Capítulo III: Las Geometrías Esférica y Elíptica

La posibilidad de que pudiera haber otras geometrías alternas diferentes a la geometría de Euclides en donde no se cumpliera la validez del quinto postulado ya había sido considerada en otros tiempos previos a Saccheri, Lambert y Gauss. Una de ellas era la geometría esférica, la cual podemos analizar como la geometría de la superficie de un globo. En esta geometría se denominan “plano” y “rectas”, respectivamente, a la superficie de la esfera y a las circunferencias de sus círculos máximos, terminología apropiada porque en cualquiera de las geometrías la “recta” es la línea más simple que pueda unir a dos puntos y el “plano” también es la superficie más simple. No será difícil de ver que en esta geometría dos “rectas” siempre se cortan en dos puntos diametralmente opuestos. Lo cual huele sospechosamente al enunciado hipotético de que por un punto exterior a una recta dada no es posible trazar ninguna recta con la cual nunca se cruzará. Por otro lado, la suma de los ángulos internos de un triángulo trazado sobre la superficie de una esfera siempre será mayor que dos ángulos rectos (180 grados). En un triángulo limitado por un cuarto del ecuador terrestre y por los arcos de dos meridianos trazados hasta el polo Norte, la suma de los ángulos internos será de 270 grados. En vista de que la superficie tiene dos dimensiones es común llamar bidimensional a la geometría que estudia las figuras que se encuentran sobre una superficie determinada. Al hecho de que existiera una geometría bidimensional no-Euclideana no se le daba gran importancia por la sencilla razón de que la geometría esférica era estudiada en el plano tridimensional, el cual se daba por hecho que era Euclideano, y esto conducía a no darle tanta importancia a las propiedades no-Euclideanas de la esfera. A la larga, esto demostraría ser una omisión garrafal que retrasaría el descubrimiento de las geometría no-Euclideanas como tales.

La geometría esférica es un caso especial de una geometría más general, una geometría que está basada no en la superficie de una esfera sino en la superficie de un elipsoide. Un elipsoide es un sólido de revolución que se obtiene haciendo girar una elipse alrededor de uno de sus ejes de simetría. Entendiblemente, a este tipo de geometría se le llama geometría elíptica.

El elipsoide está basado en la elipse que en la geometría analítica de dos dimensiones se define como aquella curva tal que desde cualquier punto de la misma la suma de las rectas a dos puntos al interior de la misma conocidos como los focos es una cantidad constante.

Cuando los semiejes a y b y c del elipsoide son todos iguales, entonces el elipsoide se convierte en una esfera.

La geometría desarrollada sobre la superficie de un elipsoide es conocida como geometría eliptica. También es conocida como geometría Riemmaniana, en honor al matemático Bernhard Riemman que desarrolló este tipo de geometría y del cual hablaré más a fondo después.

A continuación tenemos la figura de un elipsoide, el cual podemos imaginar como una pelota esférica de basquetbol a la cual la hemos achatado acostándola sobre el suelo y aplicándole presión en la parte superior con el pie (aquí cabe agregar que nuestro planeta, el planeta Tierra, no es una esfera, es un elipsoide, ya que está achatado por los polos):

Sobre la superficie del elipsoide se ha dibujado un triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C. En la parte inferior del triángulo, los dos ángulos internos los podemos imaginar como ángulos de 90 grados, tal y como los mediríamos si fuésemos unas hormigas caminando sobre la superficie del elipsoide llevando con nosotros un buen transportador para medir los ángulos. El ángulo superior lo podemos imaginar como un ángulo pequeño, digamos de unos 15 grados. Siendo así, la suma de los ángulos internos del triángulo trazado sobre la superficie del elipsoide es mayor que 180 grados. Esto contrasta duramente con uno de los teoremas de la geometría euclideana que nos dice que dentro de un triángulo la suma de los ángulos siempre es igual a 180 grados. Se puede demostrar rigurosamente que el teorema correspondiente en la geometría elíptica dice lo siguiente: en un elipsoide, la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo trazado sobre la superficie del mismo siempre será mayor que 180 grados. Y este no es el único teorema que difiere de su correspondiente en la geometría euclideana. Todos los demás teoremas correspondientes también son diferentes. El hecho de que todos los teoremas sean diferentes es una consecuencia directa del que en una geometría elíptica no es posible trazar una línea paralela a una recta dada. Es una consecuencia directa de la curvatura del espacio en el cual se está desarrollando esta geometría no-euclideana.

