Suplemento # 1

En virtud de los muchos correos electrónicos que he recibido de estudiantes y maestros no sólo de México sino de muchos otros países de habla hispana (Argentina, Venezuela, España, Chile, etc.) que por su volumen me es imposible responder individualmente (motivo por lo cual aprovecho aquí para pedir mil disculpas por una falta de respuesta de parte mía), en los que se me pide que amplíe un poco más esta bitácora tratando sobre el tema de los rayos de luz usados como instrumento para obtener las rutas geométricas que representan la distancia geométrica más corta (la geodésica) entre dos puntos, así como hablar un poco sobre otros modelos de geometrías hiperbólicas además de las ya mencionados, así como entrar un poco más a fondo en el detalle de las rutas mínimas en una geometría hiperbólica, he decidido ampliar la bitácora con esta entrada adicional. Parte del material que será presentado aquí no fue incluído en el resto de las entradas por la sencilla razón de que requiere algunos conocimientos básicos del cálculo diferencial e integral (cálculo infinitesimal), lo cual no necesariamente está al alcance de muchos de mis lectores potenciales que no hayan completado sus estudios de enseñanza media, razón por la cual este material está siendo anexado como suplemento. De cualquier manera, si alguien que está leyendo esto dejó sus estudios superiores porque "eso no tiene ninguna aplicación práctica" (la geometría analítica, el cálculo diferencial, el cálculo integral), este suplemento le dará razones por las cuales es importante que continúe adelante con sus estudios, porque en el desarrollo de este suplemento se verá que esas materias sí tienen una aplicación práctica y directa para nuestro entendimiento del mundo que nos rodea


Los rayos de luz siguen siempre la ruta que toma el menor tiempo posible


Un conocido principio de la física, el principio de Fermat (del mismo físico-matemático francés cuyo último teorema que dejó sin demostración tuvo en jaque por varios siglos a los mejores matemáticos del mundo por varios siglos hasta que el británico Andrew Wiles finalmente lo resolvió en 1993), enunciado en 1679, nos dice que un rayo de luz al desplazarse siempre sigue la ruta que le tome el menor tiempo posible para llegar a su destino. Si el medio en el que se mueve el rayo de luz es homogéneo, de densidad constante, entonces al mantenerse igual su velocidad esto equivaldrá a que el rayo de luz tome la ruta más corta posible, la cual le tomará el menor tiempo posible. Al igual que el quinto postulado de Euclides, este principio de física no es demostrable, es un hecho de la Naturaleza, confirmable matemáticamente y confirmado por nuestra experiencia. Este principio sigue siendo tan válido hoy como desde el año en que se formuló. Inclusive en la Teoría General de la Relatividad en la cual Einstein elevó a la luz como una referencia absoluta e invariable (la velocidad de un rayo de luz es exactamente la misma para todos los observadores sin importar cómo se estén moviendo unos con respecto a otros) usándola como medio para establecer su principio de equivalencia (un observador encerrado en una caja sellada será incapaz de distinguir mediante experimento alguno si la caja se está moviendo con una aceleración constante en cierta dirección o si la caja está estática bajo la presencia de un campo gravitacional que induzca la misma aceleración) y usando rayos de luz para trazar las geodésicas (rutas mínimas) en el espacio, el principio de Fermat sigue siendo válido. Usando este principio y las herramientas del cálculo infinitesimal (máximos y mínimos), podemos derivar las conocidísimas leyes de reflexión y refracción de la luz, lo cual haremos a continuación.

Para la ley de la reflexión (el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión), considérese la siguiente figura en la cual empezaremos suponiendo que el ángulo de incidencia de un rayo que parte del punto A y es reflejado en el punto B para llegar al punto A no es igual al ángulo de reflexión:

Para simplificar la demostración, el punto A y el punto C serán puestos a la misma altura h de la superficie reflectora.Llamaremos x a la proyección horizontal del rayo de luz que viaja desde A hasta B, haciéndola una variable. Aplicando el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos, tenemos que las longitudes AB y BC estarán relacionadas con sus proyecciones horizontales sobre la superficie reflectora de la siguiente manera:

AB² = x² + h²

BC² = (l-x)² + h²

La longitud del recorrido total del rayo de luz para llegar desde el punto A hasta el punto está dada por:

L = AB + BC

Introduciendo las expresiones para AB y BC en función de la variable x, tenemos que el valor del recorrido total L en función de la variable x es:

A continuación, tomamos la derivada de L con respecto a x:

y la fijamos a cero:

para obtener la condición que nos dá la ruta mínima después de un poco de álgebra:

Esto nos dice que los dos triángulos rectángulos que forma el rayo de luz con la superficie reflectora tanto al ir de A a B como al ir de B a C son iguales, puesto que el valor de x para la ruta mínima está situado justo a la mitad entre triángulos de la misma altura. Siendo los dos triángulos rectángulos formados por la ruta extrema iguales por tener sus tres lados iguales, los ángulos m y n deben ser también iguales. Se concluye que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

En el caso de la refracción de la luz, veamos primero las razones del por qué se debe postular la hipótesis de que se tenga que refractar en vez de seguir un camino recto desde su punto de origen hasta su destino final. Considérese la siguiente figura en la cual un rayo de luz parte de un punto de origen A y al llegar a la superficie de un medio como el agua en el punto B se refracta para llegar finalmente al punto C:

Geométricamente hablando, la menor distancia (Euclideana) entre los dos puntos A y C es la recta que los une y no la línea "quebrada" ABC. Si el rayo de luz siguiera la línea recta desde A hasta C (pasando por el punto B') en lugar de la ruta ABC, ciertamente viajaría una distancia más pequeña. Sin embargo, la distancia B'C en el agua es mayor que la distancia BC. Puesto que la velocidad de la luz es menor en el agua que en el aire, la luz puede perder más tiempo en recorrer la ruta B'C que el tiempo que ahorraría siguiendo la distancia más corta AB' que AB en el aire. Como no hay razones para escoger de antemano, tomando en cuenta estas consideraciones, cuál de las dos rutas le tomará a un rayo de luz el menor tiempo posible, es necesario llevar a cabo el análisis completo desde una perspectiva matemática.

Asentado lo anterior, ahora procederemos a obtener la ley de la refracción (para todo rayo refractado al pasar de un medio a otro, el seno del ángulo de incidencia entre el seno del ángulo de refracción es igual a una constante. Para ello, primero definiremos el índice de refracción n, el cual dependerá del valor que tenga la velocidad de la luz en un medio en el cual su velocidad será menor que la velocidad de la luz en el vacío, asentándose aquí por lo tanto que la velocidad de la luz en el vacío es la velocidad máxima que puede tener un rayo de luz. El índice de refracción de la luz en un medio se define como el cociente de la velocidad de la luz c (aproximadamente 300 mil kilómetros por cada segundo de tiempo transcurrido) en el vacío entre la velocidad v que tenga en algún medio transparente (como el agua o el plástico claro):

Por su propia definición, el índice de refracción siempre tendrá un valor mayor que la unidad.

Considérese la siguiente figura, en la cual un rayo de luz viajando a partir del punto A en un medio con un índice de refracción n₁ pasa a otro medio con un índice de refracción n₂ hasta llegar al punto B, refractándose en el punto D:

Nuevamente, recurrimos al principio de Fermat tratando de obtener las condiciones para que la trayectoria que tome el rayo de luz sea al ir de A a B sea la que le tome el menor tiempo posible t. Dentro de un medio homogéneo, el tiempo requerido para recorrer una distancia l se obtiene dividiendo dicha distancia entre la velocidad v:

Pero como dentro de un medio con índice de refracción n la velocidad v estará dada por la relación arriba señalada, el tiempo de recorrido será:

El tiempo total de recorrido del rayo de luz será el tiempo que le tarde ir primero desde A hasta D y luego desde D hasta B:

t = t₁ + t₂

Como c es una constante universal, y t es el tiempo total de recorrido, el lado izquierdo es lo que comúnmente se conoce como el camino óptico del rayo de luz. El camino óptico del rayo ADB será igual a:

Inspeccionando la figura, es claro por el teorema de Pitágoras que las rectas AD y DB están dadas por:

Entonces la longitud de la ruta total del recorrido de A a B será:

La condición necesaria para que el camino óptico sea extemo (mínimo) se reduce nuevamente a que dl/dx.=.0. A continuación, tal y como lo hicimos al derivar la ley geométrica de la reflexión, tomamos la derivada de l con respecto a x e igualamos a cero:

Pero en la figura vemos que, por trigonometría elemental:

siendo i₁ el ángulo de incidencia e i₂ el ángulo de refracción, de donde se concluye que:

Esta es la ley de refracción de Snell, la cual nos dice que el seno del ángulo de incidencia entre el seno del ángulo de refracción es igual a una constante. El signo de la segunda derivada se puede utilizar para confirmar que esta ruta es realmente el mínimo matemático.


El Plano-Medio de Poincaré



Además del disco de inversión, podemos construír otro tipo de representaciones gráficas para implementar una geometría hiperbólica. A continuación se verá una que es extremadamente útil para poder derivar algunas conclusiones y resultados importantes.

Para mayor comodidad y claridad, empezaremos montando un sistema de coordenadas Cartesianas rectangulares (x,y) como las que se estudian en geometría analítica. El eje horizontal x dividirá al plano bidimensional en dos partes. Para nuestros propósitos, usaremos únicamente el plano superior que corresponde a valores positivos medidos a lo largo de la coordenada y. Imaginemos ahora que en ese semiplano las cosas se comportan de una manera muy curiosa. Imaginemos que todos los objetos que están situados en dicho semiplano se irán achicando cada vez más y más conforme nos acercamos a la línea límite. Así, un objeto (o una persona) al moverse de arriba hacia abajo hasta la mitad de la distancia que lo separa de la línea límite tendrá un tamaño la mitad de su tamaño original. Y si continúa moviéndose hacia abajo recorriendo otra vez la mitad de la distancia que lo separa de la línea límite, entonces se achicará nuevamente a la mitad, terminando con un tamaño que será la cuarta parte del tamaño original con el cual había empezado antes de irse achicando. Si se trata de una persona, esa persona no se dará cuenta de ello, porque todas sus reglas, sus compases, su ropa, su reloj, sus manos, todo, se habrá contraído en la misma proporción. En el siguiente dibujo:

podemos ver que si una persona camina horizontalmente desde el punto E hasta el punto F cubriendo una distancia de un kilómetro (su recorrido está representado por una flecha verde), entonces si hace ese mismo recorrido horizontal no partiendo del punto del punto E sino partiendo del punto C para llegar al punto D, como dicha persona se ha contraído a la mitad tendrá que recorrer lo que para ella es una distancia dos veces mayor a la distancia que había entre el punto E y el punto F. Se llevará el doble del tiempo caminar desde C a D que caminar desde E a F. Y llevará diez veces más tiempo llegar del punto A al punto B que llegar del punto E al punto F.

