Tanto la geometría esférica como la geometría elíptica parten de una base fundamental: el postulado de las paralelas de Euclides de que "por un punto exterior a una recta dada solo es posible trazar una paralela a dicha recta" es modificado para suponer que por un punto exterior a una recta dada no es posible trazar una paralela a dicha recta. Sin embargo, existe una tercera posibilidad. Esta posibilidad consiste en suponer que por un punto exterior a una recta dada es posible trazar más de una paralela a una recta, lo cual a muchos les puede parecer sorprendente cuando son expuestos por vez primera a una geometría en la cual se tome esta aserción como cierta. Interesantemente, si tomamos esta suposición como válida, usandola para reemplazar el quinto postulado de Euclides, podemos construír otra geometría conocida como geometría hiperbólica, perfectamente consistente, dentro de la cual podemos deducir teoremas tan válidos como los que encontramos dentro de la geometría euclideana. Este tipo de geometría, dentro de la cual se cumple este postulado alterno, también es conocida como geometría de Lobachevski, en honor al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) que descubrió y desarrolló completamente una geometría de este tipo. Desafortunadamente, Lobachevski no concibió alguna manera gráfica que permitiese representar de algun modo los objetos geométricos dentro de su geometría hiperbólica, con lo cual la visualización de los teoremas que derivó recurriendo meramente al simbolismo algebraico puro se volvió prácticamente imposible. Esta visualización sólo se volvió posible con una invención muy ingeniosa que veremos a continuación.
Empecemos con la pregunta básica: ¿Cómo podemos construír este mundo nuevo, dentro del cual se cumpla el símil de los demás axiomas de la geometría Euclideana, y en el cual se pueda llevar a cabo también la construcción de figuras geométricas como los "triángulos" y los "cuadriláteros" y en donde se pueda llevar a cabo la demostración de teoremas de la misma manera rigurosa y axiomática como se realiza en la geometría Euclideana?
La respuesta a esta pregunta se obtiene recurriendo a algo que en matemáticas se conoce como una transformación. Vamos a estudiar cierto tipo de transformación, la inversión del plano en un círculo, considerando esta inversión como la generalización de una reflexión con respecto a una línea recta. En las siguientes figuras, tenemos primero a la recta L y un punto P exterior a la misma:
El punto P se verá "reflejado" debajo de la línea L poniendo un punto P' por debajo de dicha línea que tenga la misma distancia a la línea L como la distancia que guarda hasta dicha línea el punto P (generalmente se designa la proyección de la imagen de un punto, de un segmento, o inclusive de una figura, con la misma letra pero con la distinción de primas, o sea agregando el símbolo ' a la letra). Así, cada punto, línea, o inclusive figura geométrica que pongamos encima de la línea L, se verá "reflejado" por debajo de la línea L en otro punto, línea, o inclusive figura geométrica, que será una "reflexión" de la figura original. En el diagrama tenemos también un círculo con respecto al cual se llevará a cabo una reflexión semejante. El interior del círculo reflejará todos los puntos, líneas, e inclusive figuras geométricas, que podamos dibujar en el exterior del mismo, para lo cual proyectamos una figura exterior, punto por punto, hacia el interior del círculo. ¿Y cómo sabemos a que distancia, dentro del círculo, pondremos la "imagen" de un punto situado fuera del mismo? Lo haremos con la siguiente regla:
OP•OP' = r²
en donde r es el radio del círculo. De este modo, si conocemos la distancia OP y conocemos el radio r del círculo, podemos calcular la distancia OP' simplemente como:
OP' = r²/OP
Para quienes han estudiado geometría analítica, esta relación tal vez les parezca sospechosamente familiar. Y lo es, porque con un simple cambio de símbolos, tendríamos lo siguiente:
y = 1/x²
Y esto, como los estudiantes de geometría analítica lo deben saber, es la fórmula de una hipérbola, una línea curva trazada en el plano Cartesiano de dos dimensiones. Puesto que estamos construyendo nuestra nueva geometría no-Euclideana con una relación similar, es justo que llamemos a nuestra nueva geometría como geometría hiperbólica.
Este modelo de geometría hiperbólica tiene un nombre. Se trata del disco hiperbólico de Poincaré, concebido por el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912). Como pronto lo veremos, este es un modelo en el cual una línea recta (en el sentido Euclideano, trazada fuera del disco) viene quedando representada adentro del disco como un arco de círculo cuyos extremos son perpendiculares a la frontera del disco. De aquí en adelante, al hablar acerca del círculo de inversión y al hablar acerca del disco de Poincaré, se entenderá que se está hablando de la misma cosa.
Al adentrarnos dentro de nuestro nuevo mundo, tenemos que ser muy precavidos y estar alertas ante la posibilidad de que los axiomas en la geometría Euclideana, esas "verdades tan evidentes que deben ser aceptadas como ciertas sin discusión", posiblemente ya no sean válidos dentro de la geometría hiperbólica, y muy en especial el "postulado de las paralelas", el cual ciertamente tendrá que ser modificado. Y será modificado de una manera espectacular: "Por un punto exterior a una recta dada, se pueden trazar una cantidad infinitamente grande de rectas paralelas a la recta dada". Esto de inmediato entra en conflicto con lo que nos enseñaron en la escuela.
Formulémonos ahora una pregunta interesante. ¿Cómo se verán las imágenes de los objetos geométricos cotidianos al ser proyectados dentro de un círculo de inversión? Empezaremos por el caso más sencillo de todos, una línea recta externa al disco de Poincaré alineada con el centro de inversión O del disco.
Aquí la respuesta es obvia, puesto que por la definición misma de inversión cualquier punto en una recta exterior alineada con el centro O del disco tendrá como imagen otro punto dentro del disco situado en la recta imaginaria que los une. Así, la siguiente recta AB tendrá como imagen la recta B'A' dentro del disco (obsérvese que los puntos correspondientes a cada recta son intercambiados).