¿Cómo podríamos construír el equivalente de una geometría Euclideana, axiomática, sobre la superficie de una esfera? Tendríamos que empezar por definir el equivalente de una línea recta en la superficie de la esfera. En la geometría plana, una recta se define como la menor distancia que hay entre dos puntos. Si nos fijamos bien en la superficie de la esfera, en donde solo podemos trazar arcos de círculo, entre dos puntos podemos trazar muchos arcos, pero de todos ellos sólo uno será el más corto entre dichos puntos. Y resulta que este arco es parte de un círculo máximo de la esfera, definido como el que se obtiene al atravesar la esfera por su centro con un plano que la corta en dos partes iguales. Los meridianos de la Tierra claramente son círculos máximos. La siguiente figura ilustra mejor lo dicho:

En este caso, las rectas esféricas a y b son círculos máximos trazados en la superficie de la esfera, mientras que la línea c claramente no es una recta ya que no es un círculo máximo. El concepto de la menor distancia entre dos puntos sobre la superficie de una esfera se puede extender también hacia un elipsoide, en el cual dados dos puntos cualesquiera sobre su superficie se les puede unir con un arco que forma parte de un plano que corta al elipsoide pasando por su centro de simetría. Estos arcos con distancias mínimas entre dos puntos, tanto para la esfera como para el elipsoide, reciben el nombre de geodésicas. Una característica interesante de la geometría esférica (elíptica) es que, como se dijo al principio, no solo no es posible trazar dos rectas que nunca se crucen, sino inclusive todas las rectas trazadas en una geometría esférica (elíptica) se encontrarán dos veces, como en el caso de las rectas esféricas a y b en el dibujo de arriba.

Definida nuestra línea “recta” en la geometría elíptica, podemos empezar a escribir los axiomas de nuestra geometría no-Euclideana:

AXIOMAS DE LA GEOMETRIA ELIPTICA

Postulado 1: Entre dos puntos diferentes puede ser trazada una, y solamente una recta.

Postulado 2:

Postulado 3: Se puede dibujar en la superficie elíptica un círculo usando cualquier punto como centro, y el cual puede tener cualquier radio (¡este radio será un arco de círculo!).

Postulado 4: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Postulado 5: Por un punto P, que no pertenezca a una recta, no es posible otra recta que sea paralela a la recta dada, ya que todas las rectas trazadas fuera de la recta dada eventualmente se encontrarán con ella.

Postulado 6: Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Postulado 7: Si a iguales les sumamos iguales, las sumas resultantes serán también iguales.

Postulado 8: Si a iguales les restamos iguales, los remanentes serán iguales.

Postulado 9: Figuras que se pueden hacer coincidir son iguales.

Postulado 10: El todo es mayor que la suma de sus partes.


Obsérvese que el Postulado 2 lo dejamos temporalmente vacío mientras decidimos lo que vamos a meter allí. El problema aquí es que mientras una recta en el plano Euclideano se puede extender indefinidamente en ambas direcciones, en el plano elíptico no se puede hacer tal cosa sin que la línea termine regresando al punto de donde partió después de dar “una vuelta completa”. Esta es la verdadera razón por la cual Saccheri llegó rápidamente a contradicciones cuando investigó su “tercera” hipótesis sobre el supuesto de que dentro de su cuadrilátero, el cuadrilátero de Saccheri, la suma de los ángulos internos es mayor que 180 grados. Si hubiese modificado aquí no sólo el quinto postulado sino también el segundo, entonces su “tercera hipótesis” tampoco habría llegado a contradicciones, y habría descubierto las dos geometrías no-Euclideanas alternas a la geometría plana.

