición verdadera. Así, en su intento por reivindicar a Euclides, elaboró un libro titulado Euclides ab omni naevo vindicatus, que se traduce como “Euclides liberado de toda falla”, en donde intentó probar el quinto postulado mediante el recurso de demostrar todas las demás alternativas como absurdas, para lo cual construyó lo que hoy se conoce como el “cuadrilátero de Saccheri”:

partiendo de una rectaGH que constituye la base del cuadrilátero, a la cual se le agregan dos rectas perpendiculares AB y CD, a través de las cuales se traza una cuarta línea de modo tal que la longitud de los brazos del cuadrilátero, las rectas que van de la base hasta la cumbre, sean iguales. Tras esto, Saccheri formuló tres hipótesis diferentes acerca de la suma de los ángulos internos del cuadrilátero (los ángulos m, n, o y p): que la suma de los ángulos era menor que, igual a, y mayor que cuatro ángulos rectos (360 grados). Si podía demostrar que la primera y la tercera hipótesis conducían a absurdos lógicos, entonces habría demostrado que la hipótesis intermedia, equivalente al quinto postulado pronunciado por Euclides, era la única geometría consistente, y por lo tanto la única geometría verdadera, dándose por probado rigurosamente como verdadero el quinto postulado. Saccheri desechó rápidamente la tercera hipótesis porque casi de inmediato empezaron a surgir las contradicciones. Sin embargo, la primera hipótesis no condujo a ningún conflicto lógico, y de hecho Saccheri pudo demostrar teorema tras teorema usando el nuevo postulado alterno, construyendo ante su asombro la primera geometría no-Euclideana.

Resulta instructivo reproducir aquí algunos de los razonamientos de Saccheri que lo llevaron a descubrir una geometría tan válida como la geometría de Euclides en la cual no se cumplía el quinto postulado.

Empecemos, como lo hizo Saccheri, con un cuadrilátero formado por dos pares de líneas que se suponen paralelas, en donde hemos designado a los vértices del cuadrilátero con letras distintas:

Obsérvese que, como punto de partida, hemos supuesto que los ángulos correspondientes a los vértices A y B son ángulos rectos. Esto siempre se puede llevar a cabo por construcción, y no requiere de mayor explicación. Obsérvese, sin embargo, que los ángulos correspondientes a los vértices C y D se han dejado como interrogantes. Existen entonces tres posibilidades:

1) Los ángulos en los vértices C y D son iguales ambos a un ángulo recto (90 grados), lo cual debe ser así si el quinto postulado del paralelismo es válido.

2) Los ángulos en los vértices C y D ambos son mayores a un ángulo recto (esta es la hipótesis del ángulo obtuso).

3) Los ángulos en los vértices C y D ambos son menores a un ángulo recto (esta es la hipótesis del ángulo obtuso).

Sin necesidad de utilizar el quinto postulado, es muy fácil demostrar que si los ángulos correspondientes a los vértices A y B son ángulos rectos, entonces los ángulos C y D no pueden ser diferentes, tienen que ser iguales. Si suponemos el quinto postulado de Euclides como justo, entonces los ángulos en los vértices C y D tienen que ser ángulos rectos, es la conclusión a la que se llega aplicando el quinto postulado. Si se niega que los ángulos correspondientes a los vértices C y D sean ángulos rectos, entonces se está negando al quinto postulado. Pero si éstos ángulos no son ángulos rectos, de cualquier modo tienen que ser iguales, así que ambos tienen que ser obtusos o agudos. Supóngase que el quinto postulado no se cumple y que ambos ángulos son agudos. Entonces la situación que tenemos entre manos es la siguiente:

Esta combinación de ángulos internos no es posible en la geometría Euclideana, en la cual el quinto postulado require que todos los ángulos sean ángulos rectos. Pero estamos suponiendo que el quinto postulado no es válido.