Ahora viene una pregunta un poco más difícil. ¿Cómo se verá la imagen de una recta exterior que no esté alineada con el centro del disco? La respuesta podrá parecer sorprendente. Se verá como el arco de una circunferencia. Para demostrar este enunciado, tracemos una recta perpendicular a una recta externa L de modo tal que dicha recta perpendicular que parte del punto A pase por el centro de inversión O del disco, con lo cual el punto A tendrá una imagen A' dentro del disco:
Ahora distinguimos cualquier otro punto P en la recta exterior L, el cual tendrá también una imagen dentro del disco en el punto inverso P':
Puesto que, por la definición de inversión:
OA•OA' = r²
OP•OP' = r²
OP•OP' = r²
Se deduce igualando ambas expresiones que:
OA'/OP' = OP/OA
Esta proporcionalidad nos dice que los dos triángulos OAP y OP'A' son triángulos semejantes. Siendo así, entonces el ángulo OP'A' es también un ángulo recto por la relación de semejanza, lo cual hace que el triángulo interno sea un triángulo rectángulo. Pero esto significa que, por un teorema de geometría, A'P' es la cuerda de una circunferencia que pasa por los puntos A', P' y O, siendo OA' el diámetro de dicha circunferencia. El teorema que estamos invocando nos dice lo siguiente: Para todo triángulo rectángulo cuya hipotenusa se haga coincidir con el diámetro de una círculo, los tres vértices de dicho triángulo serán puntos situados en la circunferencia del círculo. Desafortunadamente, en la mayoría de los libros de geometría usados en las escuelas de enseñanza media y superior, este teorema no solo no es demostrado, sino que ni siquiera aparece mencionado, razón por la cual se procederá a la demostración de dicho teorema antes de continuar adelante. Para ello, supongamos que acostamos un triángulo sobre su base haciendo coincidir la base con el diámetro de una circunferencia. Lo que tenemos que hacer es demostrar que dicho triángulo será necesariamente un triángulo rectángulo, o sea demostrar que el ángulo opuesto a la base del triángulo es un ángulo de 90 grados.
Sea un triángulo OA'P' inscrito dentro de un círculo, con su base coincidiendo con el diámetro del círculo con centro en el punto C. Tiéndase una recta del punto A' al punto medio de la recta OP', o sea al punto C que es el centro del círculo:
Esto divide al triángulo inscrito en dos triángulos isósceles, el triángulo OA'C y el triángulo P'CA'. El que los dos triángulos sean isósceles viene de la misma definición de triángulo isóceles, "un triángulo con dos lados iguales y uno desigual". En el triángulo OA'C los lados OC y A'C son iguales, por ser ambos lados igual al radio del círculo, mientras que OA' es el lado desigual, pudiendo decirse lo mismo para el otro triángulo isósceles. En la geometría Euclideana podemos invocar el teorema que nos dice "en todo triángulo la suma de los ángulos internos es igual a 180 grados". Esto significa que podemos relacionar los ángulos internos dentro de cada triángulo isósceles de la siguiente manera:
r + m + u = 180°
n + q + s = 180°
n + q + s = 180°
Sumando ambos lados de las igualdades, tenemos:
r + m + u + n + q + s = 360°
r + u + q + s + (m + n) = 360°
r + u + q + s + (m + n) = 360°
Pero los ángulos m y n son ángulos suplementarios, los cuales juntos suman 180°, con lo cual:
r + u + q + s = 180°
Aquí podemos invocar otro teorema de la geometría plana que, para variar, sí aparece demostrado en la mayoría de los libros de texto que tratan del tema, que nos dice: "en todo triángulo isósceles los lados opuestos a los lados iguales son iguales". O sea, que:
u = r
q = s
q = s
Haciendo estas substituciones, se tiene que:
u + u + q + q = 180°
2u + 2q = 180°
2u + 2q = 180°
u + q = 90°
Esto nos dice ya que el ángulo interno correspondiente al vértice A es un ángulo recto, o sea que el triángulo es un triángulo rectángulo, lo cual concluye la demostración.
De este modo, volviendo al disco de inversión, se concluye que un segmento de línea recta exterior al disco comprendido entre los puntos A y B se verá proyectado dentro del disco como un pequeño arco de círcunferencia de la manera como se muestra a continuación:
Obsérvese que para que se pueda formar una circunferencia completa dentro del disco, es necesario que nuestra recta exterior se extienda infinitamente en ambas direcciones, cuyos extremos en el infinito tenderán a "tocarse" justo en el centro O del disco de Poincaré. Un segmento de una recta externa tendrá como imagen un arco de circunferencia dentro del disco de inversión, y si la recta es infinitamente grande entonces su imagen formará una circunferencia completa dentro del disco que pasará por el centro del disco.
Puesto que las figuras externas al disco son a su vez inversas de sus imágenes correspondientes dentro del disco, se concluye que todo círculo trazado dentro del disco de Poincaré que pase por el centro del disco tendrá como imagen fuera del disco una línea recta que se extiende al infinito en ambas direcciones.
Curiosamente, una circunferencia dentro del disco de Poincaré que no pase por el centro O del disco tendrá como imagen fuera del disco otra circunferencia, y es lo que se demostrará a continuación.
Para evitar confusiones, se distinguirá aquí al disco de inversión como el círculo k, la circunferencia exterior al disco de inversión será designada como la circunferencia c, y la imagen de la circunferencia c dentro del disco de inversión será denotada como c'.
A continuación, trazamos dos secantes que corten a la circunferencia c en los puntos A y B una y en los puntos M y N la otra, de modo tal que al ser extendidas pasen justo por el centro del disco de inversión k. Para la demostración no es necesario trabajar con las dos secantes, y por lo tanto usaremos solo una de ellas, la secante OMN. Las imágenes de los puntos M y N dentro del disco serán M' y N', respectivamente. Esto lo tenemos representado en la siguiente figura:
Por la misma definición de inversión, las siguientes dos relaciones deben ser ciertas:
OM•OM' = r² = a
ON•ON' = r² = a
ON•ON' = r² = a
Obsérvese que, puesto que el radio r del disco de inversión es constante, lo hemos hecho igual a una cantidad constante a.