Una vez que tenemos nuestros axiomas para una geometría Euclideana, podemos empezar a postular conjeturas y demostrar teoremas. Todo lo que tenemos que hacer es proceder en una forma similar a como lo hacemos en la geometría Euclideana, y para quienes recibieron un buen curso de geometría en una institución de enseñanza media, esto no será ningún problema.

Para quienes han estado acostumbrados a pensar todas sus vidas en dos rectas paralelas como dos líneas equidistantes, puede resultarles difícil de aceptar la idea de pensar en la posibilidad de que haya una alternativa en la cual será imposible evitar que dos rectas paralelas se vayan a encontrar tarde o temprano por muy “paralelas” que sean. Esto lo podemos ver mejor en la construcción de un conjunto de perpendiculares a dos líneas a las que se les supone como líneas paralelas sobre la base de que siempre serán equidistantes:

En esta figura, tenemos una recta AB, a la cual por construcción geométrica se le ha trazado una paralela CD que pasa por el punto p', con una perpendicular adicional que va desde el punto p de la recta AB hasta la recta CD. El que la recta que pasa por los puntos p y p' es una perpendicular para ambas rectas AB y CD es resaltado por el hecho de que dicha perpendicular forma dos ángulos rectos exactos (de 90 grados) con las dos líneas al intersectarse con ellas. Siempre es posible trazar una perpendicular así en cualquier tipo de geometría. Ahora bien, a lo largo de la recta AB podemos trazar otra perpendicular a través de un punto diferente como el punto q, y midiendo la distancia que hay entre los puntos p y p', marcamos un punto sobre dicha perpendicular que guardará la misma distancia que hay en la primera perpendicular entre los puntos p y p', lo cual nos sirve para prolongar la recta paralela CD hacia la derecha. Tras esto, buscamos otro punto r y repetimos el procedimiento, prolongando aún más la recta CD hacia la derecha, de modo tal que siempre se mantendrá equidistante de la recta AB. Podemos repetir el procedimiento, hasta el infinito, y siempre tendremos dos líneas equidistantes. Resulta claro también que solo podemos trazar una sola recta paralela a otra de modo tal que nunca se cruzarán y siempre permanecerán equidistantes, comprobándose la “obvia verdad” del quinto postulado.

El problema con el anterior razonamiento, al menos en la geometría esférica, es que si construímos sobre un globo terráqueo dos líneas que siempre serán equidistantes, entonces por lo menos una de dichas líneas no será un círculo máximo, y no será una recta en la forma en que se ha definido para una geometría esférica. Esto es precisamente lo que ocurre en la figura que muestra círculos máximos trazados sobre la superficie de una esfera. En dicha figura, a es un círculo máximo y por lo tanto una recta esférica, pero c no lo es. Todas las perpendiculares que sean trazadas de la recta esférica a a la línea c serán perpendiculares equidistantes a dicha línea, pero como c no es una recta esférica, aquí no hay paralelas en el sentido esférico de la palabra. En este punto, una persona con dudas podría argumentar que si nos salimas de la superficie de la esfera y nos vamos a tres dimensiones, entonces siempre será posible trazar dos rectas que se mantengan equidistantes todo el tiempo, hasta el infinito, sin encontrarse, tal y como lo pide el quinto postulado, lo cual suena lógico hasta que meditamos en el hecho de que esto supone que el espacio tridimensional es Euclideano hasta el infinito, lo cual es una suposición extremadamente aventurada porque nadie ha estado allí. ¿Qué nos garantiza el que, a distancias enormes, el espacio tridimensional no exhibirá una curvatura espacial como la que exhibe la superficie de la esfera? Para agravar aún más las cosas, tenemos que considerar el hecho preocupante de que, en tres dimensiones, podemos trazar ahorita mismo dos líneas que siempre serán equidistantes y nunca se cruzarán, las cuales sin embargo no serán paralelas en nuestro sentido “intuitivo” de la palabra. Se trata de dos líneas curvas que guardan entre sí una relación como la que hay entre los dos hilos de una trenza, o como la que hay entre las dos hebras del par helicoidal de un segmento de ADN. No es posible usar una suposición “intuitiva” de lo que entendemos por líneas paralelas, en el sentido de la geometría Euclideana, para “demostrar” con ello que el espacio del Universo entero obedece esa geometría.