La naturaleza del eje x para un valor en la coordenada y de cero (y = 0) es tal que es imposible una comunicación entre el plano medio superior y el plano medio inferior, por lo cual restringiremos nuestra atención al plano medio superior, al cual se le conoce como el plano-medio superior de Poincaré. o simplemente el plano-medio de Poincaré.

Supondremos que las distancias que mide una persona que vive dentro de este plano-medio serán Euclideanas. La distancia entre E y F será de una unidad, pero la distancia a recorrer entre A y B habrá aumentado por un factor de diez. Tomando esto en cuenta, un primer intento de definir una distancia hiperbólica, limitado a trayectorias horizontales en el plano-medio de Poincaré, nos conduce a usar la siguiente definición:

Espacio hiperbólico = (Espacio Euclideano)/y

Esta relación nos explica satisfactoriamente lo que nosotros vemos que está ocurriendo en el plano medio. Así, el espacio en el que cabe una regla que mide un metro puesta a lo largo de la recta EF:

Espacio hiperbólico horizontal = (1 metro)/1 = 1 metro

parecerá haber aumentado al doble para un habitante del plano-medio, al haberse achicado la regla a la mitad de su tamaño original:

Espacio hiperbólico horizontal = (1 metro)/(0.5) = 2 metros

Y al ir caminando con la regla midiendo el espacio entre los puntos A y B, el espacio parecerá haber aumentado diez veces:

Espacio hiperbólico horizontal = (1 metro)/(0.1) = 10 metros

Así pues, esta definición preliminar parece satisfactoria. Sin embargo, no nos proporciona recurso alguno para medir la espacio hiperbólico entre los puntos verticales A y E o los puntos C y E. Para ello, tenemos que modificar la definición de distancia (Euclideana) entre dos puntos cualesquiera en el plano Cartesiano (x,y) usando incrementos infinitesimales de distancia (dx,dy) en lugar de incrementos finitos. En la geometría Euclideana, la distancia infinitesimal entre dos puntos cualesquiera, en función de su proyección infinitesimal sobre los ejes x y y, está dada por:

(ds)² = (dx)² + (dy)²

Esto nos permite definir la longitud de un segmento infinitesimal de recta hiperbólica extendiendo la definición original de la siguiente manera:

(ds)² = [(dx)² + (dy)²]/y

Una definición matemática un poco más consistente con el uso de términos cuadráticos que la anterior emplearía el cuadrado del denominador. El efecto final de producir un acortamiento relativo de longitud en el elemento ds a medida que nos alejamos del nivel de referencia sigue siendo parecido, con lo cual se tiene entonces la siguiente definición:

(ds)² = [(dx)² + (dy)²]/y²

Cuando se entiende que los elementos infinitesimales de longitud son los que están siendo elevados al cuadrado, la anterior expresión se escribe simplemente como:

ds² = (dx² + dy²)/y²

Esto nos conduce a la siguiente definición para un elemento infinitesimal de longitud hiperbólica:

La longitud total de un segmento de línea hiperbólica desde un punto P hasta un punto Q se obtiene integrando los segmentos infinitesimales de línea usando la relación anterior. Esto se representa simbólicamente de la siguiente manera:

Usaremos esta relación para calcular, en la figura de arriba, las longitudes hiperbólicas de las rectas AE, EF y AF. Empezaremos primero con la recta EF:

A continuación, calculamos la longitud hiperbólica de la recta AE:

Por último, calculamos la longitud hiperbólica de la línea recta entre los puntos A y F, para lo cual obtenemos primero por geometría analítica usual la ecuación de la recta que une dichos puntos:

y = mx + b

y = 0.9x + .1

cuya derivada con respecto a x es:

dy/dx = 0.9

dy = 0.9dx

con lo cual el cálculo de la longitud hiperbólica de la recta AF resulta ser:

El recorrido desde el punto A hasta el punto F yéndonos primero desde A hasta E (verticalmente) y después desde E hasta F (horizontalmente) requiere 3.03 unidades, mientras que el recorrido desde A hasta F siguiendo la diagonal recta requiere 0.959 unidades. Obviamente, la distancia más corta entre dos puntos es la recta que las une. Sin embargo, la recta diagonal entre los puntos A y F no es la distancia más corta entre dichos puntos. En el plano-medio de Poincaré, la distancia más corta entre dos puntos es el arco de una circunferencia entre dichos puntos que tenga como centro el eje x. Para convencernos de ello, considérese el siguiente dibujo:

en el cual tenemos una coordenada Cartesiana y trazada perpendicularmente sobre el eje x, con lo cual podemos especificar un círculo con la siguiente ecuación:

x² + y² = 2

Este es un círculo cuya circunferencia pasa por los puntos A(-1,1) y B(1,1). La distancia, tanto Euclideana como hiperbólica, del punto A al punto B siguiendo la recta de color azul, es 2. Calculemos la distancia hperbólica siguiendo el arco de color verde, el cual corresponde a la ecuación dada arriba. Tomando en cuenta de que para dicho círculo:

entonces los cálculos para la longitud hiperbólica del arco AB son los siguientes:

Como puede verse, la longitud a lo largo del arco AB es de 1.76 unidades hiperbólicas, lo cual ciertamente es menor que la recta Euclideana que va de A a B y que mide 2 unidades. ¡La ruta más larga presenta la longitud más corta! Este es un resultado que seguramente habría dejado perplejos a los geómetras de la antigua Grecia. Y de hecho, esta es la distancia más corta que puede haber entre A y B. La longitud Euclideana del arco AB sigue siendo, desde luego, mayor que la longitud de la recta Euclideana AB, lo cual verificamos con el siguiente cálculo:

El cálculo para determinar la longitud hiperbólica en general de un segmento de recta PQ en el cual el punto P está situado a una distancia a del eje x y el punto Q está situado a una distancia b del eje x procede de manera semejante, considerando un segmento infinitesimal de recta vertical dy situado a una distancia y del eje x, y llevando a cabo la integración usando la relación general que define a una línea hiperbólica:

con lo cual obtenemos que la distancia (hiperbólica) entre los puntos P y Q es:

PQ_h = ln(b) - ln(a)

PQ_h = ln(b/a)

Considérese ahora dos segmentos de línea, PQ y QR, situados uno tras otro en el mismo eje vertical de la siguiente manera:

Aplicando la fórmula obtenida arriba, tenemos que en el plano-medio de Poincaré las longitudes de cada uno de los segmentos es:

PQ_h = ln(b/a)

QR_h = ln(c/b)

Sumando ambas expresiones miembro a miembro:

PQ_h + QR_h = ln(b/a) + ln(c/b)

y usando las propiedades de los logaritmos naturales:

PQ_h + QR_h = ln[(b/a)•(c/b)]

PQ_h + QR_h = ln(c/a)

PQ_h + QR_h = PR_h

Este resultado, tan sencillo como se ve, es un asunto muy importante, porque concuerda con el mismo resultado relacionado con la suma de segmentos en la geometría Euclideana, algo que se deriva en dicha geometría sin necesidad de apelar al quinto postulado (el postulado de las paralelas). De haber obtenido aquí un resultado diferente, nos habríamos topado con la primera contradicción seria en nuestra geometría no-Euclideana hiperbólica. Hasta el momento, no hemos encontrado contradicción alguna.

Antes de continuar, trataremos de derivar una relación que nos permita la localización del punto medio de un segmento de recta hiperbólica vertical. En la siguiente figura:

si M es el punto medio del segmento hiperbólico AB, entonces la longitud hiperbólica del segmento AM deberá ser igual a la longitud hiperbólica del segmento MB. O sea:

AM_h = MB_h

ln(m/a) = ln(b/m)

m/a = b/m

m² = ab

Así pues, la media en una recta hiperbólica vertical se obtiene mediante la media geométrica de los valores a y b. Si a.=.4 y b.=.9, en el plano Euclideano el punto medio estaría situado a:

(4+9)/2 = 6.5 unidades

de la línea límite x, o sea la media aritmética. Sin embargo, de acuerdo con la relación que acabamos de obtener, el punto medio M hiperbólico estará situado para estos mismos valores a una distancia de 6 unidades, la media geométrica.

El procedimiento arriba mostrado para calcular longitudes hiperbólicas es completamente general, no hay razón alguna para que nos limitemos a líneas rectas y arcos de círculo. Podemos superimponer una parábola ordinaria y=x² en el plano-medio superior haciendo coincidir su eje horizontal de coordenadas Cartesianas con la línea límite x del plano-medio, tras lo cual podemos llevar a cabo la determinación de la longitud hiperbólica entre los puntos que queramos escoger de la parábola. Por ejemplo, la longitud hiperbólica del segmento de parábola comprendido entre los puntos A(2,4) y B(3,9) se determina de la manera siguiente:

Se puede demostrar, mediante el cálculo de variaciones, que todas las geodésicas en el plano-medio de Poincaré serán necesariamente arcos de circulos centrados en la línea límite (el eje x), de modo tal que esto nos permite definir las únicas dos “rectas” hiperbólicas posibles que puede haber en este plano-medio:

(1) arcos de círculo centrados en el eje x en donde y.=.0

(2) líneas verticales, perpendiculares al eje x; aunque hay algunos autores que consideran a las líneas verticales como el caso límite de arcos de círculo con un radio infinitamente grande, con lo cual efectivamente todas las geodésicas en el plano medio quedan definidas como arcos de círculos centrados en el eje x. En base a este resultado, en la siguiente figura:

todas las líneas k, l, m, n y p son geodésicas (rectas hiperbólicas). Las líneas k y l no son paralelas porque se cruzan. Tampoco lo son las líneas l y m por la misma razón. En cambio, las líneas l y n son paralelas, como también lo son las líneas p y n, como también lo son las líneas m y n. Las líneas hiperbólicas k, m y n son designadas como divergentemente paralelas, mientras que las líneas p y n son llamadas asintóticamente paralelas. Dados dos puntos A y B cualesquiera en el plano-medio de Poincaré, este conocimiento nos permite encontrar la geodésica entre los puntos A y B; todo lo que tenemos que hacer es trazar un arco de círculo que pase por dichos puntos y que tenga su centro en la línea límite (y.=.0). Sabiendo esto, no debe ser ya ningún problema construír un triángulo hiperbólico en el plano-medio de Poincaré cuyos vértices estén situados en los puntos A, B y C, como el que se muestra a continuación:

Puesto que los tres círculos sobre los cuales se basó la construcción del triángulo hiperbólico mostrado se pueden recorrer juntos horizontalmente a lo largo de distancias iguales, tanto a la izquierda como a la derecha, tenemos aquí el equivalente del movimiento de traslación Euclideano de una figura que deja a la figura geométrica inalterada, cambiándola únicamente de lugar. Sin embargo, si el triángulo hiperbólico es desplazado verticalmente, queda claro que el tamaño del triángulo necesariamente cambiará.

El plano-medio de Poincaré nos es de particular importancia porque es precisamente lo que se adapta a la geometría desarrollada axiomáticamente por Lobachevski, las matemáticas que se aplican dentro de este modelo y la demostración de los teoremas que se puedan llevar a cabo aquí corresponden a las relaciones hiperbólicas descubiertas por Nicolai Ivanovich Lobachevski.

Quienes ya leyeron las entradas anteriores puestas en esta bitácora, están familiarizados con el concepto de la perpendicular común que dos rectas paralelas comparten tanto en una geometría esférica como en la geometría Saccheriana. Entonces, al contemplar las líneas "paralelas" en la figura de arriba, tal vez se estén preguntando ya ¿en dónde está la perpendicular común a cada par de rectas paralelas en el plano-medio de Poincaré? La respuesta es: todas las rectas (hiperbólicas) trazadas dentro del plano-medio de Poincaré tienen una perpendicular común con cualquiera de las otras rectas, y esta perpendicular común, siendo también una recta hiperbólica, será también un arco de circunferencia trazado de una paralela a otra, de modo tal que al tocar las dos paralelas formará ángulos rectos con cada una de ellas. A continuación se muestra la perpendicular común pc a las rectas paralelas k y l:

Esta es la única perpendicular común que se muestra, porque en el plano-medio de Poincaré dos rectas hiperbólicas paralelas divergentes pueden tener una y solamente una perpendicular común. Recordemos que tampoco en el cuadrilátero de Saccheri había más de una perpendicular común. Contrástese esto con la geometría Euclideana, en donde dos rectas paralelas tienen una cantidad infinitamente grande de perpendiculares comunes que se pueden trazar de una paralela a la otra. Y como tampoco en la geometría esférica se puede trazar más que una perpendicular común entre dos paralelas (círculos máximos), se concluye que la geometría Euclideana es la única geometría en la cual se puede trazar más de una perpendicular común a dos rectas paralelas.

A continuación se llevará a cabo la demostración de que en el plano-medio de Poincaré solo es posible trazar una perpendicular común a dos paralelas divergentes. Para simplificar la demostración de este hecho importante, vamos a considerar dos rectas hiperbólicas, una de las cuales es una línea vertical perpendicular al eje x (la cual, como ya se dijo, puede ser considerada como el caso límite de una circunferencia en el plano-medio centrada en el eje x con un radio infinitamente grande). En la siguiente figura se muestran las dos paralelas divergentes k y l, habiéndose trazado también la tangente a la semicircunferencia AB que pasa por el punto de tangencia T y por el punto P en el cual la recta PQ toca al eje x:

Entonces, como se muestra en la figura, haciendo centro con un compás en el punto P y trazando un arco de circunferencia que vaya desde la recta k hasta la recta l, tenemos en dicho arco una perpendicular común a las dos rectas hiperbólicas k y l, ya que por ser una perpendicular a la tangente y por ser también una perpendicular a la recta vertical PQ, forma ángulos rectos con ambas líneas AB y PQ. Y como la tangente mostrada es la única que se puede trazar a la recta AB que pase por el punto P (cualquier otra tangente pasará por otro punto que no sea P), se concluye que esta es la única perpendicular común que se puede trazar entre las dos paralelas.

En relación a la geometría esférica (elíptica), ya habíamos visto que levantando perpendiculares a una recta trazada a lo largo del Ecuador terrestre y marcando distancias iguales en ellas para unirlas, formando así una línea equidistante del Ecuador terrestre, tal línea no podía considerarse como una recta por no ser parte de un círculo máximo. Las rectas paralelas equidistantes no existen sobre la superficie de una esfera. Veremos ahora que lo mismo ocurre en el plano-medio de Poincaré. Empezaremos con la siguiente figura, en la cual se ha trazado una línea OB equidistante de la línea OA:

PQ y RS son rectas hiperbólicas de la misma longitud (medidas hiperbólicamente con la relación matemática dada para definir la longitud hiperbólica). Por lo tanto, los puntos Q y S son equidistantes de la recta hiperbólica OA. Pero la línea OB no es un arco de círculo y por lo tanto no es una recta hiperbólica. Se deduce que una equidistante trazada a una recta hiperbólica en el plano medio de Poincaré no será hiperbólicamente recta. Así pues, ocurre lo mismo que en la geometría esférica. Por lo tanto, la única geometría posible en donde una línea equidistante a una recta dada también será una recta es la geometría Euclideana.

