sábado, 29 de septiembre de 2007

Capítulo VI: La Nueva Geometría Riemanniana




Bernhard Riemann (1826-1866) estaba interesado no sólo en espacios planos de dos dimensiones en donde viven el triángulo y el círculo y en los espacios de tres dimensiones en donde viven el cubo y la esfera, e inclusive en los espacios matemáticos de cuatro dimensiones (difíciles de visualizar pero factibles de definir y manipular matemáticamente), sino además estaba interesado en la caracterización mucho más general de espacios n-dimensionales, lo cual hace la metodología Riemanniana mucho más universal que los trabajos previamente publicados.

Su contribución principal está en su exposición “Ueber die Hypothesen, Welche der Geometrie zu Grunde liegen” (Sobre las Hipótesis detrás de los Fundamentos de la Geometría), conferencia magistral impartida en 1854 a petición del mismo Gauss, en la cual abandona la metodología Euclideana de basar todas las demostraciones sobre las cuales se usa la regla y el compás, redefiniendo a la geometría como el estudio de cartas (manifolds), espacios acotados (bounded) y no-acotados (unbounded) capaces de contener cualquier número de dimensiones, junto con un sistema de coordenadas, y una métrica que define la menor distancia entre dos puntos. En la geometría Euclideana tridimensional, la métrica, antes de que llegara Riemann, estaba inspirada en la definición de la longitud de un infinitésimo de línea ds mediante el sistema de coordenadas Cartesianas de línea de la manera siguiente:

(ds)² = (dx)²+(dy)²+(dz)²

que viene siendo el equivalente (infinitesimal) del Teorema de Pitágoras. Pero Riemann generaliza el concepto de longitud a través de sus cartas, y esas “cartas” son lo que define completamente al espacio, sin ningún marco externo de referencia. Podemos llamarlo “geometría diferencial llevada al extremo”.

Antes de continuar hablando acerca de la geometría generalizada desarrollada por Riemann, es importante hacer una mención somera sobre esa rama de las matemáticas cuyos principios fueron tomados primero por Gauss y después por Riemann para ser ampliados de manera espectacular: la geometría diferencial. Cuando esta materia empezó a tomar forma, se tuvo que empezar con el estudio de algo más sencillo antes de que esta nueva materia de estudio fuera generalizada a cosas más elaboradas. Y en este caso, se tuvo que comenzar con el estudio de las curvas antes de escalar al estudio de las superficies.

Previamente, en la geometría analítica inventada por Descartes combinando la geometría Euclideana y el álgebra, el concepto de una línea curva capaz de salir fuera del plano hacia tres dimensiones (conocida como curva alabeada) era algo que a través de la geometría analítica se acostumbraba describir haciendo alguna referencia externa a la curva, y al decir externa nos estamos refiriendo a un sistema de coordenadas (como las coordenadas rectangulares cartesianas con ejes x, y y z, o las coordenadas polares, siempre referidas a un punto de origen O externo a la curva que se está describiendo). Por ejemplo, para describir una curva helicoidal (una curva en el espacio con forma de resorte) a través de un sistema de coordenadas cartesianas en tres dimensiones, la imagen mental que se tiene de dicha descripción es la siguiente:




cuyo trazo en tres dimensiones se obtiene mediante un sistema de ecuaciones como el siguiente conjunto de ecuaciones paramétricas:
y = Rcos(t)

z = Rsen(t)

x = t
(Dando varios valores a la variable t, mis lectores pueden comprobar usando un sistema de coordenadas tridimensional (x, y, z) que estas ecuaciones efectivamente van trazando una curva helicoidal.)