Como se anticipó al principio, en la geometría esférica (elíptica) siempre podemos construír un triángulo usando arcos de círculos máximos, como se muestra en el siguiente dibujo en el cual se ha trazado un triángulo esférico :

Obsérvese que continuando los arcos de los círculos máximos que definen a un triángulo esférico de manera que den una vuelta completa, siempre se formará otro triángulo del otro lado de la esfera, algo que ciertamente nunca ocurrirá en la geometría Euclideana. En el dibujo, el triángulo A'B'C' es llamado el antípoda del triángulo ABC, ya que se puede obtener reflejando al triángulo original a través del centro de la esfera. Por simetría, ambos triángulos esféricos deben tener la misma área. Definido un triángulo esférico de esta manera, a continuación tenemos un teorema de la geometría esférica fácil de demostrar comparado con su contraparte Euclideana:

geometría Euclideana: “En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es igual a dos ángulos rectos (180 grados)”.
geometría elíptica: “En todo triángulo, la suma de los ángulos internos es mayor a dos ángulos rectos”.

Trazando un cuadrilátero de Saccheri cuya base esté alineada con el Ecuador de la Tierra, y levantando sus dos lados laterales siguiendo los meridianos terrestres (con el fin de que los lados laterales del cuadrilátero formen ángulos rectos con el Ecuador de la Tierra), podemos comprobar visualmente sin dificultad alguna lo siguiente:

geometría Euclideana: “La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero es igual a cuatro ángulos rectos (360 grados)”.
geometría elíptica: “La suma de los ángulos internos de un cuadrilátero de Saccheri trazado sobre la superficie de una esfera es menor que cuatro ángulos rectos (360 grados)”.

geometría Euclideana: “Para toda circunferencia de radio r la longitud de la circunferencia será igual a 2πr”.
geometría elíptica: “Para toda circunferencia de radio r la longitud de la circunferencia será mayor que 2πr”.

Si construímos un cuadrilátero de Saccheri sobre la superficie de la esfera terrestre, haciendo coincidir la base del cuadrilátero con el Ecuador (en cuyo caso la base será el pleno equivalente de una línea recta), los ángulos internos de los vértices superiores de la cumbre del cuadrilátero serán obtusos. Esto equivale a la hipótesis que fue desechada por Sacchieri, y fue desechada no sólo por el hecho de que esta hipótesis estaba en contradicción directa con el quinto postulado de Euclides que permite trazar una sola paralela a una recta dada por un punto externo a ella, sino porque las paralelas cuando son extendidas en ambas direcciones hacia el infinito tarde o temprano se cruzarán, contradiciendo también el segundo postulado de la geometría Euclideana. Si Saccheri, en vez de desechar la posibilidad de que su cuadrilátero también admitira ángulos obtusos en la cumbre, hubiera procedido a la modificación del segundo axioma de la geometría plana de Euclides, habría creado ante sus asombrados ojos otra geometría distinta, la geometría esférica, que es la que estamos viendo precisamente aquí. Al igual que en la geometría desarrollada por Saccheri, dos rectas “paralelas” tendrán una línea que será una perpendicular común a ambas. En tal región del espacio, la imagen que empieza a surgir en la geometría de Saccheri es la de dos paralelas que tienen una perpendicular común y que fuera de ella van mostrando el siguiente aspecto:

Compárese con la situación que habíamos encontrado para la geometría Saccheriana. Con esto, estamos ya en una posición para poder hacer una comparación general de las tres geometrías posibles: en la geometría Euclideana, solo es posible trazar una línea paralela externa a una recta dada que pase por un punto exterior a ella (con una perpendicular común a ambas) sin que ambas se crucen jamás, mientras que en la geometría esférica no es posible trazar ninguna “paralela” a una recta dada (también con una perpendicular común a ambas) que pase por un punto exterior a ella sin poder evitar que terminen cruzándose tarde o temprano, mientras que en la geometría Saccheriana o hiperbólica es posible como ya vimos en otra entrada el trazar una cantidad infinita de paralelas a una recta dada por un punto exterior a ella (todas ellas coincidiendo con sus perpendiculares comunes a la recta dada en el punto externo de referencia). Esto cubre todos los casos posibles.

Una diferencia dramática entre la geometría Euclideana y la geometría hiperbólica nos la proporciona el teorema de Pitágoras que nos dice que en todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa c es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a y b:

c² = a² + c²

La demostración de este teorema hace uso del quinto postulado de Euclides. Pero como el quinto postulado de Euclides sólo es válido para una geometría plana, queda claro que el teorema de Pitágoras resulta ser una afirmación falsa dentro de la geometría esférica (elíptica). El equivalente en la geometría esférica del teorema de Pitágoras es la siguiente relación en donde R es el radio de la esfera:

que nos dice lo siguiente: En todo triángulo rectángulo trazado sobre la superficie de una esfera con radio R, el coseno del cociente entre la hipotenusa c y el radio de la esfera R es igual al producto de los cosenos de los cocientes entre los catetos y el radio de la esfera. Aquí el coseno tiene la misma definición que la empleada en trigonometría. Usando una serie matemática para la evaluación de la función coseno como la siguiente:

resulta fácil demostrar que, para un valor grande de R (como el radio de la Tierra), esta relación se convierte con muy poco margen de error aritmético en el teorema de Pitágoras, lo cual confirma nuestra experiencia cotidiana.

Por otra parte, para obtener el área de un triángulo trazado sobre la superficie de una esfera, un teorema importante dentro de la geometría esférica es el Teorema de Girard, el cual no es difícil de demostrar, y el cual nos dice: “Si R es el radio de una esfera, y a, b y c son los ángulos internos de un triángulo (medidos en radianes) cuyos lados son segmentos de círculos máximos de dicha esfera, entones el área S de dicho triángulo estará dada por la relación:

S = (a + b + c - π)R² ”

Para darle a los lectores una idea sobre cómo se lleva a cabo la demostración de un teorema en una geometría no-Euclideana cuando se trata de una geometría esférica, a continuación se presentará la demostración del teorema de Girard. Para ello, primero dejaremos definido el ángulo esférico como el ángulo formado por dos círculos máximos que se intersectan en un punto. En la siguiente figura tenemos dos ángulos esféricos que se forman en los vértices A y A' (los cuales generan dos áreas en lados opuestos en la esfera):

Del mismo modo, podemos formar ángulos esfericos en los vértices B y B':

y en los vértices C y C':

El área total de la superficie de la esfera está dada por la suma de las áreas generadas por los ángulos esféricos (dos “lúnulas” de cada lado), a lo cual le tenemos que restarle las áreas de los triángulos esféricos en los vértices ABC y A'B'C' (cuatro veces el área del triángulo esférico ABC) para eliminar la duplicidad que ocurre al haber sumado las áreas generadas por los tres ángulos esféricos:

S = área A + área A' + área B + área B' + área C + área C'
- 4(área del triángulo esférico ABC)

S = 2 (área A) + 2(área B) - 2 (área B)
- 4(área del triángulo esférico ABC)

Resulta obvio que el área de una “lúnula” determinada por un ángulo esférico es proporcional al ángulo esférico. Si sabemos de antemano que el área total de una superficie esférica está dada por

S = 4πR²

entonces el área determinada por un ángulo esférico p (en donde suponemos que dicho ángulo está medido en radianes) deberá ser 2pR² (de este modo, cuando el ángulo esférico tenga una magnitud de 2π radianes ó 360 grados, cubriendo por completo a la superficie de la esfera, el área conformada por el ángulo esférico será 4πR², el área total de la esfera).