El problema que se le presentó aquí a Saccheri es que, usando precisamente este cuadrilátero, fue elaborando teorema tras teorema, siempre buscando algún absurdo. Pero no le fue posible encontrar ninguno. Acababa de descubrir lo que hoy se conoce como geometría hiperbólica sin darse cuenta de ello. Varios de los teoremas que descubrió y que rechazó “por absurdos”, son de hecho teoremas plenamente válidos dentro de la geometría hiperbólica. Incapaz de comprender y aceptar los alcances de su descubrimiento, tras haber desechado la tercera hipótesis Saccheri desechó también la primera (la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es menor que cuatro ángulos rectos) ya no sobre argumentos lógicos sino sobre argumentos teológicos.

A continuación, trataremos de reproducir la forma de pensar de Saccheri usada por él para la demostración de algunos de los teoremas que descubrió dentro de su nueva geometría. Se han hecho algunas modificaciones ligeras para hacer más entendibles los procedimientos, adaptados a la época presente. Todas las demostraciones se llevarán a cabo utilizando únicamente una regla (sin graduaciones ni marcas) y un compás, tal y como lo hacían los geómetras de la antigüedad, y se harán suponiendo la hipótesis de que los ángulos internos en los vértices de la cumbre del cuadrilátero son agudos.

Comenzaremos construyendo primero un cuadrilátero de Saccheri. Levantamos el cuadrilátero empezando con una recta AB, la base del cuadrilátero, y trazamos en los extremos de la base dos perpendiculares, las rectas AC y BD, de modo tal que los ángulos internos en los vértices A y B serán ángulos rectos, haciendo también con el compás que las rectas AC y BD sean iguales iguales en longitud. Tras esto, unimos los puntos C y D con una recta, completando el cuadrilátero:

Demostraremos ahora el primer teorema de nuestra geometría no-Euclideana para este cuadrilátero:

Teorema: Los ángulos en los vértices C y D de la cumbre del cuadrilátero de Saccheri son iguales.

Demostración: A continuación, trazamos dos diagonales para unir a los vértices opuestos del cuadrilátero:

Los triángulos BAC y ABD son congruentes (figuras geométricamente iguales) por tener dos lados iguales (el lado común AB, y el lado AC igual al lado BD por construcción) y un ángulo interior (el ángulo recto) igual. Por ser triángulos congruentes, entonces las rectas AD y BC deben tener la misma longitud. Este resultado intermedio puede ser expresado como un teorema: Las diagonales de un cuadrilátero de Saccheri son iguales. Y esto nos permite hallar dentro del cuadrilátero otros dos triángulos congruentes, los triángulos ACD y CDB, los cuales son congruentes esta vez por tener sus tres lados iguales (la misma base común en la recta CD, el lado AD es igual al lado BC, y el lado AC es igual al lado BD por construcción). Y si tienen sus tres lados iguales, al ser congruentes entonces sus ángulos correspondientes en los vértices C y D deben ser también iguales, lo cual concluye la demostración.

Si los ángulos en los vértices C y D son iguales, como lo acabamos de demostrar, ¿puede decirse algo más acerca de ellos?. En realidad esto es todo lo que podemos afirmar acerca de estos ángulos. No sabemos aún si son ángulos rectos, agudos u obtusos. Aunque resulta fácil ceder a la tentación de proclamarlos como ángulos rectos, esto no demuestra que lo sean. De hecho, a menos de que echemos recurso del quinto postulado de Euclides, no hay forma alguna de demostrar que sean ángulos rectos. Si el quinto postulado de Euclides es válido, entonces se puede demostrar fácilmente que deben ser ángulos rectos. Pero si no hacemos uso del quinto postulado, entonces nos queda la duda de que puedan ser ángulos agudos ó ángulos obtusos. Lo único que sabemos es que deben ser iguales. Trabajemos con el supuesto de que los ángulos en los vértices C y D sean agudos. Esto implica necesariamente que el quinto postulado de Euclides debe ser tomado como falso. A partir de este momento, la geometría Euclideana se comienza a tambalear ante nuestros ojos.

La hipótesis de que los ángulos internos en los vértices de la cumbre del cuadrilátero de Saccheri son agudos, los cuales se acaba de demostrar que son iguales, sumada al hecho de que los ángulos internos en los vértices de la base son rectos por construcción, equivale a decir que dentro de un cuadrilátero de Saccheri la suma de los ángulos internos es menor que 360 grados (cuatro ángulos rectos). Este enunciado no es demostrable, del mismo modo que el quinto postulado de Euclides tampoco lo es. Lo tenemos que aceptar como punto de partida, como un postulado o axioma.