Pero al igual que Euclides que no necesitó de la geometría analítica para poder desarrollar su geometría plana (en sus tiempos no existía el álgebra y ni siquiera se había inventado el cero), no pasó mucho tiempo para que los matemáticos se dieran cuenta de que una curva podía describirse a sí misma en base a las propiedades locales de la curva, sin tener que recurrir a una referencia externa. Ello supone que una hormiga, caminando a lo largo de la curva y midiendo cuidadosamente los cambios que va encontrando a lo largo de su recorrido, sin saber nada sobre la existencia de un sistema externo de coordenadas rectangulares, pueda descubrir ella sola las propiedades de la curva. Puesto que aquí lo que importa son los cambios que vaya experimentando la curva, en especial sus cambios infinitesimales al ir avanzando la hormiga en incrementos diferenciales de arco ds a lo largo de la curva, estamos hablando ya de los inicios de una geometría basada en las herramientas del cálculo diferencial (infinitesimal); en otras palabras, una geometría diferencial. De este modo, si al concepto de la curvatura de una línea curva en un punto dado de dicha línea (definido como la inversa del radio de la curva en dicho punto) le agregamos el concepto de la torsión (con el cual admitimos curvas que pueden salir fuera del plano Euclideano saltando hacia el espacio tridimensional), e independizamos los conceptos de curvatura y torsión de la necesidad de tener que contar con una referencia externa, entonces la torsión y la curvatura nos pueden proporcionar toda la información necesaria para poder describir la curva sin necesidad de referencias externas. Esto fue descubierto independientemente por los matemáticos Jean Frédéric Frenet (en 1847) y Joseph Alfred Serret (en 1851), lo cual está inmortalizado en las relaciones Frenet-Serret:




que nos permiten anexar a lo largo de una curva un trío (o tríada) móvil de tres vectores (un vector tangencial a la curva que siempre apunta a lo largo de la misma, el vector T; un vector normal a la curva que siempre apunta hacia el centro hipotético hacia el cual se está desviando la curva, el vector N; y un vector B que siempre es perpendicular a los vectores T y N). De este modo, en la nueva descripción de la curva helicoidal:
no necesitamos de ecuaciones algebraicas paramétricas para describir la curva. Todo lo que necesitamos es conocer la curvatura y la torsión de la curva, y esto es algo que se puede determinar localmente, sin referencia a un sistema de coordenadas externas. Como podemos ver en las fórmulas de Frenet-Serret, la curvatura y la torsión determinan completamente la relación que guardan entre sí los tres vectores T, N y B. Otra cosa que resalta de inmediato en las fórmulas de Frenet-Serret es que las tres derivadas en el lado izquierdo de las ecuaciones, dT/ds, dN/ds y dB/ds, (esto debe resultar familiar para quienes están familiarizados con el cálculo diferencial que se estudia en los últimos semestres de las escuelas preparatorias o los primeros semestres en una universidad) no están tomadas con respecto a un sistema de referencia externo sino con respecto a un elemento diferencial (infinitesimal) de arco ds de la misma curva. Y otra cosa que resalta de inmediato es que para definir las tres ecuaciones Frenet-Serret necesitamos conocer únicamente dos parámetros: la curvatura y la torsión de la línea que se está describiendo, estos dos valores determinan localmente, por sí solos, todas las propiedades de la curva. El contraste de los resultados obtenidos entre la geometría analítica y la geometría diferencial puede resultar instructivo, como se muestra a continuación:

La recta, según la geometría analítica:

y = mx + b

La recta, según la geometría diferencial:

Curvatura = 0

Torsión = 0

Esto nos dice simplemente que la recta es una línea sin curvatura ni torsión, sin necesidad de tener que hacer referencia alguna a las variables x y y de las coordenadas cartesianas. (Otra forma de verlo, tomando en cuenta que la curvatura se define como el inverso del radio de curvatura, es suponiendo a una línea recta como un segmento de una circunferencia cuyo radio de curvatura es infinitamente grande, con lo cual efectivamente se transforma en una línea recta.)

Ahora veamos la curva más sencilla de todas:

La circunferencia, según la geometría analítica:

x² + y² = R²

La circunferencia, según la geometría diferencial:

Curvatura = 1/R

Torsión = 0

Esto nos dice que una circunferencia es una figura geométrica cuya curvatura es constante y que está confinada al plano de dos dimensiones (ya que su torsión es cero y por lo tanto no es una curva alabeada).