De esta manera, la ecuación anterior se puede reescribir de la siguiente manera:

4πR² = 2 (área A) + 2(área B) - 2 (área B)
- 4(área del triángulo esférico ABC)

4πR² = 2(2aR²) + 2(2bR²) + 2(2cR²)
- 4(área del triángulo esférico ABC)

4πR² = 4aR² + 4bR² + 4cR²
- 4(área del triángulo esférico ABC)

área del triángulo esférico ABC = S

S= (a + b + c - π)R²

Con este teorema podemos deducir resultados importantes. Uno de ellos es el siguiente: “Si dos triángulos (esféricos) tienen ángulos internos iguales, entonces sus áreas serán también iguales”. Esto nos lleva a una conclusión importante: A diferencia de como ocurre en la geometría Euclideana, en la superficie de una esfera no existen triángulos semejantes por el hecho de tener ángulos internos iguales, los triángulos necesariamente son iguales.

Y en lo que respecta al cuadrilátero trazado sobre la superficie de una esfera, usando un procedimiento similar al que se emplea para demostrar el teorema de Girard podemos demostrar que para un cuadrilátero esférico con ángulos internos a, b, c y d (medidos en radianes) su área S estará dada por la relación:

S = (a + b + c + d - 2π)R²

También con esta relación obtenemos el importante resultado de que en la superficie de una esfera no existen los cuadriláteros semejantes; si tienen sus cuatro ángulos correspondientes iguales entonces deben tener la misma área, y al ser del mismo tamaño tienen que ser iguales. Esta última relación no puede ser usada ni siquiera como una aproximación al área de un cuadrilátero trazado sobre un plano para el caso de una esfera como un radio R muy grande como el de la Tierra, porque en tal caso a medida que el radio R se hace grandísimo la suma de los ángulos internos del cuadrilátero (a + b + c + d) se va aproximando al valor de 2π y la diferencia se volverá pequeñísima, y como bien sabemos el producto de una cantidad grandísima por una cantidad pequeñísima nos puede dar algo intermedio, por ejemplo:

4500000000000000000  ×  0.000000000000000015

produce 67.5 (¿metros cuadrados, un terreno chico para un jardín?).

La fórmula sencilla (base por altura) para el área de un cuadrilátero Euclideano (plano) no puede derivarse como un caso especial de la fórmula para el área de un cuadrilátero esférico (teorema de Girard) aún cuando el radio de la esfera se aproxime a un radio infinito, del mismo modo que la fórmula para el área de un cuadrilátero esférico no puede derivarse como un caso especial de la fórmula para un cuadrilátero Euclideano. Es precisamente este tipo de dificultades por las cuales Saccheri cedió a la tentación de rechazar a la geometría elíptica como una geometría lógicamente consistente.

Puesto que la única diferencia entre la geometría Euclideana y la geometría esférica (elíptica) es el postulado de las paralelas, el quinto postulado, esto significa que cualquier demostración en la geometría Euclideana que no haga uso del quinto postulado será una demostración igualmente válida, con el mismo resultado, en la geometría esférica (elíptica). Esto nos permite de manera casi gratuita incorporar dentro de la geometría esférica (elíptica) las demostraciones de muchos teoremas de la geometría Euclideana, algunos de ellos laboriosos. Del mismo modo, esto significa que todos los teoremas en la geometría Euclideana que hagan uso del quinto postulado serán falsos en la geometría esférica (elíptica).