Trabajando sobre el supuesto de que los ángulos C y D son agudos, podemos seguir demostrando más teoremas perfectamente válidos dentro de nuestra primera geometría no-Euclideana. A continuación tenemos otro teorema:

Teorema: La línea que une a los puntos medios de la base y la cumbre del cuadrilátero de Saccheri es una línea que será perpendicular a ambas rectas.

Demostración: A continuación, trazamos una recta que une a los puntos medios del cuadrilátero, los cuales designaremos como E y F. Ahora del punto E trazamos rectas a los vértices C y D del cuadrilátero.

Nuevamente, tenemos que se forman dos triángulos congruentes. Los triángulos AEC y BED son congruentes por tener dos lados iguales (por construcción, el lado AE es igual al lado EB, y el lado AC es igual al lado BD) y un ángulo recto (el ángulo en el vértice A y el ángulo en el vértice B son ambos rectos por construcción). Entonces la recta CE es igual a la recta ED por la relación de congruencia. Pero esto a su vez implica que tenemos otros dos triángulos congruentes, los triángulos CEF y DEF, al tener sus tres lados iguales (el lado CF es igual al lado FD por ser el punto medio de la recta en la cumbre del cuadrilátero). Entonces el ángulo q debe ser igual al ángulo r, lo cual sólo es posible si ambos son ángulos rectos. Esto ya nos dice que la línea EF es una perpendicular a la línea CD. Por otro lado, por la misma congruencia de los triángulos, el ángulo r debe ser igual al ángulo t, de modo tal que:

o + s = p + t

Esto solo puede ser posible si ambos miembros de la igualdad son un ángulo recto. Por lo tanto, la línea EF también es perpendicular a la recta AB, siendo por lo tanto perpendicular a ambas rectas, lo cual concluye la demostración.

Este teorema es interesante, porque nos dice que en nuestra geometría no-Euclideana siempre será posible trazar una línea que será perpendicular a ambas "paralelas".

A continuación, tenemos otro teorema para nuestra geometría no-Euclideana:

Teorema: Si en un cuadrilátero de Saccheri los brazos del cuadrilátero son desiguales, también lo serán los ángulos en la cumbre, y viceversa.

Demostración: Sea el cuadrilátero ABCD en el cual se ha trazado la recta BD con una longitud mayor que la longitud de la recta AC. En el lado mayor, tómese un punto E tal que el segmento de recta BE sea igual en longitud al lado AC:

En el primero de nuestros teoremas, ya habíamos demostrado que los ángulos en los vértices de la cumbre son iguales. Si aquí las rectas AC y BE son iguales, entonces por dicho teorema el ángulo ACE será igual al ángulo CEB:

ang(ACE) = ang(BEC)

Puesto que la recta CE subdivide al ángulo ACD del cuadrilátero, necesariamente el ángulo ACD será mayor que el ángulo ACE:

ang(ACD) > ang(ACE)

Puesto que el ángulo BED es un ángulo exterior del triángulo CED, entonces dicho ángulo será mayor que el ángulo BDC:

ang(BEC) > ang(BDC)

De las tres relaciones obtenemos que el ángulo ACD es mayor que el ángulo BDC a través de los pasos siguientes:

ang(ACD) > ang(ACE)

ang(ACD) > ang(BEC) usando la relación de igualdad

ang(ACD) > ang(BEC) > ang(BDC)

ang(ACD) > ang(BDC)

O sea, los ángulos en la cumbre serán desiguales, por haber sido los brazos del cuadrilátero desiguales, con lo cual queda demostrado el teorema.

Usando este último teorema junto con el segundo teorema, estamos en condiciones de poder demostrar otro teorema interesante:

Teorema: En un cuadrilátero de Sacchieri, la cumbre tiene una longitud mayor que la base.