Veamos otro ejemplo:

Una curva helicoidal, según la geometría analítica:
x = 5cos(t)

y = 5sen(t)

z = t
Una curva helicoidal, según la geometría diferencial:

Curvatura = 0.5

Torsion = 2.5

Como puede verse, la descripción de una curva helicoidal por medio de la geometría diferencial se lleva a cabo utilizando no un conjunto de tres ecuaciones algebraicas, sino simplemente dos números, los cuales nos dicen que se trata de una curva alabeada que se sale de un plano (por el hecho de tener una torsión diferente de cero), la cual de no poseer una torsión sería simplemente una circunferencia con una curvatura constante de 0.5 (o, lo que es lo mismo, un radio de curvatura de 2 unidades, al estar la curvatura definida como el inverso del radio de curvatura). Entre mayor sea la torsión de la curva helicoidal, más "estirado" estará el resorte que asemeja.

Tanto la geometría analítica como la geometría diferencial describen lo mismo, pero de maneras diferentes; la primera siempre lo hace haciendo uso de una referencia externa (las coordenadas cartesianas o las coordenadas polares, ambas con un punto de origen) mientras que la segunda lo hace sin referencia alguna a una referencia externa.

Naturalmente, no hay razón por la cual tengamos que limitar la geometría diferencial al estudio de las curvas espaciales. La podemos extender al estudio de las superficies. Y así como hablamos de la curvatura de una línea, también podemos hablar de la curvatura de una superficie; la única dificultad estribaba en definirla de modo tal que la definición fuese precisa y útil. Es así como nació la idea central detrás del concepto de la curvatura Gaussiana. Riemann fue todavía más lejos que Gauss, y extendió el concepto de la curvatura Gaussiana de una superficie hacia un espacio matemático de cualquier número de dimensiones, y lo hizo de modo tal que fuese posible adaptarlo no sólo a la geometría Euclideana sino inclusive a las geometrías no-Euclideanas.

Usando como recurso intermedio la variable compleja

z = x + iy

en donde x y y son variables de números reales y el número i es igual a la raíz cuadrada de -1, la métrica de Reimann para el disco de Poincaré que hemos visto previamente resulta ser (la demostración no es difícil pero requiere del uso de derivadas parciales cuyo uso tal vez sea desconocido por la mayoría de los lectores, razón por la cual es omitida):


Obsérvese que para

x² + y² = 1

que correspondería al borde del disco unitario (de radio = 1) de Poincaré, la métrica ds se vuelve infinitamente grande (o, usando un término más agradable para los matemáticos, indefinida), lo cual concuerda con el hecho de que el borde del círculo es la línea límite que representa el infinito dentro del disco de inversión.

La métrica es lo que nos dice todo lo que queremos saber acerca del espacio que estamos estudiando. La métrica nos dice de inmediato si el espacio es Euclideano o no-Euclideano, todo lo que tenemos que hacer es calcular la curvatura de la superficie, y si la superficie tiene una curvatura de cero, el espacio es Euclideano. Ejemplos de ello son el espacio Euclideano tradicional de dos dimensiones:

ds² = dx² + dy²

o el espacio Euclideano de tres dimensiones

ds² = dx² + dy² + dz²

o el espacio de cuatro dimensiones estudiado en la Teoría Especial de la Relatividad:

ds² = dx² + dy² + dz² - c²t²

en donde el espacio-tiempo Einsteniano no exhibe curvatura superficial alguna. Es en la Teoría General de la Relatividad en donde este espacio de cuatro dimensiones deja de tener una curvatura de cero debido a la presencia de masa-energía que introduce una curvatura que puede ser positiva o negativa, lo cual nos lo dice la métrica Riemanniana.

En general, para un espacio de tres dimensiones, la métrica de Riemann para medir la distancia (infinitesimal) entre dos puntos es la siguiente:


en donde los diversos coeficientes g pueden constantes e inclusive funciones de las variables (x, y, z). La extensión hacia espacios con un mayor número de dimensiones se lleva a cabo de la misma manera.