Ahora igualaremos miembro a miembro estas expresiones:
OM•OM' = ON•ON'
OM/ON' = ON/OM' ___ (1)
OM/ON' = ON/OM' ___ (1)
Tras esto, multiplicaremos miembro a miembro las igualdades:
OM•OM'•ON•ON' = a*a = a²
(OM•ON)•(OM'•ON') = a² ___ (2)
(OM•ON)•(OM'•ON') = a² ___ (2)
Ahora recurriremos a un teorema de geometría plana que aparece demostrado en muchos libros de texto (un texto de geometría que no contenga la demostración de este teorema no merece ser clasificado ni siquiera como medianamente bueno): Si desde un punto O exterior a una circunferencia se trazan secantes a dicha circunferencia, el producto de las distancias del punto O a las intersecciones de cada secante con la circunferencia es una cantidad constante. En otras palabras, el producto
OM•ON = b ___ (3)
no varía al desplazarse el punto M por la circunferencia c, se mantiene como una cantidad constante, por este motivo lo hemos hecho igual a una constante b. Sustituyendo (3) en (2):
b•(OM'•ON') = a²
OM'•ON' = a²/b ___ (4)
OM'•ON' = a²/b ___ (4)
Dividiendo (3) entre (4) miembro a miembro y reacomodando, tenemos:
(OM•ON)/(OM'•ON') = b/(a²/b)
(OM/ON')•(ON/OM') = b²/a² ___ (5)
(OM/ON')•(ON/OM') = b²/a² ___ (5)
Finalmente, podemos sustituír (1) en (5) para obtener
(OM/ON')*(OM/ON') = b²/a²
(OM/ON')² = b²/a²
OM/ON' = b/a
OM/ON' = constante
(OM/ON')² = b²/a²
OM/ON' = b/a
OM/ON' = constante
Esto último nos dice que las figuras descritas por los puntos M y N' son semejantes, con lo cual queda demostrado el teorema. Como el punto móvil M está formado cualquiera de los puntos que forman la circunferencia c, se concluye que el punto N' también describirá una circunferencia c'.
Aquí hay que destacar un hecho importante: dentro del círculo de inversión, la menor distancia entre los puntos A' y B' no es la recta trazada entre dichos puntos que nosotros vemos "desde arriba", sino el arco de la circunferencia que une dichos puntos, o sea, la recta hiperbólica. Lo que ve un habitante del "universo hiperbólico" no es lo mismo que lo que nosotros vemos "desde arriba" y desde fuera. De hecho, el centro del disco de inversión corresponde a un punto situado en el infinito, un habitante del universo hiperbólico jamás alcanzaría a llegar al centro del disco, como tampoco alcanzaría a llegar hasta el borde del mismo, aunque para nosotros tales cosas parezcan posibles.
Hasta ahora, he tratado aquí acerca de las imágenes que dentro del círculo de inversión tendrán objetos geométricos cotidianos puestos fuera del círculo. Olvidémonos de lo que ocurre fuera del círculo de inversión y veamos a continuación lo que vendría ocurriendo dentro del círculo. Se puede demostrar que, dentro del círculo de inversión, la "menor distancia entre dos puntos", lo que vendría siendo una recta hiperbólica, la ruta que seguiría un rayo de luz lanzado desde una linterna por un habitante del universo hiperbólico, seguirá la ruta de un arco de círculo que al dirigirse "hacia el infinito" (hacia el borde del disco) lo hará aproximándose a una perpendicular trazada por fuera a la tangente del borde del disco. La demostración de esto último requiere entrar en detalle en algo conocido como el cálculo de variaciones, en donde la tarea consiste en obtener las características que deberá llenar la línea imaginaria que seguirá un rayo de luz para minimizar su tiempo de recorrido para llegar de un punto a otro, proporcionando por lo tanto la distancia "más corta" dentro de dos puntos dentro del disco. (En relación al uso de un rayo de luz para encontrar la ruta que minimiza el tiempo de recorrido entre dos puntos, lo cual ocurre bajo un principio de la física conocido como el Principio de Fermat, consúltese el Suplemento # 1 puesto al final de esta bitácora.) Si el rayo de luz es lanzado en dirección opuesta, ocurrirá lo mismo. Para nosotros, ese rayo de luz que dentro del universo hiperbólico viaja a lo largo de una línea recta (según el habitante de dicho universo) lo veremos desde fuera siguiendo lo que parece ser una línea curva. Por ello, al saltar del universo Euclideano al plano hiperbólico, nuestra forma de pensar tiene que ser adecuada a una nueva realidad (del mismo modo, un habitante del universo hiperbólico que nos vea desde adentro tiene que ajustar su forma de vernos a quienes vivimos fuera de su peculiar universo).
Existe un programa interactivo interesante (implementado en una rutina de software conocida como applet) del Profesor Paul Garrett que nos permite trazar de inmediato a nuestro antojo rectas hiperbólicas dentro de un disco de inversión. El enlace que proporciona esta herramienta educativa es el siguiente:
http://www.math.umn.edu/~garrett/a02/H2.html
Todo lo que hay que hacer es oprimir el "mouse" con el cursor puesto en algún lugar dentro del disco, y manteniéndolo oprimido se arrastra el cursor trazando la línea. Si se mantiene oprimido el cursor, la recta hiperbólica puede ser ampliada, reducida, o cambiada de posición según queramos.
Quienes estén familiarizados con las definiciones que se dán en la geometría analítica de varias de las curvas que allí se estudian, tal vez en estos momentos al ver que la imagen dentro del círculo de inversión de una circunferencia externa c es también otra circunferencia c' se estarán preguntando cómo es esto posible. Después de todo, en la geometría analítica Euclideana, la definición de una circunferencia es la siguiente:
"Circunferencia es el lugar de los puntos tales cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante."