Demostración: Para demostrar este teorema, dividimos nuevamente el cuadrilátero con una perpendicular que una los puntos medios de la base y la cumbre del cuadrilátero:

Esta línea de hecho divide al cuadrilátero original en dos cuadriláteros de Saccheri, el cuadrilátero AEFC y el cuadrilátero BEFD. Puesto que los ángulos en los vértices D y C son agudos, por el teorema que acabamos de demostrar el lado AC será mayor que el lado EF en el cuadrilátero AEFC, y el lado BD será mayor que el lado EF en el cuadrilátero BEFD. Acostando ahora el cuadrilátero AEFC sobre su lado EF, lo cual nos permite ver el lado EF como una base y los lados AE y CF como los “brazos” de un cuadrilátero, tenemos que el lado CF es mayor que el lado AE. Haciendo lo mismo con el otro cuadrilátero, tenemos algo similar: el lado FD es mayor que el lado EB, lo cual podemos representar con las relaciones:

CF > AE

FD > EB

Sumando los miembros respectivos de las desigualdades, tenemos una nueva desigualdad:

CF + FD > AE + EB

que es lo mismo en la figura que:

CD > AB

O sea que la cumbre del cuadrilátero ¡tiene una longitud mayor que su base!, como consecuencia directa de la hipótesis de los ángulos agudos en los vértices C y D. Esta conclusión empieza a parecer absurda y no concuerda con lo que nos dice nuestra “intuición”, con lo que nos sugiere nuestra experiencia cotidiana. Sin embargo, todos los pasos que hemos llevado a cabo están plenamente justificados, no hemos incurrido en ninguna contradicción lógica, en ningún momento hemos violado las reglas del juego. Igual que como lo descubrió Saccheri, ante nuestros ojos se está desenvolviendo una geometría completamente nueva, una geometría no-Euclideana, la cual nos obliga a ver las cosas desde una perspectiva diferente.

Definimos ahora, dentro de la geometría de Saccheri, que si dos líneas tienen una perpendicular común, como la línea EF mostrada arriba en el cuadrilátero Saccheri, entonces dichas líneas son paralelas. Resulta obvio que si dos líneas AB y CD tienen una perpendicular común, entonces no pueden tener otra perpendicular común más que ésta, ciertamente no en el cuadrilátero de Saccheri en donde los ángulos internos en los vértices C y D se han definido como agudos. Esto lo podemos expresar como un teorema sencillo que acabamos de demostrar usando las siguientes palabras: Si dos líneas en un cuadrilátero de Saccheri tienen una perpendicular común, entonces no pueden tener una segunda.

La existencia de una perpendicular común ofrece la posibilidad interesante para poder construír un cuadrilátero de Saccheri modificado de modo tal que uno de los lados del cuadrilátero sea precisamente esa perpendicular común. De este modo, tendremos un cuadrilátero en el que no únicamente dos sino tres de sus tres ángulos internos serán ángulos rectos como se muestra a continuación:

Este cuadrilátero es mejor conocido como el cuadrilátero de Lambert por haber sido utilizado en el siglo XVIII por el matemático Johann Lambert en sus estudios de geometrías no-Euclideanas, aunque de hecho fue utilizado previamente en el siglo XI por el notable científico musulmán Ibn al-Haytham, un pionero del método científico moderno. Aunque con el cuadrilátero Lambert nos es posible tener un cuadrilátero no-Euclideano en el que tres ángulos internos son rectos (a diferencia del cuadrilátero de Saccheri en el que únicamente dos ángulos internos son rectos), en el cuadrilátero de Lambert los lados verticales del cuadrilátero AC y BD dejan de ser iguales como lo eran en el cuadrilátero de Saccheri, con lo cual lo que por una parte se gana por la otra parte se pierde. En realidad, el cuadrilátero de Lambert no es más útil para intentar demostrar el “postulado de las paralelas” de Euclides que el cuadrilátero de Saccheri, por la simple y sencilla razón de que se trata de algo que no puede ser demostrado.

Procedamos ahora a probar el siguiente:

Teorema: Dos líneas serán paralelas, con una perpendicular común a ambas, si existe una recta transversal que corte a dichas líneas de modo tal que se formen ángulos alternos internos iguales, o ángulos correspondientes iguales.