Así, la curvatura del espacio, para la cual Riemann también dió una definición, queda definida por completo por las propiedades intrínsecas de las cartas en cualquier tipo de espacio. En esta nueva definición de la geometría, la geometría queda reducida a conjuntos de n-plas (n-tuples) ordenadas que se combinan de acuerdo con ciertas reglas. Más importante aún es el hecho de que con la curvatura Riemanniana, la geometría Euclideana tradicional es el espacio definido por una curvatura Riemanniana constante de cero, mientras que la geometría esférica está definida por una curvatura Riemanniana de +1, entanto que la geometría hiperbólica queda definida mediante una curvatura Riemanniana de -1. Esto marca el inicio de una nueva geometría mucho más general que la de Euclides, ya que incluye todas las geometrías posibles, razón por la cual a Riemann se le conoce como “el nuevo Euclides”.

Si en la métrica de Riemanna para un espacio de tres dimensiones hacemos


y todos los demás coeficientes cero, entonces dicha métrica se reduce a:

(ds)² = (dx)²+(dy)²+(dz)²

o sea, la fórmula para medir la distancia (infinitesimal) ds a lo largo de una línea en un espacio Euclideano (sin curvatura) tridimensional.

La métrica de Riemann puede ser extendida cómodamente sin problema alguno hacia un espacio de cuatro dimensiones, en cuyo caso la expresión para (ds)² tendrá 16 términos en lugar de los nueve que vimos arriba. A continuación se presenta dicha métrica:


Y resulta que es precisamente esta métrica Riemanniana en un espacio generalizado de cuatro dimensiones, el cual puede ser plano o curvo, la que Einstein utilizó para construír su Teoría General de la Relatividad.

En general, la métrica para cualquier número de dimensiones se representa de una manera mucho más compacta y más fácil de recordar, usando la convención Einsteniana de los índices repetidos de acuerdo con la cual, si en una expresión abreviada de esta manera, aparece un mismo índice repetido dos o más veces, entonces se sobreentiende que hay que llevar a cabo una sumación sobre dicho índice:


A manera de ejemplo, para un espacio de cuatro dimensiones, la expansión sobre el subíndice a que aparece repetido dos veces nos resulta en los siguientes cuatro términos:


Lo que hizo Riemann fue algo extraordinario. Construyó una forma totalmente nueva de geometría generalizada, la cual incluye todas las geometrías posibles (Euclideana, elíptica, hiperbólica), y nos dejó una manera (su “métrica”) para medir distancias dentro de las variedades infinitas ofrecidas por su geometría que es consistente con las métricas utilizadas anteriormente, y nos dió la manera de saber, a través de su definición de curvatura (el tensor de curvatura de Riemann), sin necesidad de tener que andar construyendo figuras y diagramas, si una geometría especificada por ciertas relaciones es Euclideana, elíptica, o hiperbólica. El aspecto negativo es que, para lograr este triunfo de generalización, las matemáticas requeridas se vuelven necesariamente complejas (un estudio a fondo sobre este tema requeriría entrar en detalle a un tópico conocido como el cálculo tensorial, aunque en el enfoque moderno se ha reemplazado al cálculo tensorial por algo más actual conocido como el cálculo exterior o el cálculo de las formas diferenciales a través de la definición del “producto cuña” o wedge product que trae aparejada una colección de axiomas sobre los que se desarrolla dicho tópico). El incremento en la complejidad traída por la nueva geometría Riemanniana es inevitable. Este es el precio que hay que pagar cuando se dá un salto de esta naturaleza. Pero considerando el hecho de que la geometría Riemanniana sentó las bases para que Einstein, invocando el concepto de los espacios curvos en cuatro dimensiones, pudiera desarrollar su Teoría General de la Relatividad (frecuentemente llamada geometrodinámica por ser esencialmente una teoría geométrica de la gravedad), la cual ha predicho correctamente entre otras cosa la existencia de los hoyos negros, los “lentes gravitacionales”, y la expansión del Universo, el precio pagado por la complejidad de la geometría Riemanniana resulta más que justo.

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