Podemos utilizar el plano-medio de Poincaré para llevar a cabo la demostración del siguiente

Teorema: La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo hiperbólico es menor que 180 grados (dos ángulos rectos).

Para llevar a cabo esta demostración, considérese la siguiente figura:

Empecemos por examinar el triángulo hiperbólico ABC, el cual dentro del plano-medio de Poincaré es un triángulo rectángulo (el ángulo recto está en el punto C). Sus lados a, b y c son, respectivamente, un segmento de la perpendicular Euclideana a la línea límite x (BC), un arco de la circunferencia Euclideana con centro en M (CA), y un arco de la circunferencia Euclideana con centro en N (BA). El ángulo en el vértice A es igual al ángulo entre las tangentes de las circunferencias b y c en el punto A, o bien, el ángulo entre los radios NA y MA de estas circunferencias. Además, por construcción, el ángulo en el vértice B es igual al ángulo BNM.

Se ha construído en el segmento BN, usándolo a manera de diámetro, la circunferencia Euclideana q, la cual solo tiene un punto común B con la circunferencia Euclideana c en virtud de que su diámetro es el radio de dicha circunferencia c. Por esta razón el punto A se encuentra fuera del círculo limitado por la circunferencia q, y por lo tanto el ángulo en el vértice A que es igual al ángulo MAN es menor que el ángulo MBN. Entonces, en virtud de que, en la figura:

ángulo(MBN) + ángulo(B) = un ángulo recto (90 grados)

tenemos que:

La suma de ángulo(A) + ángulo(B) es menor que un ángulo recto (90 grados)

y por lo tanto, siendo el ángulo en el vértice C un ángulo recto:

ángulo(A) + ángulo(B) + ángulo(C) es menor que dos ángulos rectos (180 grados)

Demostrado este teorema fundamental en la geometría hiperbólica del plano-medio superior, resulta fácil la demostración del siguiente

Teorema: La suma de los ángulos del cuadrilátero hiperbólico es menor que 360 grados (cuatro ángulos rectos).

Para la demostración basta con dividir el cuadrilátero en dos triángulos.


La trigonometría del triángulo hiperbólico


La Ley de los Senos y la Ley de los Cosenos (de la cual hay dos versiones, una para los lados y otra para los ángulos) para triángulos hiperbólicos fueron derivadas simultáneamente y de modo independiente por el húngaro Janos Bolyai (1802-1860) y por el ruso Nicolai Lobachevski (1793-1856). Este desarrollo es lo que marca un avance importante sobre la geometría desarrollada por Saccheri basada en su cuadrilátero, la cual era más bien un intento futil de demostrar el postulado de las paralelas de Euclides a partir de los otros postulados. De hecho tanto Bolyai como Lobachevski también estaban buscando demostrar el quinto postulado de Euclides reduciéndolo a la categoría de teorema, pero al ver que tal cosa no era posible tuvieron el coraje intelectual de investigar las consecuencias que derivarían de la negación del quinto postulado de Euclides, descubriendo nuevas fórmulas entre las cuales no era posible hallar ninguna contradicción. Y esto, a fin de cuentas, es lo que pone a prueba cualquier teoría matemática: si partiendo de ciertos principios se incurre en contradicciones, entonces algo en los principios es fallo, pero si por más que se le busque se van derivando una cantidad creciente de teoremas entre los cuales no hay contradicción alguna, entonces se debe aceptar el hecho de que los principios forman parte de un sistema consistente. Naturalmente, si alguien obtuviera alguna contradicción partiendo de los axiomas de la geometría esférica o de la geometría hiperbólica, ello bastaría para enviar abajo toda la estructura. Pero a siglo y medio de los descubrimientos hechos por Bolyai y Lobachevski, nadie ha podido encontrar contradicción alguna, y existe casi la certeza total entre los matemáticos contemporáneos de que tal contradicción no será encontrada. En relación a las fórmulas encontradas por Bolyai y Lobachevski, fue la enorme semejanza de las fórmulas que descubrieron con su contraparte en la geometría Euclideana que esto fue lo que terminó por convencer a ambos de la justeza de la geometría hiperbólica así como de la independencia total de la misma del quinto postulado de Euclides. Otra cosa que también habrá terminado por convencerlos a ambos es que las fórmulas de la geometría hiperbólica se reducen a las mismas fórmulas de la geometría Euclideana cuando las distancias relativas dentro de la geometría hiperbólica se vuelven extremadamente grandes, lo cual tiene el efecto de "aplanar" la hoja hiperbólica. Veamos a continuación algunas de las semejanzas, tomando en cuenta las definiciones aceptadas para las tres funciones básicas de la trigonometría hiperbólica que son definidas de modo similar a las funciones trigonométricas Euclideanas:

En primer lugar, tenemos la conocida Ley de los Senos de la geometría Euclideana:

A continuación, tenemos la Ley de los Senos Hiperbólica:

En la geometría Euclideana, una importante identidad trigonométrica nos dice que, para todo triángulo rectángulo, el cuadrado del seno de un ángulo sumado al cuadrado del coseno de dicho ángulo es igual a la unidad, o sea:

sen²(x) + cos²(x) = 1

Comparemos esta fórmula con su contraparte hiperbólica:

cosh²(x) - senh²(x) = 1

Como una muestra de la verificación de fórmulas trigonométricas hiperbólicas, a continuación tenemos el procedimiento para comprobar la validez de esta última fórmula:

Como otra muestra de la verificación de fórmulas trigonométricas hiperbólicas, a continuación tenemos el procedimiento para comprobar que el coseno hiperbólico de la suma de dos ángulos hiperbólicos x y y es igual al producto del coseno hiperbólico de cada uno de dichos ángulos sumado al producto del seno hiperbólico de dichos ángulos:

Comparemos esta fórmula hiperbólica con su contraparte Euclideana:

cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sen(x)sen(y)

Veamos ahora la fórmula para la tangente hiperbólica de la suma de dos ángulos x y y:

Comparemos esta fórmula con su contraparte Euclideana:

Hay de hecho una regla, conocida como la regla de Osborne, que nos dice que uno puede convertir cualquier identidad trigonométrica en una identidad hiperbólica, expandiéndola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando el seno (sen) a seno hiperbólico (senh) y el coseno (cos) a coseno hiperbólico (cosh), cambiando el signo de cada término que contenga el producto de dos senos hiperbólicos.

Resulta instructivo hacer algunos cálculos dentro del entorno de la geometría hiperbólica, razón por la cual haremos eso a continuación.

El primer problema que resolveremos es el siguiente:

Si tenemos un triángulo hiperbólico cuyos ángulos internos son A=10°, B=20° y C=40°, ¿cuáles son las longitudes (hiperbólicas) de sus tres lados a, b y c?

Para resolver este problema utilizaremos la Ley Hiperbólica de los Cosenos para los Angulos en la determinación de la longitud hiperbólica del lado a, con expresiones similares para obtener las longitudes hiperbólicas de los lados restantes:

cos(A) = -cos(B)•cos(C) + sen(B)•sen(C)•cosh(a)

La solución procede de la siguiente manera:

El segundo problema que resolveremos es el siguiente:

Si tenemos un triángulo cuyos lados son a=3, b=4 y c=5, ¿cuáles son los ángulos internos en los vértices de este triángulo? ¿Cuál es el área (hiperbólica) de dicho triángulo?

Para resolver este problema utilizaremos la Ley Hiperbólica de los Cosenos para los Lados en la determinación del ángulo en el vértice A, con expresiones similares para obtener los ángulos correspondientes a los vértices restantes:

cosh(a) = cosh(b)•cosh(c) - senh(b)•senh(c)•cos(A)

La solución procede de la siguiente manera:

En lo que respecta al área del triángulo hiperbólico, el concepto se nos dificulta algo porque estrella directamente en contra de nuestra intuición ordinaria a la que estamos acostumbrados. En el espacio Euclideano que nos es familiar, un triángulo cuyos tres lados sean respectivamente a=3, b=4 y c=5, es un triángulo rectángulo, de hecho un triángulo en el que se cumple el Teorema de Pitágoras y en el cual uno de cuyos ángulos internos es un ángulo recto de 90 grados. Pero en el espacio hiperbólico, esto ya no es así, y un primer resultado que suele dejar perplejo a quienes estudian el tema por vez primera es que la suma de los ángulos internos de un triángulo hiperbólico, a diferencia de cualquier triángulo en el espacio Euclideano en el cual la suma de los ángulos internos siempre suma 180 grados (lo cual es un teorema que suele demostrarse por procedimientos de construcción geométrica), siempre es menor a 180 grados. Hay, desde luego, un “Teorema de Pitágoras” análogo para triángulos en el espacio hiperbólico, pero el curioso tiene que estar preparado para sorpresas tales como el hecho de que en la geometría hiperbólica, en contraste con la geometría Euclideana, la longitud de la hipotenusa no es substancialmente más corta que la suma de las longitudes de los otros dos lados. Y tal vez la definición más sorprendente en torno a ésto es que el área de un triángulo cualquiera en el espacio hiperbólico llamada el defecto del triángulo se define mediante los valores de sus tres ángulos internos. Conociendo los valores de los tres ángulos internos del triángulo hiperbólico expresados en radianes, resulta fácil a través del defecto δ del triángulo obtener el área del mismo cuando sus ángulos internos son A, B y C mediante la siguiente fórmula definitoria del área de un triángulo hiperbólico:

δ = π - (A + B + C)

δ = π - (0.09178919299 + 0.2523642536 + 0.7463119988)

δ = 2.051127211

Por increíble que esto pueda parecer al principio, ésta es el área del triángulo hiperbólico del segundo problema que hemos considerado. La demostración de identidades trigonométricas hiperbólicas procede de forma muy parecida a como se lleva a cabo en la trigonometría Euclideana. Por ejemplo, para demostrar la siguiente relación, válida para todo triángulo rectángulo (hiperbólico) con ángulos internos A, B y C y con un ángulo recto en el vértice opuesto al lado c:

cos(A) = cosh(a)•sen(B)

el procedimiento de demostración es el siguiente (en el segundo paso se utiliza el equivalente hiperbólico del teorema de Pitágoras):

Y para obtener la siguiente relación para el mismo triángulo hiperbólico trigonométrico:

cot(A)•cot(B) = cosh(c)

el procedimiento de demostración es el siguiente:

De este modo, podemos desarrollar un curso completo de trigonometría hiperbólica, el cual puede ser llevado aún más lejos extendiéndolo hacia una geometría analítica hiperbólica. Para el cual, desafortunadamente, ya no hay espacio disponible ni siquiera en muchos de los programas universitarios de licenciatura en matemáticas. Los lectores observadores habrán notado que, por la forma en la que están definidas las funciones hiperbólicas, podemos obtener de inmediato las derivadas de las mismas. E inclusive en lugar de la variable real x que utilizamos como argumento en las funciones trigonométricas hiperbólicas, podemos utilizar una variable compleja z definida como:

z = x + iy

en donde i es la representación simbólica de la raíz cuadrada de -1, con lo cual podemos desarrollar muchas relaciones nuevas. Como puede verse, el campo por cubrir es amplio, y aquí apenas hemos tocado la superficie.