Esto se verá demostrando que la suposición de que los ángulos alternos internos formados por la transversal que corta a dos líneas sean iguales implica que las rectas atravesadas serán paralelas en el sentido que se le dá a dicha palabra en la geometría de Saccheri. Primero, tómese las siguientes líneas AB y CD de modo tal que sean cortadas en los puntos P y Q por la línea transversal PQ:

de forma tal que el ángulo m sea igual al ángulo n. Si los ángulos m y n son ángulos rectos (de 90 grados), entonces la recta GH debe ser una perpendicular común a las líneas AB y CD, y la demostración se vuelve trivial. Si los ángulos m y n son ángulos agudos, seleccionemos el punto M dentro de la recta PQ de modo tal que sea el punto medio de dicha recta. Sea E la proyección del punto M sobre la línea AB. En la cumbre del cuadrilátero, en la línea CD, tómese el punto F a la izquierda del punto Q de modo tal que el segmento QF sea de igual longitud que el segmento PE. Entonces los triángulos MEP y MFQ serán congruentes (semejantes iguales) por tener dos lados iguales y un ángulo igual (los ángulos correspondientes por los vértices que se tocan en el punto M son iguales). Siendo los triángulos congruentes, entonces el ángulo QFM deberá ser igual al ángulo PEM por la misma congruencia (semejanza) de los triángulos. Siendo el ángulo PEM un ángulo recto por ser el punto E la proyección (perpendicular) sobre la línea AB del punto M, entonces el ángulo QFM también debe serlo, y se concluye que la recta EF es la perpendicular común a ambas líneas AB y CD, con lo cual se concluye también que los puntos E, M y F forman parte de una misma recta (son colineares). Entonces la igualdad de los ángulos alternos internos m y n conduce al resultado de que la recta EMF es una perpendicular común a ambas rectas AB y CD, lo cual solo puede ocurrir si ambas son paralelas.

Estamos ya en condiciones de poder deducir, mediante el cuadrilátero de Saccheri, el siguiente

Teorema: En la geometría basada en el cuadrilátero de Saccheri, la suma de los ángulos internos de todo triángulo será menor que 180 grados (dos ángulos rectos).

Haremos la demostración en dos partes. Lo haremos primero para el caso de los triángulos rectángulos (un triángulo con uno de sus ángulos internos igual a 90 grados). Considérese el siguiente triángulo rectángulo ABC inscrito en el cuadrilátero de Saccheri, lo cual supone que el ángulo interno p en el vértice A es un ángulo recto:

Por tratarse de un cuadrilátero de Saccheri, el ángulo en el vértice C del cuadrilátero, que es igual a la suma de los ángulos o y n, debe ser agudo, menor que 90 grados:

90° > o + n

Por lo que vimos en la demostración anterior, si la línea EF es la perpendicular común a las paralelas AB y CD, entonces los ángulos alternos internos m y n deben ser iguales, con lo cual la anterior desigualdad se convierte en:

90° > o + m

Sumando ahora el ángulo recto p a ambos miembros de la desigualdad, se tiene:

p + 90° > p + o + m

90° + 90°> p + o + m

180° > p + o + m

Esto nos dice claramente que en la geometría de Saccheri, la suma de los ángulos internos de todo triángulo rectángulo será menor que 180 grados.

Ahora se hará la demostración del teorema para cualquier triángulo en general que no sea un triángulo rectángulo. Esto se lleva a cabo con el socorrido truco de dividir un triángulo cualquiera en dos triángulos rectángulos trazando la altura de uno de los vértices a la base. Tómese el siguiente triángulo PQR y tiéndase la altura desde el vértice Q hasta su base de modo tal que la recta QS sea perpendicular a la recta PR:

Al quedar subdividido el triángulo en dos triángulos rectángulos, por lo que acabamos de demostrar para un triángulo tenemos entonces que las siguientes desigualdades deben ser ciertas:

180° > m + o + p

180° > n + q + r

Sumando miembro a miembro ambas desigualdades, obtenemos una nueva desigualdad:

360° > m + o + p + n + q + r

Pero la suma de los ángulos p y q debe ser 180 grados por ser ambos parte de una misma recta. Reacomodando y simplificando:

360° > m + o + n + r + 180°

180° > (m + n) + o + r

Pero m + n es el ángulo interno del triángulo PQR en el vértice Q. Esto nos dice que en la geometría de Saccheri la suma de los ángulos de cualquier triángulo debe ser menor que 180 grados.