En esta definición se sobreentiende que todos los radios trazados desde el centro de la circunferencia hasta la circunferencia misma tienen la misma longitud. Pero si por la forma en la cual está definida la inversión todas las distancias son alteradas al llevarse a cabo la inversión, e inclusive todas las rectas exceptuando aquellas que están alineadas con el centro del disco terminan siendo convertidas en arcos de círculo, entonces ¿cómo es posible que sigamos teniendo una circunferencia después de haber llevado a cabo la inversión de una circunferencia exterior? ¿Cómo es posible que los radios permanezcan inalterados para seguir teniendo también una circunferencia dentro del disco de inversión? La respuesta a esto es que los radios equidistantes que corresponden a la circunferencia exterior de hecho sí son distorsionados, aunque aquí a primera vista la distorsión no es obvia. Para aclarar el asunto, a continuación se muestra la circunferencia interior con varios de sus "radios" trazados dentro de ella:
Como puede verse, los radios de esta circunferencia c no son "líneas rectas" en el sentido al cual estamos acostumbrados en la geometría Euclideana. Es más, el "centro" de la circunferencia c ni siquera coincide con el punto central al cual estamos acostumbrados a llamar "centro". Sin embargo, dentro del disco de inversión, la definición de circunferencia sigue siendo rigurosamente válida, siempre y cuando estemos dispuestos a modificar nuestro modo de pensar adaptándolo a la nueva geometría, a la geometría hiperbólica. Nuestra definición de lo que viene siendo una circunferencia dentro del disco de inversión tiene que ser modificada de la siguiente manera:
"Circunferencia hiperbólica es el lugar de los puntos tales cuya distancia hiperbólica a un punto fijo llamado centro es constante."
Se puede demostrar que, dentro de un disco de inversión unitario (con radio R=1), un "círculo" con radio intrínseco r tendrá una circunferencia C de longitud:
C = 2 • π • sinh(r)
en donde sinh(r), el seno hiperbólico de r, es una función definida de la siguiente manera:
(Las funciones trigonométricas hiperbólicas son algo que surge naturalmente en el estudio de las geometrías no-Euclideanas hiperbólicas.)
Para ver cómo nos cambia esto todo aquello a lo cual habíamos estado acostumbrados en la geometría Euclideana plana, a continuación tenemos algunos valores numéricos para el seno hiperbólico:
senh(0.1) = 0.100167
senh(0.5) = 0.521
senh(0.8) = 0.888
Puesto que para cualquier valor de x su seno hiperbólico siempre será una cantidad mayor que x, en la geometría hiperbólica una circunferencia siempre tendrá una longitud mayor que una circunferencia Euclideana con el mismo radio. Esto contrasta en forma opuesta a lo que ocurre en la geometría esférica, en donde una circunferencia trazada sobre la superficie de una esfera siempre tendrá una longitud menor que una circunferencia Euclideana con el mismo radio.
Si el disco de inversión no es unitario, y tiene un radio R diferente de la unidad, entonces la relación para la longitud de una circunferencia de un "círculo" con radio intrínseco r tendrá un valor de:
C = 2 • π • sinh(r/R)
No nos llevará mucho tiempo, llevando a cabo "proyecciones" hacia adentro del círculo mediante este procedimiento de inversión, para darnos cuenta de que hay algunas "verdades" que simple y sencillamente no pueden ser obtenidas de otros "postulados" más elementales. Estas verdades serán nuestro punto de partida para formalizar nuestra nueva geometría y para poder llevar a cabo la demostración de teoremas en forma análoga a como se lleva a cabo en la geometría Euclideana. Veamos si mis lectores pueden vivir con el siguiente sistema axiomático:
AXIOMAS DE LA GEOMETRIA HIPERBOLICA
Postulado 1: Por dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una, recta hiperbólica.
Postulado 2: Una recta hiperbólica se puede extender indefinidamente en ambas direcciones sin que se lleguen a tocar jamás sus puntos extremos.
Postulado 3: Se puede dibujar un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio.
Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
Postulado 5: Por el punto P, que no pertenece a una recta hiperbólica, pueden ser trazadas dos rectas hiperbólicas paralelas a P.
Postulado 6: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.
Postulado 7: Si a iguales les sumamos iguales, las sumas resultantes serán también iguales.
Postulado 8: Si a iguales les restamos iguales, los remanentes serán iguales.
Postulado 9: Figuras que se pueden hacer coincidir son iguales.
Postulado 10: El todo es mayor que la suma de sus partes.
El primer postulado (axioma) es obvio. Para ello, nos basta proyectar una línea recta exterior al círculo (recta en el sentido Euclideano) hacia adentro del círculo, punto por punto, mediante el procedimiento de inversión. Sólo se puede trazar una recta hiperbólica dentro del círculo que corresponderá a la recta exterior Euclideana. Y si la recta fuera del círculo que estamos proyectando hacia adentro no está situada dentro de una línea trazada desde el centro del círculo, descubriremos una cosa interesante: todas las líneas hiperbólicas trazadas dentro del círculo resultan ser arcos de círculo.
El segundo postulado también es obvio por un hecho excepcional: en nuestra inversión estamos moviendo todo lo que está a distancias enormes, en el infinito, hacia adentro del círculo. De hecho, el infinito que no alcanzamos a ver en la lejanía del Universo corresponde al borde del círculo. Esto quiere decir que conforme nos vamos acercando a lo largo de una recta hiperbólica hacia el borde del círculo, nuestra proyección fuera del círculo se va ampliando adquiriendo distancias enormes. Movimientos cada vez más microscópicos dentro del círculo al acercarnos a la orilla corresponden a distancias cada vez más inconmensurables fuera del mismo. Y como el borde del círculo es el infinito, ninguna recta hiperbólica puede salirse "fuera" del mismo para volver a encontrarse consigo misma. De esta manera, mientras una recta Euclideana siempre terminará encontrándose consigo misma en el infinito, los puntos extremos de una recta hiperbólica jamás se llegarán a tocar por más que sean extendidos.
En relación al tercer postulado, un círculo en un plano hiperbólico se define como el lugar de los puntos tales que todos ellos están a la misma distancia de un punto llamado centro, al igual que como ocurre en el plano Euclideano. Aquí mis lectores tendrán una duda. ¿Que forma toma, dentro del círculo de inversión, un círculo Euclideano convencional trazado fuera del mismo? Los dejaré con la duda para estimularlos a que jueguen un poco con un círculo de inversión y hagan los trazos requeridos para ver que és lo que se obtiene. ¿Les asombraría descubrir que un círculo proyectado dentro de un círculo de inversión seguirá siendo un círculo, excepto que el centro parecerá estar "fuera de centro"?
El cuarto postulado de nuestra geometría hiperbólica requerirá el trazo de algunas figuras geométricas fuera del círculo de inversión, proyectadas posteriormente hacia adentro, para determinar si se mantiene en pie o si hay que descartarlo.