Sobre los signos de las curvaturas de las superficies


Al hablar sobre superficies en geometrías no-Euclideanas, es común asignarles un signo positivo o negativo a las áreas representadas en alguna hoja que aquí designaremos como carta (manifold), usándose aquí el concepto de carta suponiendo una hoja (Euclideana o no-Euclideana) infinitamente grande en la cual se monta la región bajo estudio, trátese de un triángulo, un cuadrilátero, un polígono, o cualquier otra figura geométrica. Por convención, una superficie tiene una curvatura positiva si es "cóncava-cóncava" o "convexa-convexa", mientras que una superficie tiene una curvatura negativa si es "cóncava-convexa" o "convexa-cóncava". Como esta jerigonza matemática en sí no es muy ilustrativa aunque sea muy precisa, las definiciones de los signos se aclararán mejor de la siguiente manera: Tomemos la región bajo estudio y tracemos dos rectas sobre la misma de modo tal que se crucen a ángulos rectos. Si las dos rectas se tuercen en la misma dirección, decimos que una superficie delimitada en dicha región tiene una curvatura positiva. Claramente, esto es lo que ocurre sobre la superficie de una esfera, razón por la cual a una región localizada dentro la geometría esférica se le asigna una curvatura positiva. Sin embargo, si las dos rectas se tuercen en direcciones opuestas (como ocurriría sobre la superficie de una "silla de montar" como la carta -hoja- del paraboloide hiperbólico que está entre lo más cercano que tenemos para representar una superficie hiperbólica en tres dimensiones) decimos que una región localizada dentro de la geometría hiperbólica tiene una curvatura negativa. Y una curvatura de cero significa que por lo menos una de las rectas trazadas sobre tal superficie realmente es una línea recta en el sentido Euclideano, sin curvatura de ningún tipo, como ocurre en la superficie de un cilindro en la cual, dicho sea de paso, permite el trazado de rectas paralelas Euclideanas que nunca se cruzarán. La geometría Euclideana, el plano sobre el cual Euclides realizó todas sus demostraciones, obviamente tiene una curvatura cero. A continuación tenemos una comparación de los tres tipos de curvatura (positiva, negativa, cero) en tres figuras distintas:

Curvatura positiva:





Curvatura negativa:




Curvatura cero:

La última superficie, con curvatura cero, es conocida como un cilindro parabólico. Sin embargo, no es en realidad un cilindro, porque en un cilindro las líneas trazadas sobre su superficie que son perpendiculares a su eje de simetría se vuelven a encontrar al darle la vuelta al círculo que encierran, mientras que en el "cilindro" parabólico estas líneas se separan indefinidamente sin volverse a encontrar. Esta curva es obtenida desplazando una curva parabólica del tipo y=ax² a lo largo de un eje perpendicular al plano en el que se encuentra la parábola.

La superficie que exhibe una curvatura negativa merece atención especial. Esta superficie es generada por una curva plana conocida como la tractriz:

En el plano Cartesiano, la curva es trazada por las siguientes fórmulas paramétricas:

x = 1/cosh(t)

y = t - tanh(t)

La presencia de funciones trigonométricas hiperbólicas en la generación de la tractriz sugiere que esta curva puede ser importante en el estudio de la geometría hiperbólica. Y de hecho, lo es. Si se hace girar a la tractriz alrededor del eje horizontal x, se generará una superficie conocida como la seudoesfera, de la cual se muestra otra vista diferente:

La seudoesfera es también conocida como la tractoide precisamente por derivar de una tractriz. Esta superficie comparte con la esfera la propiedad de que cualquier parte de la misma exhibe la misma curvatura (estamos hablando de la curvatura de una superficie, no de la curvatura de una línea), una curvatura constante. Mientras que para la esfera su curvatura constante es positiva, para la seudoesfera (tractoide) su curvatura constante es negativa. Por esta ventajosa propiedad, la seudoesfera fue precisamente la superficie utilizada por Beltrami para zanjar de una vez por todas el asunto sobre si la geometría hiperbólica descubierta simultáneamente por Janos Bolyai y Nicolai Lobachevski podía ser considerada una geometría tan consistente como la geometría Euclidana, clásica (la palabra empleada es equiconsistencia), lo cual logró demostrar. Esto no significa que Beltrami haya logrado demostrar la consistencia total de ambas geometrías, dándonos la garantía absoluta de que tarde o temprano no surgirán contradicciones internas al penetrar en la demostración de nuevos teoremas. Lo que demostró Beltrami es que si la geometría hiperbólica es inconsistente, entonces la geometría Euclideana también lo será, y viceversa.