Y así como demostramos los teoremas anteriores, podemos seguir derivando más teoremas. La conclusión de que en esta geometría la suma de los ángulos internos de todo triángulo siempre será menor que 180 grados, o sea menor que dos ángulos rectos, choca directamente con el resultado Euclideano que nos dice que en todo triángulo la suma de los ángulos internos será siempre igual a dos ángulos rectos. Hoy se nos hace más fácil digerir todo esto porque nuestro modo de pensar ha evolucionado y estamos más dispuestos a aceptar ideas que van en contra de nuestra intuición, como ha ocurrido con la mecánica cuántica, con el principio de incertidumbre de Heisenberg, con la Teoría de la Relatividad de Einstein, y con el Teorema de Gödel. Pero en la Edad Media e inclusive en los tiempos del Renacimiento, esto mismo que hemos visto hubiera sido visto casi como una herejía.

Paulatinamente, la imagen que empieza a surgir en la geometría de Saccheri es la de dos paralelas que tienen una perpendicular común y que fuera de ella van tomando el siguiente aspecto:

Un observador crítico tal vez podrá objetar de la siguiente manera: “El trazo de dos paralelas supone que estas son líneas rectas, no líneas curvas. Al tener dos líneas curvas ya no podemos hablar de rectas paralelas. Esto hace suponer que el quinto postulado de Euclides sigue siendo absolutamente válido y no hay otra realidad más que la mostrada por dicho postulado”. A lo que se le puede responder de la siguiente manera:

En primer lugar, la curvatura ha sido enormemente exagerada para fines pedagógicos. Una curvatura mucho menos pronunciada, en términos no de distancias terrestres sino de distancias astronómicas, parecería mostrarnos falsamente el aspecto de una línea recta sin serlo. Pero, efectivamente, la longitud de otra perpendicular trazada desde una de las “paralelas” que no coincida con la perpendicular común irá aumentando conforme nos vamos alejando más y más de la perpendicular común. Sin embargo, esto pierde por completo la perspectiva detrás de la construcción del cuadrilátero de Saccheri. Para construír un cuadrilátero de Saccheri, partimos desde una línea AB, la base del cuadrilátero, trazada de la forma más “recta” que nos sea posible concebir (tal vez usando un rayo láser) sin el menor indicio de curvatura alguna, haciendo el supuesto de que los ángulos en la base del cuadrilátero son ángulos rectos y los ángulos en la cumbre son agudos. Para el geómetra que está “abajo”, su visión de lo que ocurre es la siguiente:

Sin embargo, para un geómetra que viva “arriba” y que trace su cuadrilátero Saccheri de arriba hacia abajo, partiendo de la recta “más recta” que le sea posible trazar para la base de su cuadrilátero, quizá con la ayuda de un rayo láser, su visión de lo que ocurre será la siguiente:

Así, cada uno de ellos jurará por lo que les sea más sagrado que la base de su cuadrilátero Saccheri es totalmente recta mientras que la cumbre en el cuadrilátero “del otro” es la que manifiesta una curvatura que hace los ángulos internos en la cumbre agudos, algo que supuestamente dejará perplejos a ambos cuando intercambien notas. Pero ambos quedarán aún más estupefactos cuando alguien capaz de saltar fuera de tan peculiar universo viéndolos “desde arriba” (nosotros) les diga que las rectas de ambos exhiben una curvatura. Para empeorar las cosas, nadie ha venido desde el extremo límite del Universo, situado allá en el infinito, para decirnos cómo se comporta el espacio en tal región. Quizá allá la única geometría válida es la de Saccheri, llevada al extremo.