El quinto postulado de nuestra geometría hiperbólica, "por el punto P, que no pertenece a una recta hiperbólica, pueden ser trazadas dos rectas hiperbólicas paralelas a P", ya no es tan obvio. Pero el quinto postulado de Euclides tampoco lo fue. Sin embargo, se puede verificar trazando algunas rectas dentro y fuera del círculo de inversión para descubrir esta verdad que tenemos que aceptar como cierta, al no ser posible su demostración.
Los postulados restantes, el sexto, el séptimo, el octavo, el noveno y el décimo, deben mantenerse válidos dentro de nuestra geometría hiperbólica, ya que en caso contrario toda la pirámide sobre la cual están construídas las matemáticas e inclusive la misma lógica se nos puede venir abajo.
Con estos postulados de la geometría hiperbólica que hemos elaborado, nos basta y sobra para continuar demostrando teoremas dentro de la geometría hiperbólica tal y como lo hacía Saccheri, algunos de los cuales de hecho pueden corresponder sin modificación alguna a los teoremas que se demuestran dentro de la geometría Euclideana, mientras que otros tendrán que ser modificados. Primero repasaremos lo básico. Dentro de la geometría hiperbólica definimos como "líneas paralelas" aquellas rectas infinitas trazadas dentro de un plano hiperbólico que no se cruzan jamás. Esto es lo que tenemos en la siguiente figura:
en donde las "rectas" hiperbólicas de color negro que se cortan en el punto p pese a no ser paralelas entre sí son paralelas todas ellas a la "recta" hiperbólica de color magenta, lo cual muestra algo importante: en una geometría hiperbólica, a través de un punto p externo a una recta dada se puede trazar no sólo una sino una cantidad infinita de rectas paralelas a la recta dada. Contrástese esto con lo que ocurre en la geometría Euclideana, en donde a través de un punto p externo a una recta dada sólo es posible trazar una sola recta paralela a la recta dada. Contrástese también con lo que ocurre en la geometría esférica (elíptica) en donde a través de un punto externo p a una recta dada no es posible trazar ninguna recta paralela a la recta dada. Y aquí también ocurre otro hecho muy curioso. Podemos ver que dos rectas que no son paralelas, como las tres rectas hiperbólicas de color negro que se cruzan en el punto p, pueden ser sin embargo todas ellas paralelas a otra recta como la recta hiperbólica de color magenta. Esto va en contraposición directa al viejo teorema en la geometría Euclideana que nos dice que "dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí".
Por la forma en la cual está definido el círculo de inversión, parecería que para poder construír la imagen inversa de un objeto situado fuera del disco necesitaríamos tener una calculadora a la mano para poder estar calculando cada punto imagen del objeto dentro del disco. Sin embargo, tal cosa no es necesaria, por un teorema que nos dice: El punto inverso P' a un punto exterior P con respecto a un disco de inversión de radio r puede ser construído usando únicamente un compás. Nada de fórmulas, nada de álgebra, nada de aritmética, solo se requiere un compás. Esto, dicho sea de paso, se acerca al espíritu de la geometría de la antigua Grecia en los tiempos de Euclides, en donde todo lo llevaban a cabo usando únicamente una regla y un compás (y estamos hablando de una regla no graduada, usada únicamente para el trazo de líneas rectas y no para medir). Esta construcción la llevamos a cabo de la siguiente manera: Tómese un punto P exterior a un disco de inversión del cual queremos encontrar, mediante el uso de un compás únicamente, la imagen P' que le corresponde dentro del disco. Para esto, haciendo centro en el punto P, trazamos primero un arco de circunferencia que pase por el punto O del disco de inversión y que intersecte al disco en los puntos T y S. A continuación, usando estos puntos como centros, trazamos dos circunferencias de radio r (el radio del círculo de inversión). ¡Y ya está! El punto P' en donde se intersectan las curvas es precisamente la imagen del punto exterior P, como se muestra en la siguiente figura:
Tomando varios puntos de un objeto exterior al disco, localizando en la forma que se acaba de señalar las imágenes de dichos puntos dentro del disco, y uniendo los puntos interiores, se obtiene la imagen inversa de un objeto situado fuera del disco. Este procedimiento es tan sencillo y divertido, que de seguro habrá lectores míos que desearán llevarlo a cabo si tienen un compás a la mano. La demostración del teorema se lleva a cabo demostrando primero que en la figura de arriba que los triángulos isósceles OTP' y OTP son triángulos semejantes. Para ello, basta con demostrar que el ángulo OTP' es igual al ángulo TPO. Por construcción, en el triángulo isósceles grande el ángulo OTP es igual al ángulo POT. Pero el ángulo POT es igual al ángulo P'OT del triángulo isósceles chico, el cual a su vez debe ser igual al ángulo OP'T del triángulo chico, lo cual demuestra que son triángulos semejantes. Ahora bien, si ambos son triángulos semejantes, entonces la siguiente proporcionalidad entre los lados homólogos debe ser cierta:
OP/OT = OT/OP'
o sea:
OP•OP' = OT•OT = r²
que es precisamente la relación que define la inversión, con lo cual queda demostrado que nuestro procedimiento geométrico de construcción es correcto.
Hay otra forma aún más sencilla de encontrar geométricamente (sin usar calculadora) dentro de un disco de inversión la imagen A' de un punto A exterior al disco. Para ello, primero se traza una recta desde el punto A hasta el centro O del disco. Tras esto, se traza una recta desde el punto A hasta el borde del disco que sea tangente al borde del disco, tocándolo en el punto B. Si unimos el punto O con el punto B, veremos que se forma un triángulo rectángulo, el triángulo rectángulo OAB. Todo lo que tenemos que hacer es trazar la altura de dicho triángulo hacia su base para encontrar en la hipotenusa del triángulo el punto A' que corresponde a la imagen del punto A', como se ve en la siguiente figura:
Podemos demostrar que este procedimiento de construcción es correcto viendo que al trazar la altura A'B dentro del triángulo rectángulo OAB éste quedará dividido en dos triángulos rectángulos semejantes, el triángulo OAB y el triángulo OA'B. Son semejantes porque ambos tienen tres ángulos internos iguales (tienen en común el ángulo AOB como tienen también un ángulo recto en común, de modo que los otros dos ángulos correspondientes deben ser también iguales). Siendo figuras semjantes, esto nos permite escribir la siguiente proporcionalidad relacionando sus lados:
OA/OB = OB/OA'
OA•OA' = OB²
OA•OA' = r²
OA•OA' = OB²
OA•OA' = r²
Y esta es precisamente la relación que define al círculo de inversión.