Si suponemos la base del cuadrilátero de Saccheri como una línea perfectamente recta, entonces resulta ahora más que obvio que por un punto exterior P a una recta dada es posible trazar una cantidad infinita de paralelas a la recta dada, todas las cuales tendrán su perpendicular común en el mismo punto externo P, como lo muestra la siguiente figura en la cual se han trazado tres rectas paralelas que pasan por el punto P:

La diferencia entre la suma de los ángulos internos de un triángulo y 180 grados es lo que comunmente se conoce como el defecto de un triángulo, lo cual se representará aquí con la letra griega delta (δ), y es una cantidad importante para poder llevar a cabo mediciones relacionadas con un triángulo, relaciones que posteriormente se verá en el Capítulo IV de esta bitácora que tienen que ver con el área de un triángulo definida dentro de este tipo de geometría.

La definición del “defecto” de un triángulo (esto de ninguna manera implica que algo en nuestra nueva geometría o en el triángulo sea defectuoso, hay que tomarlo como un uso completamente nuevo de la palabra sin connotación de falla alguna) nos permite establecer otro

Teorema: El defecto δ de un triángulo es igual a la suma de los defectos de los dos subtriángulos que resultan del trazo de una transversal simple dentro del triángulo.

Para demostrar esto, considérese el siguiente triángulo ABC, subdividido en dos subtriángulos por la recta que parte del vértice en el punto C hasta llegar al punto D:

Por la definición del defecto de un triángulo, los defectos de cada uno de los dos subtriángulos estarán dados por las siguientes relaciones:

δ(ADC) = 180 - (m + o + p)

δ(BCD) = 180 - (n + q + r)

Sumando ambas expresiones miembro a miembro y agrupando:

δ(ADC) + δ(BCD) = 360 -[m + o + (p + q) + n + r]

Pero la suma de los ángulos p y q será 180 grados por ser ángulos suplementarios sobre la misma recta, y el ángulo en el vértice C es igual a la suma de los ángulos m y n. Simplificando lo anterior con estos hechos, todo se reduce a:

δ(ADC) + δ(BCD) = 360 - 180 - [(m + n) + o + r]

δ(ADC) + δ(BCD) = 180 - [ang(C) + o + r]

δ(ADC) + δ(BCD) = δ(ABC)

Y el teorema queda demostrado.

Esta propiedad aditiva resulta ser posteriormente de mucha utilidad cuando se trata de definir el concepto del área contenida en el interior de un triángulo Saccheriano.

De haber promocionado Saccheri sus descubrimientos, posiblemente a la larga habría obtenido fama imperecedera como un matemático revolucionario. El problema es que en los tiempos en los que vivía Saccheri no era tan fácil el tratar de cuestionar la geometría desarrollada por Euclides, no era tan fácil desafiarla como la única geometría posible. Euclides era tenido en tan alta estima de autoridad por los clásicos de aquél entonces, que cuestionarlo era considerado casi como una herejía. Y lo que había encontrado Saccheri no sólo derrumbaba a la geometría euclideana como la única geometría posible, sino que traía aparejados un conjunto de nuevos teoremas que entraban directamente en conflicto con los teoremas demostrados por Euclides. Estamos hablando de algo capaz de parar a la geometría Euclideana de cabeza. Y lo que había encontrado Saccheri era una geometría completamente nueva, consistente, sin contradicciones.