Existe una forma muy fácil de construír dentro del círculo de inversión lo que vendría siendo una recta hiperbólica, el equivalente de la línea que representa la menor distancia entre dos puntos para un habitante del universo hiperbólico, o puesto de otra manera, la ruta que seguiría un rayo de luz lanzado dentro del disco de inversión. Esta línea será un arco de círculo. Pero no cualquier arco de círculo servirá para tal propósito. Tiene que ser un arco de círculo que intersecte el borde del disco a ángulos rectos. El requisito de que todo rayo de luz lanzado dentro del círculo siga una ruta que lo haga llegar en forma perpendicular al borde del disco nos permite elaborar una manera muy sencilla de trazar una ruta hiperbólica que una a dos puntos A y B cualesquiera en el borde del disco. Para ello, se trazan dos rectas tangentes al disco en los puntos A y B, perpendiculares al radio del disco, las cuales deben ser prolongadas hacia el lado en el cual se encontrarán en un punto exterior P como lo muestra la siguiente figura:
Hecho esto, se hace centro con un compás en el punto P y se traza un arco de círculo dentro del disco que una los puntos A y B, el cual será la recta hiperbólica deseada.
Puesto que la única diferencia entre la geometría hiperbólica y la geometría Euclideana es el quinto postulado, el postulado de las paralelas, esto significa que cualquier demostración que se lleve a cabo en la geometría Euclideana que no haga uso del quinto postulado será una demostración igualmente válida en la geometría hiperbólica. Esto nos permite incorporar de inmediato muchas demostraciones de la geometría Euclideana dentro de la geometría hiperbólica. Del mismo modo, esto significa que todos los teoremas en la geometría Euclideana que hagan uso del quinto postulado serán falsos en la geometría hiporbólica y tendrán que ser modificados (al igual que como ocurre con la geometría elíptica). Puesto que una geometría construída usando únicamente los primeros cuatro postulados será igualmente válida en los tres universos (Euclideano, elíptico, hiperbólico), este tipo de geometría es conocido como una geometría absoluta.
Veamos ahora algunos teoremas de la geometría hiperbólica cuya demostración se puede llevar a cabo por procedimientos semejantes a los utilizados en la geometría Euclideana:
geometría Euclideana: "En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos rectos (180 grados)". geometría hiperbólica: En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es menor a dos ángulos rectos".
geometría Euclideana: "La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a cuatro ángulos rectos (360 grados)". geometría hiperbólica: "La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero hiperbólico es menor que cuatro ángulos rectos (360 grados)".
geometría Euclideana: "Las medianas de un triángulo (definida la mediana como la recta que une un vértice del triángulo con el punto medio del lado del triángulo hacia el cual es trazada) son concurrentes (se encuentran en un mismo punto)". geometría hiperbólica: "Las medianas de un triángulo hiperbólico son concurrentes". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.)
geometría Euclideana: "Las alturas de un triángulo (definida la altura como la perpendicular trazada hacia la base de un triángulo, siendo la base del triángulo el lado sobre el cual parece descansar) son concurrentes". geometría hiperbólica: "Las alturas de un triángulo hiperbólico son concurrentes". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.)
geometría Euclideana: "Las mediatrices de un triángulo (definida la mediatriz como la perpendicular trazada a un segmento rectilíneo en su punto medio) son concurrentes". geometría hiperbólica: "Las mediatrices de un triángulo son concurrentes". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.)
geometría Euclideana: "Las bisectrices de un triángulo (definida la bisectriz de un ángulo que partiendo de un vértice divide al ángulo en dos partes iguales) son concurrentes". geometría hiperbólica: "Las bisectrices de un triángulo hiperbólico son concurrentes". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.) A continuación se muestra la bisectriz de un ángulo hiperbólico:
geometría Euclideana: "El punto en el cual se encuentran las bisectrices de un triángulo es equidistante de los tres lados y por lo tanto se puede inscribir un círculo dentro del triángulo usando dicho punto como centro". geometría hiperbólica: "El punto en el cual se encuentran las bisectrices de un triángulo hiperbólico es equidistante de los tres lados y por lo tanto se puede inscribir un círculo dentro del triángulo usando dicho punto como centro". (El teorema permanece inalterado en ambas geometrías.)
Repasaremos ahora una definición que se había dado previamente al introducirnos en la geometría de Saccheri. En la entrada "La Primera Geometría no-Euclideana" se habló brevemente acerca del defecto de un triángulo, definido como lo que le falta a la suma de los ángulos internos de un triángulo Saccheriano para ser 180 grados. Esta definición del defecto de un triángulo en la geometría de Saccheri será de importancia extrema para lo que se tratará a continuación.