Con todo, Saccheri no fue el único que no se atrevió a reconocer la magnitud de su descubrimiento y mucho menos a desafiar algo establecido y aceptado como verdad única hace cientos de años. Nadie menos que el matemático alemán Carl Gauss (1777-1855), el príncipe de las matemáticas, se topó también con el hecho de que el quinto postulado de Euclides no era una verdad absoluta como muchos suponían; podía ser reemplazado por una suposición alterna, tras lo cual se podía construír toda una nueva geometría perfectamente consistente, sin contradicciones, con sus propios teoremas. Gauss llegó a estas conclusiones siguiendo un camino totalmente diferente. Uno de los más importantes contribuyentes a la geometría diferencial, descubrió el teorema de que la “curvatura” de una superficie no-planar estaba relacionada a la métrica usada para medir dicha curvatura (la métrica se define como la expresión matemática usada para medir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una superficie, y si la superficie no es plana, entonces la línea más corta trazada sobre dicha superfice de un punto a otro recibe un nombre más elaborado: la geodésica. Gauss logró demostrar, en su Theorema Egregium, que la curvatura de una superficie es independiente del espacio dentro del cual existe esa superficie, siendo esto una propiedad intrínseca a la suma de los ángulos internos de un triángulo construído sobre dicha superficie, lo cual conducía directamente a la conclusión lógica de que no sólo la suma de los ángulos internos de un triángulo construído sobre una superficie determinaba podía ser diferente de los 180 grados que obtenía la geometría Euclideana, sino inclusive dicha suma podía ser utilizada para calcular la curvatura de la superficie. En otras palabras, para poder determinar la curvatura de la superficie de la Tierra, no es necesario llevar a cabo una medición externa; basta con trazar con mucho cuidado un triángulo grande sobre dicha superficie, y sumando los ángulos internos podemos saber si la Tierra es “plana” como lo suponían muchos contemporáneos de Cristóbal Colón (en cuyo caso la medición arrojaría 180 grados) o podemos saber si la superficie de la Tierra es una superficie curva. Y se repite que para obtener esta información no es necesario salir fuera del triángulo, basta con medir los ángulos interiores del triángulo, los cuales son una propiedad intrínseca de dicha figura geométrica.

Antes que Gauss, Johann Heinrich Lambert (1728-1777) quien ya fue mencionado previamente con motivo del cuadrilátero de Lambert se había acercado nuevamente a la construcción de geometrías no-Euclideanas en su libro “Teoría de las líneas paralelas” publicado en 1776. Usando una metodología similar a la de Saccheri, descubrió que las tres hipótesis de Saccheri eran equivalentes a la afirmación de que la suma de los ángulos internos de un triángulo puede ser igual, mayor o menor que dos ángulos rectos (180 grados); y demostró también que la geometría esférica era similar al tercer caso, especulando que la primera geometría pudiera corresponder a una geometría trazada sobre una esfera con radio imaginario (en donde la base unitaria es la raíz cuadrada del número negativo 1, o sea -1, denotada en matemáticas como i). Reemplazando un radio real por un radio imaginario condujo a lo que se puede considerar como la primera geometría hiperbólica en la cual las fórmulas trigonométricas usuales del seno(x) y del coseno(x) son reemplazadas por el seno hiperbólico ó senh(x) y el coseno hiperbólico ó cosh(x). Entonces surge una duda: ¿por qué razón una de las hipótesis alternas de Saccheri lo condujo a contradicciones lógicas? La respuesta resulta ser mucho más sencilla de lo que parece. Para que en esa “geometría alterna” Saccheri no llegara a contradicciones, no bastaba con modificar el postulado de las paralelas; había que modificar también el segundo postulado que nos dice que una línea se puede extender infinitamente en ambas direcciones, el cual no consideraba la posibilidad de que una recta extendida hacia el infinito en uno de sus lados pudiera regresar por una curvatura del espacio del Universo al punto de partida, en cuyo caso tendríamos no una línea abierta sino una línea cerrada.

Gauss, al igual que Saccheri, se dió cuenta del riesgo que corría si publicaba sus descubrimientos. Además del enorme escándalo que seguramente suscitaría al parar a la geometría euclideana de cabeza, se exponía al ridículo público de aquellos que no quisieran comprender la magnitud de su descubrimiento (a los cuales llamó “beocios”). Es por esto que Gauss prefirió callar y conservar su bien ganada reputación. Fue hasta su muerte cuando al hurgar entre sus papeles se encontraron los manuscritos con los que se comprobó que Gauss, por la vía de la geometría diferencial, había confirmado sus anteriores descubrimientos de una geometría diferente a la geometría Euclideana. Sin embargo, pese a su enorme estatura, no se le dá a Gauss el crédito que merece por dicho descubrimiento porque en la ciencia el crédito va no para quien descubre algo por vez primera sino para aquél que publica los resultados de su descubrimiento primero (es por esto que la paternidad de la invención del cálculo diferencial e integral siempre fue motivo de agrias discusiones y reclamos entre las dos personas que reclamaron hasta el final de sus días el mérito de haber sido el primero en desarrollarlo, por un lado Sir Isaac Newton, y por el otro lado Gottfried Leibniz).