En la geometría plana de Euclides, al hablar acerca del área de un triángulo o de un cuadrilátero o de un paralelogramo, estamos hablando de un número que se usa para representar la cantidad de "plano" contenido dentro de una figura geométrica. En nuestra geometría Saccheriana o hiperbólica, el área de un triángulo debería ser también un número sencillo que pueda medir de alguna manera el contenido del interior del triángulo, la parte del plano contenida dentro del triángulo. Pero este número no puede ser en unidades cuadradas (metros cuadrados, centímetros cuadrados, etc.) porque los cuadrados no existen dentro de una geometría hiperbólica. Aunque hay varias definiciones tentativas que podemos dar para medir el "área hiperbólica" en el interior de un triángulo, todas adolecen de graves defectos excepto una de ellas, la que extiende el concepto de una recta infinitesimal ds Euclideana hacia el universo hiperbólico, modificándolo para tomar en cuenta el "estiramiento" del espacio que ocurre conforme nos acercamos más y más a una línea límite o un punto límite en un plano hiperbólico, una definición en la cual si la distancia a una línea límite es medida por un eje y entonces el infinitésimo de área hiperbólica estará dado no por un producto de los infinitésimos dx y dy como se acostumbra en el caso Euclideano sino por el producto de infinitésimos como dx/y y dy/y (véase el Suplemento # 2 relacionado con la obtención de áreas hiperbólicas usando otro modelo de plano hiperbólico conocido como el plano-medio superior de Poincaré). Se puede demostrar por aplicación directa de los elementos del cálculo infinitesimal que esta definición de área hiperbólica infinitesimal nos conduce de manera directa al siguiente resultado para el área de un triángulo hiperbólico con ángulos interiores p, q y r:
S = π - (p + q + r)
La presencia del número π en esta relación, el cual tomamos como una medida angular de 180 grados expresada en radianes, se debe a que en los procesos de integración requeridos para la obtención de esta fórmula a partir de elementos infinitesimales de área hiperbólica aparece de modo natural el número π. Esta fórmula puede parecer sospechosamente similar a la definición del defecto δ de un triángulo hiperbólico. Y de hecho, ¡es lo mismo! Como la expresión puede ser obtenida formalmente a partir de los procedimientos del cálculo infinitesimal, la expresión se puede expresar como un teorema:
Teorema: El área de un triángulo hiperbólico es igual al defecto δ del triángulo.
De este teorema podemos deducir de inmediato que dos triángulos tienen una misma área hiperbólica si y solo si tienen la misma suma de ángulos internos.
Podemos fijar un sistema consistente de unidades introduciendo una constante de proporcionalidad k que nos defina las unidades hiperbólicas que serán usadas como sistema de medición (metros hiperbólicos, yardas hiperbólicas, etc.), con lo cual el área de un triángulo hiperbólico ABC estará dada por:
S = k • δ(ABC)
De este modo, mientras que en la geometría Euclideana para medir el área interior de un triángulo hiperbólico utilizamos una dimensión propia para una superficie en unidades cuadradas, en la geometría hiperbólica tenemos que utilizar, además de la constante de proporcionalidad k que nos proporciona el equivalente de nuestro "sistéma métrico decimal hiperbólico", la suma de los ángulos internos del triángulo, algo que no se necesita en la geometría Euclideana. Pero esta no es la única diferencia. Hay otra diferencia que puede resultar impactante para muchos que la tratan de asimilar por vez primera. Para simplificar la siguiente discusión, seleccionemos un sistema de unidades (hiperbólicas) tal que la constante k sea (arbitrariamente) igual a 10, de modo tal que el área de un triángulo hiperbólico ABC estará dada por:
S = 10 • δ(ABC)
En la geometría Euclideana, el área de un triángulo está dada por la fórmula usual del producto de la base por la altura divido entre dos (bh/2), con lo cual al ir aumentando el tamaño del triángulo el número que nos expresa el área del triángulo Euclideano también va aumentando sin tener ningún limite superior; podemos tener un triángulo de cien metros cuadrados de área, cien mil metros cuadrados de área, o mil billones de kilómetros cuadrados de área, no hay un límite superior para este número. Pero en la geometría hiperbólica, como la suma de los ángulos internos de todo triángulo siempre será menor que π (180) grados y ciertamente no puede ser cero, ¡las áreas de todos los triángulos hiperbólicos están limitadas a tener un valor (suponiendo un sistema de unidades en el que la constante k sea 10) entre 31.415 unidades hiperbólicas (π multiplicado por 10) y cero! Aquí ningún triángulo puede contener más de 31.45 unidades de área hiperbólica. Un triángulo de cien unidades hiperbólicas no puede existir en este universo. Sin embargo, este hecho aparentemente desconcertante resulta del que no hayamos ajustado nuestra forma de pensar a la nueva realidad del universo hiperbólico. Entre mayor sea el defecto de un triángulo, ciertamente mayor será el área hiperbólica que contiene, lo cual sólo se logra con triángulos cuya suma interior de ángulos sea cada vez más diferente de los 180 grados usuales de la geometría Euclideana, lo cual sólo se logra con triángulos hiperbólicos cada vez más grandes. A medida que la suma de los ángulos internos de un triángulo se va acercando al límite de 180 grados, el tamaño del triángulo hiperbólico irá creciendo desproporcionadamente hasta alcanzar dimensiones astronómicas, siempre sin llegar a los 180 grados exactos. En cambio, entre más pequeño sea un triángulo hiperbólico, tanto menor tendrá que ser para ello su defecto, lo cual implica que la suma interna de los ángulos se irá aproximando cada vez más a los 180 grados límite de la geometría Euclideana. En pocas palabras, entre más pequeña sea una figura en el universo hiperbólico, sus propiedades se irán asemejando más y más a las propiedades que encontramos en la geometría Euclideana.
El número S como está definido nos dá las propiedades correctas que esperaríamos tener para una definición de área (hiperbólica). En la geometría Euclideana, si un triángulo cualquiera es subdividido por una transversal en dos partes, entonces el área del triángulo será mayor que cualquiera de las partes en que fue subdividido. Y como ya se demostró en la entrada "La Primera Geometría no-Euclideana" que el defecto de un triángulo hiperbólico es igual a la suma de los defectos de los dos subtriángulos que corresponden a una transversal dentro del triángulo, tenemos que el concepto del defecto es equivalente al concepto que tenemos del área en el plano Euclideano. Así pues, podemos hacer la siguiente comparación entre la geometría Euclideana y la geometría hiperbólica:
geometría Euclideana: "Si los tres ángulos de un triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tres ángulos de un triángulo A'B'C;, entonces dichos triángulos son triángulos semejantes". geometría hiperbólica: "Si los tres ángulos de un triángulo ABC son iguales, respectivamente, a los tres ángulos de un triángulo A'B'C;, entonces dichos triángulos son son iguales". Esta conclusión es interesante. ¡En la geometría hiperbólica no existe un triángulo semejante a un triángulo dado no sea igual a éste! En otras palabras, no existen los triángulos semejantes, sólo los triángulos iguales. De este modo, al igual que como ocurrió con la geometría esférica, tampoco en la geometría hiperbólica existen las figuras semejantes; ello solo ocurre en la geometría plana, en la geometría Euclideana, en donde dos triángulos con ángulos internos correspondientemente iguales pueden tener áreas diferentes.
Tal vez una de las diferencias más espectaculares entre la geometría Euclideana y la geometría hiperbólica la muestra el teorema de Pitágoras que nos dice que en un triángulo rectángulo de lados a, b con hipotenusa c, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b:
c² = a² + b²
Se ha demostrado que el teorema de Pitágoras es equivalente al quinto postulado. La demostración la llevó a cabo Scott Brodie y se puede encontrar en la siguiente dirección:
http://www.cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.shtml
Puesto que el teorema de Pitágoras es equivalente al quinto postulado, la fórmula Pitagórica ya no es válida dentro de una geometría hiperbólica. Su contraparte dentro de dicha geometría es la siguiente:
cosh(c) = cosh(a) • cosh(b)
Nuevamente, hace su aparición otra fórmula trigonométrica hiperbólica, el coseno hiperbólico cosh. Esta expresión nos dice que, si trazamos un triángulo rectángulo dentro de un plano hiperbólico, el coseno hiperbólico de la hipotenusa es igual a la suma de los cosenos hiperbólicos de los catetos, en donde el coseno hiperbólico de una variable x está definido de la siguiente manera:
Usando la serie de expansión de Maclaurin para el coseno hiperbólico:
podemos deducir sin problema alguno que cuando el triángulo rectángulo trazado dentro del plano hiperbólico se vuelve muy pequeño, lo cual equivale a asignarle a a, b y c valores muy pequeños, la forma hiperbólica del teorema de Pitágoras se aproxima a la forma usual de dicho teorema en la geometría Euclideana.
En tres dimensiones, se puede construír una geometría hiperbólica sobre una superficie conocida como el paraboloide hiperbólico, la cual tiene la forma de una "silla de montar" como las que utilizan los jinetes. En la siguiente figura tenemos un triángulo dibujado sobre la superficie de un paraboloide hiperbólico así como un par de rectas "paralelas" que como podemos ver nunca se tocarán sino que cada vez se irán separando más y más con respecto a la perpendicular trazada a dichar rectas "paralelas" en donde estas alcanzaron su mayor cercanía (la perpendicular que forma divide internamente a las dos rectas hiperbólicas en dos ángulos rectos, de 90 grados):
A continuación tenemos un resumen gráfico de las tres geometrías en las cuales tenemos al mismo triángulo trazado sobre cada una de ellas:
La geometría hiperbólica que hemos construído recurriendo al disco hiperbólico de Poincaré no es la única posible. Se pueden construír muchas otras geometrías hiperbólicas no-Euclideanas, entre las cuales destaca la geometría hiperbólica de Klein.
Estableciendo una línea rígida de pensamiento en la manera empleada por Euclides, hoy conocida como el método axiomático, empezando con un conjunto de definiciones precisas y un conjunto de axiomas o postulados cuya "verdad" sea tan obvia que no requiera demostración (un axioma es algo que de cualquier modo no puede ser demostrado, no puede ser obtenido a partir de principios más elementales), y usando después dichos axiomas para llevar a cabo la demostración de todos los teoremas que se puedan obtener a partir de los mismos, tenemos una mecánica rigurosa, formal, que se puede extender más allá de la misma geometría a otras áreas, lo cual incluye a las mismas matemáticas. Esto fue precisamente lo que hizo el matemático italiano Giuseppe Peano (el mismo que dió inicio a mucha de la notación empleada por la "matemática moderna" mejor conocida como la teoría de los conjuntos), quien muy a la manera de Euclides sentó las bases para un desarrollo axiomático de la aritmética a través de varios postulados suyos hoy conocidos como los axiomas de Peano, influyendo enormemente sobre su mayor discípulo, Bertrand Russell, quien a su vez intentó liberar para siempre a las matemáticas de la posibilidad de inconsistencias internas con su obra monumental Principia Mathemática. Los axiomas de Peano que definen de manera exacta al conjunto de los números naturales (los números enteros positivos), tal y como fueron escritos en Latín por vez primera, dicen lo siguiente (compárese con la forma axiomática usada por Euclides):
AXIOMAS DE PEANO
1. 1 es un número.
2. El sucesor inmediato de un número también es un número.
3. 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.
4. Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato
5. Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números.
Ciertamente, estas parecen ser verdades tan "evidentes" que no parece que haya forma de deducirlas de otras verdades aún más elementales. Como a los matemáticos profesionales les gusta revestir de mucho formalismo su arte, en textos de matemáticas encontramos a los postulados de Peano enunciados de la siguiente manera (es lo mismo, pero más "sofisticado"):
1. 1 es un número natural. Es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío.
2. Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural, llamado el sucesor de a.
3. 1 no es sucesor de ningún número natural. Es el primer elemento del conjunto.
4. Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes, entonces a y b son números naturales diferentes.
5. Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.
Puesto que el método axiomático, desde los tiempos de Aristóteles, es esencialmente la forma en la cual trabaja esa rama del saber humano conocida como la lógica, se atribuye a matemáticos como Peano la distinción de haber destronado a las matemáticas como rama fundamental del conocimiento, reduciéndolas a una mera aplicación rigurosa de la lógica sobre un conjunto de axiomas. Y al igual que como ocurrió con la axiomatización de la geometría, la axiomatización de la aritmética demostró que, dependiendo de los axiomas que se utilicen como punto de partida, se pueden construír varias aritméticas alternas, como la aritmética de Robinson y la aritmética de Pressburger. Si el mismo Euclides no desarrolló la geometría elíptica y la geometría hiperbólica, fue porque no consideró otras alternativas que no fueran su quinto postulado, ya que de haber hecho tal cosa él mismo habría descubierto lo que hoy se conoce como las geometrías no-Euclideanas, tomando en cuenta el hecho de que él mismo sentó la base axiomática para poder desarrollar las geometrías alternas. De cualquier manera, su ejemplo fue bien aprovechado por todos sus sucesores, ya que su método axiomático es precisamente lo que se emplea hoy en día para la publicación de trabajos de vanguardia en áreas avanzadas de las matemáticas contemporáneas. Y es sobre esto en lo que todos tenemos una deuda de gratitud con Euclides.
